25 课时分层训练(二十一) 提公因式法-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习分层卷（青岛版）

课时分层训练(二十一)　提公因式法 知识点一　公因式 1．多项式8x2y4－12xy2z的公因式是(　D　) A．4x2y2　 B．4xyz C．4x2y4 D．4xy2 2．单项式6a3b与9a2b3的公因式是(　C　) A．a2b　 B．3a3b3 C．3a2b D．18a3b3 3．下列各组代数式中，没有公因式的是(　A　) A．ax＋y和x＋y B．2x和4y C．a－b和b－a D．－x2＋xy和y－x 4．(2026·东营期末)多项式3a3m－6a2m＋12am的公因式是 3am 。 知识点二　提公因式法 5．若x2＋ax＝x(x＋4)，则a的值为(　C　) A．2　 B．3 C．4 D．8 解析：因为x2＋ax＝x(x＋4)，所以x2＋ax＝x2＋4x。所以a＝4。故选C。 6．(2026·渭南期末)下列代数式中，不能用提公因式法因式分解的是(　C　) A．ac＋bc　 B．2x－4xy C．ax＋y D．－x2＋xy 7．把多项式x2y5－xynz因式分解时，提取的公因式是xy5，则n的值可能为(　A　) A．6　 B．4 C．3 D．2 解析：把多项式x2y5－xynz因式分解时，提取的公因式是xy5，则n≥5且n是正整数， 所以n的值可能为6。故选A。 8．(2026·秦皇岛期末)如图，边长为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b＋ab2的值为(　B　) A．24　 B．70 C．40 D．140 解析：由题意，得2(a＋b)＝14，ab＝10，所以a＋b＝7。 所以a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝10×7＝70。 9．(2026·江西)因式分解：a2＋2a＝ a(a＋2) 。 10．(2026·山东)因式分解：x2y＋2xy＝ xy(x＋2) 。 11．因式分解：x(y－1)＋4(1－y)＝ (y－1)(x－4) 。 12．因式分解： (1)3x3＋6x4; (2)4a3b2－10ab3c; (3)－3ma3＋6ma2－12ma; (4)6p(p＋q)－4q(p＋q)。 解：(1)原式＝3x3(1＋2x)。 (2)原式＝2ab2(2a2－5bc)。 (3)原式＝－3ma(a2－2a＋4)。 (4)原式＝2(p＋q)(3p－2q)。 知识点三　提公因式法的应用 13．先因式分解，再求值：2x(a－2)－y(2－a)，其中a＝2，x＝1.5，y＝－2。 解：2x(a－2)－y(2－a)＝(a－2)(2x＋y)。 当a＝2，x＝1.5，y＝－2时，原式＝(2－2)×(2×1.5－2)＝0。 14．如图是某体育公园内的草坪示意图，该草坪的两端为半圆形，中间是长方形。已知半圆形草坪的半径为r，长方形草坪的长为l。 (1)利用因式分解表示草坪的面积； (2)当r＝30 m，l＝100 m时，求草坪的面积。(π取3.14) 解：(1)由题图可知，草坪的面积＝长方形的面积＋圆的面积， 即草坪的面积为2rl＋πr2＝r(2l＋πr)。 (2)当r＝30 m，l＝100 m时， 草坪的面积＝r(2l＋πr) ＝30×(2×100＋3.14×30) ＝30×294.2 ＝8 826(m2)。 答：草坪的面积为8 826 m2。 15．(2026·邵阳期末)多项式4x3yz2－8x2yz4＋12x4y2z3的公因式是(　D　) A．4x3yz2 B．－8x2yz4 C．12x4y2z3 D．4x2yz2 16．已知a－b＝5，b－c＝－6，则代数式a2－ac－b(a－c)的值为(　C　) A．－30 B．30 C．－5 D．－6 解析：因为a－b＝5，b－c＝－6，所以a－c＝－1。 所以a2－ac－b(a－c)＝a(a－c)－b(a－c)＝(a－c)(a－b)＝(－1)×5＝－5。故选C。 17．6ab(a－b)2与4b2(a－b)的公因式是 2b(a－b) 。 18．因式分解：mn－m－n＋1＝ (m－1)(n－1) 。 19．下面是小聪同学的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务。 [发现问题] (1)任意写一个两位数； (2)交换这个两位数的十位数字和个位数字，又得到一个新的两位数； (3)这个新的两位数与原来两位数的和一定能被11整除。 [数学思考] 举例：①14＋41＝55，55÷11＝5; ②25＋52＝77，77÷11＝7； …… [问题解决] 设一个两位数的十位上的数字是a，个位上的数字是b，根据题意，得(10a＋b)＋(10b＋a)＝11a＋11b＝11(a＋b)。所以这个两位数与得到的新数的和能被11整除。 解答下面的问题： 一个三位数，它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，若把它的百位数字与个位数字对调，将得到一个新的三位数。计算原数与新数的差，这个差能被11整除吗？为什么？ 解：原数与新数的差能被11整除。理由如下： 因为一个三位数，它的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c， 所以这个三位数为100a＋10b＋c。 把它的百位数字与个位数字对调，得到新的三位数是100c＋10b＋a。 所以原数与新数的差为 (100a＋10b＋c)－(100c＋10b＋a)＝99a－99c＝11(9a－9c)。 所以原数与新数的差能被11整除。 【创新运用】 20．[问题提出] 计算：1＋3＋3(1＋3)＋3(1＋3)2＋3(1＋3)3＋3(1＋3)4＋3(1＋3)5＋3(1＋3)6。 [问题探究] 为便于研究发现规律，我们可以将问题“一般化”，即将算式中特殊的数字3用具有一般性的字母a代替，原算式化为1＋a＋a(1＋a)＋a(1＋a)2＋a(1＋a)3＋a(1＋a)4＋a(1＋a)5＋a(1＋a)6，然后我们再从最简单的情形入手，从中发现规律，找到解决问题的方法。 ①1＋a＋a(1＋a) ＝(1＋a)＋a(1＋a) ＝(1＋a)(1＋a) ＝(1＋a)2。 ②由①知1＋a＋a(1＋a)＝(1＋a)2，所以1＋a＋a(1＋a)＋a(1＋a)2 ＝(1＋a)2＋a(1＋a)2 ＝(1＋a)2(1＋a) ＝(1＋a)3。 (1)仿照②，写出将1＋a＋a(1＋a)＋a(1＋a)2＋a(1＋a)3进行因式分解的过程； [发现规律] (2)1＋a＋a(1＋a)＋a(1＋a)2＋…＋a(1＋a)n＝ (1＋a)n+1 ； [问题解决] (3)计算：1＋3＋3(1＋3)＋3(1＋3)2＋3(1＋3)3＋3(1＋3)4＋3(1＋3)5＋3(1＋3)6＝ 47 。(结果用幂表示) 解：(1)1＋a＋a(1＋a)＋a(1＋a)2＋a(1＋a)3 ＝(1＋a)(1＋a)＋a(1＋a)2＋a(1＋a)3 ＝(1＋a)2(1＋a)＋a(1＋a)3 ＝(1＋a)3＋a(1＋a)3 ＝(1＋a)3(1＋a) ＝(1＋a)4。 学科网（北京）股份有限公司 $