5.3 垂径定理-【学霸笔记·初中同步授课课件】2025-2026学年九年级下册数学（鲁教版五四制）

第五章 圆 5.3 垂径定理 赵 州 桥 情 境 导 入 5.3 垂径定理 情 境 导 入 赵州桥是1 300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶． 情境导入 新课探究 课堂小结 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 问题 ：它的主桥是圆弧形,它的跨度 (弧所对的弦的长AB)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)7.2m， 问题情境:你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ A B 37.4 7.2 新 课 探 究 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB于M． (1)如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ 探究一： O · C D A B M 5.3 垂径定理 是. 对称轴是任意一条直径. （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说理由. AM＝BM， ⌒ AC＝ ⌒ BC , ⌒ AD＝ ⌒ BD , [验证篇] 已知：如图5-18，在⊙O中，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB，垂足为M. 求证：AM＝BM， = O · C D A B M 图5-18 ⌒ AC ⌒ BC , ⌒ AD= ⌒ BD , 验证发现 新课探究 情境导入 课堂小结 证明：连接OA，OB，则OA＝OB. 如何验证呢？相互交流一下吧！ 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 归纳总结 垂径定理: 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. O E D C B A 怎样用几何语言表达? ∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB ⌒ ⌒ ⌒ ⌒. ∴ AE＝BE，AD= BD ，AC=BC A B C O (3) A B C D O (2) A B C D O (1) E A B C D O (4) E 以下图形是否具备垂径定理条件？ 1.过圆心（直径） 2.垂直于弦 辨一辨： √ √ 新课探究 情境导入 课堂小结 AB是⊙O的一条弦(不是直径）,且AM=BM.过点M作直径CD. 2.你能发现图中有哪些相等的弧?CD与AB垂直吗？说说理由. ●O C D ● A B M 合作探究 1.这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 议一议 3.“不是直径”这个条件能去掉吗？ 如果不能，请举出反例. · 特别说明： 圆的任意两条直径都互相平分. 合作要求：（ 计时3分钟 ） 1.先独立思考 2.根据问题记录结论 3.推荐一名代表发言 ●O 新课探究 情境导入 课堂小结 9 知识概括 垂径定理推论： 平分弦 的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧. ∵CD是直径 AM=BM 条件 ●O A B C D 结论 ⌒ ⌒ AD =BD ⌒ ⌒ AC=BC ∴CD⊥AB. （不是直径） M 新课探究 情境导入 课堂小结 例1.如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径. 解:连接OC. ● O C D E F ┗ 建模思想 典例示范 半径半弦弦心距 连半径 用勾股 方程思想 新课探究 情境导入 课堂小结 （1）求弦a、半径r、弦心距d、拱高h的计算问题， 可用垂径定理＋勾股定理来解决. d+h=r A B C D h r d 方法归纳 （2）重要的辅助线：（半径半弦弦心距） 作垂直，用垂径；连半径，用勾股. 新课探究 情境导入 课堂小结 B O D A C R 解决求赵州桥拱半径的问题 答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m. 解得R≈27．9（m） 在Rt△OAD中，由勾股定理，得 即 R 2=18.72+（R－7.2）2 OA 2=AD 2+OD 2 7.2 ∵ AB=37.4，OD ⊥ AB， ∴AD= 情境再现 ∵ CD=7.2 ∴OD=OC－CD=R－7.2 解： 设主桥拱的半径为 R m,由题意，得 37.4 新课探究 情境导入 课堂小结 课 堂 小 结 知识方面 垂径定理 情感方面 3.辅助线：作垂直，用垂径； 连半径，用勾股. 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的两条弧. 2.垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 3.分类讨论思想 2.方程思想 . 1.建模思想 2.自主探索和团队合作精神 1.实际生活中的应用价值 5.3 垂径定理 THANK YOU $