5.6.3圆的切线的判定-【学霸笔记·初中同步授课课件】2025-2026学年九年级下册数学（鲁教版五四制）

第五章 圆 5.6 直线和圆的位置关系 第3课时 圆的切线的判定 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？ 生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为切线呢？学完这节课，你就都会明白. 情 境 导 入 第3课时 圆的切线的判定 直线何时变为切线 如图,AB是⊙O的直径,直线CD经过点A,CD与AB的夹角为∠α,当CD绕点A旋转时, 你能写出一个命题来表述这个事实吗? 1.随着∠α的变化,点O到CD的距离如何变化?直线CD与⊙O的位置关系如何变化? 2.当∠α等于多少度时,点O到CD的距离等于半径?此时,直线CD与⊙O有的位置关系?有为什么? B ●O A C D ┓ d α ┏ d α d ┓ 新 课 探 究 第3课时 圆的切线的判定 新课探究 情境导入 课堂小结 切线的判定定理 定理 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 提示: 切线的判定定理是证明一条直线是否是圆的切线的根据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一. C D B ●O A 如图. ∵OA是⊙O的半径,直线CD经过A点,且CD⊥OA, ∴ CD是⊙O的切线. 经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 判断下图中的l 是否为⊙O的切线. ⑴半径 ⑵外端 ⑶垂直 证明一条直线为圆的切线时，必须两个条件缺一不可： ①过半径外端, ②垂直于这条半径. 新课探究 情境导入 课堂小结 ⑴经过半径外端的直线是圆的切线. ⑵垂直于半径的直线是圆的切线. ⑶过直径的外端并且垂直于这条直径的 直线是圆的切线. ⑷和圆只有一个公共点的直线是圆的切 线. ⑸以等腰三角形的顶点为圆心，底边上 的高为半径的圆与底边相切. 判断下列命题是否正确. （×） （×） （√） （√） （√） 新课探究 情境导入 课堂小结 例1 已知:如图A是⊙O外一点,AO的延长线交⊙O于点C,点B在圆上,且AB=BC,∠A=30°. 求证:直线AB是⊙O的切线. A B C O 有交点，连半径，证垂直. 新课探究 情境导入 课堂小结 证明：连接OB， ∵AB=DB， ∴∠A=∠D=30°. ∵OD=OB， ∴∠D=∠OBD=30°. ∵∠AOB为△BOD的外角， ∴∠AOB=2∠D=60°. 在△OAB中，∠A=30°，∠AOB=60°， ∴∠ABO=90°，即AB⊥OB， 则AB是圆O的切线． 变式1 △ABC内接于圆O，CD与AB延长线交于点D，且∠BCD=∠BAC，CD是圆的切线吗？为什么？ 有交点，连半径，证垂直. 新课探究 情境导入 课堂小结 证明：连接CO交延长交圆O于点E. ∵CE是圆O的直径 ∴∠CBE＝90 ∴∠BEC+∠BCE＝90 ∵∠BAC，∠BEC所对应圆弧都为劣弧BC ∴∠BAC＝∠BEC， ∵∠BCD＝∠BAC， ∴∠BCD＝∠BEC， ∴∠ECD＝∠BCD+∠BCE＝∠BEC+∠BCE＝90， ∴CD是圆O的切线。 例2 如图，点O为∠ABC平分线上一点，OD⊥AB于D，以O为圆心，OD为半径作圆.求证：BC是⊙O 的切线. D C Ｏ A B 无交点，作垂直，证半径. 证明：过O作OE⊥AC于点E. ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB， ∴ OE＝OD，即圆心O到AC的距离 d = r， ∴ AC是⊙O切线. 新课探究 情境导入 课堂小结 已知条件中没有明确直线与圆是否有公共点时 已知条件中直线与圆已有一个公共点时 有交点 连半径 证垂直 无交点 作垂直 证半径 思考 上面几个题目的证法有何不同? 新课探究 情境导入 课堂小结 新课探究 情境导入 课堂小结 要点归纳 见切线，连切点，得垂直. ①有交点，连半径，证垂直; ②无交点，作垂直，证半径. 证切线时常用辅助线添加方法: 有切线时常用辅助线添加方法: (1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点; (2)经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 切线的其他重要结论 练习与巩固： 1.如图，A，B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，∠B=70°，则∠BAC等于（ ） O A B C 新课探究 情境导入 课堂小结 C A. 70° B. 35° C. 20° D. 10° 练习与巩固： 2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,⊙A与BC相切于点D,与AB相交于点E,则∠ADE等于___ _度. 新课探究 情境导入 课堂小结 60 练习与巩固： 3.如图,在△OAB中,OB∶AB=5∶4 ,0B=10，⊙O与AB相切于点A, 则⊙O的直径为 . O A B 新课探究 情境导入 课堂小结 6 4.如图,PA，PB是⊙O的切线,切点分别为A，B,且∠APB=50°,点C是优弧上的一点,则∠ACB=________. 辅助线的作法：作过切点的半径. 65° 新课探究 情境导入 课堂小结 5.如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC=5，则⊙O的半径为（ ） A. B. C. 10 D. 5 辅助线的作法：作过切点的半径. A 新课探究 情境导入 课堂小结 课 堂 小 结 第3课时 圆的切线的判定 通过本节学习你有哪些收获和疑惑？ 矩形的性质 性质定理 有1个公共点 d＝r 圆的切线垂直于经过切点的半径 切线的判定方法 定义法 数量关系法 判定定理 1个公共点，则相切 d=r，则相切 经过圆的半径的外端且垂直于 这条半径的直线是圆的切线. 通过本节学习你有哪些收获和疑惑？ 见切线，连切点，得垂直. ①有公共点，连半径，证垂直; ②无公共点，作垂直，证半径. 情境导入 课堂小结 新课探究 证切线时常用辅助线添加方法: 有切线时常用辅助线添加方法: THANK YOU $