5.9 弧长及扇形的面积-【学霸笔记·初中同步授课课件】2025-2026学年九年级下册数学（鲁教版五四制）

第五章 圆 5.9 弧长及扇形的面积 情 境 导 入 5.9 弧长及扇形的面积 如何解决这些问题呢？ 如图,某传送带的一个转动轮的半径为10cm. 1.转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米? 2.转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米? 3.转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米? 活动一：探究弧长公式 no R O l (1)圆的周长是多少？ (2)圆的周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？ 如图所示，圆的半径为R. (3)1°圆心角所对弧长与圆的周长有何关系？ (4)50°的圆心角所对弧长是多少？ (5)n°的圆心角所对弧长是多少？ R 新 课 探 究 5.9 弧长及扇形的面积 360° 2πR 相等 ×2πR ×2πR 半径为r的圆周长为……2 那么，圆的周长，就相当于多少度的圆心角所对的弧长呢？……360° 所以，反过来，360°的圆心角所对的圆的周长是…… 180°所对的弧长呢？……为什么？……一半圆周长就是，二分之一乘以…… 二分之一怎么来的？你能用圆心角度数比表示二分之一么？…… …… 活动一：探究弧长计算公式 归纳：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对弧长 l ,计算公式为： 新课探究 情境导入 课堂小结 活动一：探究弧长计算公式 思考:弧长与哪些因素有关： （1）与圆心角大小（n）有关. （2）与半径长短（R）有关. 注意： 公式中n表示1°的圆心角的倍数，计算时n不带单位. 新课探究 情境导入 课堂小结 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图中所示管道的展直长度 l (结果保留，单位：mm) 例1 思考： 展直长度指的是谁的长？ 新课探究 情境导入 课堂小结 下面我们来看一道例题. 找同学来读一下题干.……请坐， 那么，这里要求的“展直长度”指的是图中那一段的长度？……弧AB的长. 求弧长的公式是什么？…… 图中还有哪些已知信息？……半径54mm，圆心角100°.……给大家一点时间完成这道题的解答过程. （投屏一学生做法，并找该生讲解.你来说一说，这道题有什么需要注意的地方吗？……单位和精确到）这位同学答大体上很规范，工整. 需要我们注意，对于弧AB来说，有两个量，一个是弧的度数，一个是弧的长，所以这里不可以写弧AB=，应该写弧AB的弧长度=. 在半径为R的圆中，n°的圆心角所对弧长 l. 计算公式为： l，n，R 知二求一. （1）如果已知弧长 l和圆心角度数 n，可以求出什么？ （2）如果已知弧长l和半径 R，还可以求出什么？ 思考： = 新课探究 情境导入 课堂小结 这里的l指什么？……弧长 这里的n指什么？……圆心角 的度数 这里的r指什么？……半径 扇形的半径 公式里一共几个量？…三个量… 所以，要求弧长l，就需要知道哪些量？……圆心角的度数和扇形的半径.再来一遍，要求弧长，就需要知道？…圆心角的度数和扇形的半径… 那么，反过来，已知弧长l和圆心角的度数n，我就可以求出什么？…半径… 如果已知弧长和半径r，就可以求出什么？…圆心角的度数… 所以，这三个……量知二求一 大家学会了吗？…… 请大家把公式写在你的学案上，再记住这个公式，然后，同桌之间相互提问.开始 1.一个扇形半径是3，圆心角是240°，这个扇形的弧长是( ) A. 2π B. π C. 4π D. 12π 2.已知圆的一段弧长为4π cm，它所对的圆心角为100°， 该圆的半径为 . 练习1 C 新课探究 情境导入 课堂小结 接下来，我们同学自己来完成练习1.…… 一会儿，我们随机点名，找同学来屏幕前，给大家讲解. 9πm2 . . n 想一想 新课探究 情境导入 课堂小结 在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长3m的绳子，绳子的一端栓着一只狗, (1)这只狗的最大活动区域有多大? (2)如果这只狗只能绕柱子转过n°的角，那么它的最大活动区域有多大? O 扇形 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫作扇形. 扇形的定义 O B A 扇形 新课探究 情境导入 课堂小结 10 (2)圆心角为 1°的扇形面积是多少？ (3)圆心角为 n°的扇形面积是多少？ 结 论 ：如果用字母 S 表示扇形的面积，n表示圆心角的度数，R 表示圆半径，那么扇形面积的计算公式是： 活动二：探究扇形面积公式 (1)圆的面积是多少？ 已知圆的半径为R 新课探究 情境导入 课堂小结 πR2 πR2 πR2 = R n° l 思考 观察比较两个公式 扇形面积 S 与弧长 l 之间是否存在某种等量关系呢？ = = = 活动三：探究弧长和扇形面积公式之间的关系 新课探究 情境导入 课堂小结 现在，我们已经学习了两个公式了，弧长公式和扇形的面积公式. 请大家观察这两个公式，你发现了什么？……想好的同学请举手…… 所以求弧长和求扇形面积都需要知道圆心角度数n和半径r，那么，扇形的面积s和弧长l之间是否存在某种等量关系呢？…… 动笔试一试，算一算，请你找出扇形面积和弧长之间的等量关系.…… 有很多同学已经整理出了二者的关系，现在和你的伙伴儿交流你的想法.…… 哪位同学来给大家说一下，你发现的等量关系是什么？如何计算的？…… 所以，我们又发现了一个求扇形面积的方法.公式是什么？……（板书） S指的是……扇形面积，l指的是……扇形的弧长，r指的是……扇形的半径. 所以，求扇形面积，还可以通过哪两个量来求？……再读一遍这个公式…… 再给大家20s的时间，分别记忆一下这三个公式.……然后组内同学相互提问. 你记住了吗？ 例2 扇形AOB的半径为12cm,∠AOB=120°,求AB的长和扇形AOB的面积(结果保留). 新课探究 情境导入 课堂小结 ⌒ 解：∵扇形AOB的半径是12cm，∠AOB=120°， ∴AB的长为=8π（cm）， 扇形AOB的面积为=48π（cm2）． 1. 已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的面积________. 2.已知扇形面积为 ，圆心角为60°，则这个扇形的半径R=_________. 3. 已知半径为2cm的扇形，其弧长为，则这个扇形的面积是_________． 对应练习 新课探究 情境导入 课堂小结 3π 120° 那我们来做一下练习2……，请大家独立完成，一会儿我们随机点名，找同学来核对答案. （3题怎么做的？） 如图是水平放置的一个油管，横截面半径为12cm，其中，有油的部分油高是6cm，求截面上有油部分的面积.（结果保留） 拓展提高——求不规则图形的面积（弓形) 新课探究 情境导入 课堂小结 解：设OC交AB于点C,交弧AB于点D,OD⊥AB,OA=OD=OB=12cm, DC=6cm,AC=BC,OC=6cm, ∴∠OAB=30°,∠AOC=60°, ∠AOB=2∠AOC=120°, ∴AB=2AC=12cm, 扇形AOB的面积=. 三角形AOB的面积=AB·OC=36 截面上有油部分的面积=－36)m2. 扇形的面积我们会求了，接下来，我们提升点难度. 请大家看探索3里面的第一个题.一起读一下题干.…… 有油的部分指图中阴影部分的面积，那么如何求阴影部分面积呢？……它是扇形吗？……它可以转化成什么哪些规则图形的面积？ 那么如何求扇形面积和三角形面积呢？请大家完成以下活动. 1.独立思考并计算，工整书写，步骤规范； 2.和伙伴儿交流你的看法，并完善自己的书写； 3.每组选派一个书写最工整的代表，投屏解答过程； 再选择一个表达最好的同学，给大家分享你的做法. （黑板上贴第一个图的图片） ②当弓形面积大于半圆时 S弓形= S扇形+S△AOB ①当弓形面积小于半圆时 S弓形= S扇形－S△AOB A B 拓展提高——求不规则图形的面积(弓形) 转化思想 类比思想 新课探究 情境导入 课堂小结 我们来总结一下，这两个图形， 这两个图形，都是由圆上的一段弦和一段弧围成的图形，像这样的图形，叫作弓形. 当弓形的面积小于半圆时，弓形的面积可以如何计算？…… 当弓形的面积大于半圆时，弓形的面积等于…… 新课探究 情境导入 课堂小结 1.半径为6，圆心角为1200的扇形的面积是( ) A.3 B.6 C.9 D.12 2.已知扇形的圆心角为120°，面积是3cm2，那么这个扇形的半径是( ) A.1cm B.3cm C. 6cm D.9cm D C 新课探究 情境导入 课堂小结 3.如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为900的扇形，则此扇形的面积为（ ） A.2 B. c. D. C 新课探究 情境导入 课堂小结 4.数学课上，老师将如图所示的边长为1的正方形铁丝框变形成以点A为圆心，AB为半径的扇形，则所得扇形DAB的面积（ ） A.1 B.1.5 C.2 D. A 课 堂 小 结 5.9 弧长及扇形的面积 通过本节学习你有哪些收获和疑惑？ 如果扇形的半径为r，圆心角为n°，那么 ①当弓形面积小于半圆时 S弓形= S扇形－S△AOB 弧长和扇形的面积公式 弓形的面积 转化思想 = = = 类比思想 从特殊到一般 ②当弓形面积大于半圆时 S弓形= S扇形+S△AOB THANK YOU $