10.4线段的垂直平分线（1）-【学霸笔记·初中同步授课课件】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版五四制）

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质定理、逆定理及尺规作图，通过“仓库建码头”情境导入，结合折纸经验引导学生从实际问题抽象出数学证明，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接已有知识与新知。 其亮点在于以情境问题驱动培养数学眼光，通过性质定理（SAS证明）和逆定理（HL、SSS证明）的严谨推理发展数学思维，用几何语言规范表达和尺规作图强化数学语言运用。实例丰富如“练一练”中三角形垂直平分线应用，助力学生深化理解，教师可借助结构化流程提升教学效率。

第十章 三角形的有关证明 10.4 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线（1） 1.能够证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理； 2. 经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展自己的推理证明意识和能力； 3.能够用尺规作已知线段的垂直平分线. 10.4 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线（1） 情 境 导 入 2 用心想一想 如图，A，B表示两个仓库，要在A，B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? A B 10.4 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线（1） 新 课 探 究 我们曾经利用折纸的方法得到: 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 你能证明这一结论吗? 已知: 如图, 直线MN⊥AB, 垂足是C， 且AC=BC, P是MN上任意一点. 求证: PA=PB. A C B P M N 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 新课探究 情境导入 课堂小结 分析：要想证明PA=PB, 可以考虑去证明这条线段所在的三角形是否全等. 也就是想办法证明△APC≌△BPC. 而△APC≌△BPC的条件由已知AC=BC,且MN⊥AB,可推知其能满足三角形全等公理（SAS). 故结论可证. 你能写出它的证明过程吗？ 新课探究 情境导入 课堂小结 证明：∵MN⊥AB， ∴∠PCA=∠PCB=90°. ∵AC=BC, PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS). ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等). A C B P M N 如果点P与点C重合，那么结论显然成立. 新课探究 情境导入 课堂小结 几何语言描述 这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. A C B P M N 如图, ∵ AC=BC, MN⊥AB, P是MN上任意一点(已知), ∴ PA=PB (线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等). 新课探究 情境导入 课堂小结 深入思考：你能写出定理 “线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等”的逆命题吗? 逆命题: 到线段两个端点距离相等的点, 在这条线段的垂直平分线上. 它是真命题吗? 如果是, 请你证明它. 思考分析 新课探究 情境导入 课堂小结 已知: 如图, PA=PB. 求证: 点P在AB的垂直平分线上. 分析: 要想证明点P在线段AB的垂直平分线上,可以先作出过点P的AB的垂线(或是AB的中点), 然后证明另一个结论正确. A B P 试一试：你能自己写出这两个证明过程吗？ 新课探究 情境导入 课堂小结 已知: 如图, PA=PB. 求证: 点P在AB的垂直平分线上. 方法一： 过点P作PC⊥AB,垂足为C， ∵PC⊥AB， ∴△APC和△BPC都是直角三角形. ∵PC=PC,PA=PB, ∴Rt△APC≌Rt△BPC (HL). ∴AC=BC. ∴ 点 P在AB的垂直平分线上. A C B P 新课探究 情境导入 课堂小结 方法二： 把线段AB的中点记为C,连接PC, ∵C为AB的中点, ∴AC=BC. ∵PA=PB,PC=PC ∴△APC≌△BPC(SSS). ∴∠PCA=∠PCB=90°. ∴PC⊥AB,即P在AB的垂直平分线上. A C B P . 已知: 如图, PA=PB. 求证: 点P在AB的垂直平分线上. 新课探究 情境导入 课堂小结 11 逆定理: 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 几何语言描述： 如图, ∵PA=PB(已知), ∴点P在AB的垂直平分线上 (到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上) 这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. A B P 新课探究 情境导入 课堂小结 练一练 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点， 且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段BC． B C O A 新课探究 情境导入 课堂小结 你还有其他证明方法吗？ 证明： ∵ AB = AC， ∴ 点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. ∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）. B C O A 新课探究 情境导入 课堂小结 尺规作图 已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线. 作法: 用尺规作线段的垂直平分线. 1.分别以点A和B为圆心,以大于AB长为半径作弧,两弧交于点C和D. A B C D 2. 作直线CD. 则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 请你说明CD为什么是AB的垂直平分线，并与同伴进行交流. 做一做 新课探究 情境导入 课堂小结 1. 如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,如果EC=7cm, 那么ED= cm; 如果∠ECD=60 °, 那么∠EDC= ° . E D A B C 7 60 新课探究 情境导入 课堂小结 2. 如图, 在△ABC中, 已知AC=27, AB的垂直平分线交AB于点D, 交AC于点E, △BCE的周长等于50, 求BC的长. B A E D C 分析提示：题目中出现了线段的垂直平分线，你首先应该想到我们刚刚学习的有关线段垂直平分线的性质，得出相关的结论，再结合已知的三角形的周长，将两个条件有机结合，进行转化，得出最后的结果. 试一试：你能独立完成这道题目吗？ 新课探究 情境导入 课堂小结 解：∵DE为AB的垂直平分线， ∴AE=BE. ∵△BCE的周长等于50, ∴BE+EC+BC=50, 即AE+EC+BC=50. ∴AC+BC=50. ∵AC=27, ∴BC=23. 2. 如图, 在△ABC中, 已知AC=27, AB的垂直平分线交AB于点D, 交AC于点E, △BCE的周长等于50, 求BC的长. B A E D C 新课探究 情境导入 课堂小结 3. 已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点. 求证：PB=PC. P B D C A 证明：∵AB=AC, ∴点A在线段BC的垂直平分线上. ∵BD=CD， ∴ D在线段BC的垂直平分线上. ∴ AD是线段BC的垂直平分线. ∵P是AD上一点, ∴PB=PC. 新课探究 情境导入 课堂小结 1.线段垂直平分线的定理 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 2.线段垂直平分线的逆定理 逆定理: 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 3.用尺规作已知线段的垂直平分线. 10.4 线段的垂直平分线 第1课时 线段的垂直平分线（1） 课 堂 小 结 20 THANK YOU $null