5.4《 圆周角和圆心角的关系》课件 2024--2025学年鲁教版（五四制）九年级数学下册

5.4 圆周角和圆心角的关系 O 回顾一 1.圆心角的定义? . B C 请你说一说： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等 2.圆心角和它所对的弧，弦，的关系? . O B C A 特征： ①角的顶点在圆上. 圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边分别与圆 还有另一个交点的角叫圆周角. ②角的两边都与圆相交. 探究一：认识圆周角 判断下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由. 图１ 图２ 图３ 图４ 图５ o B C A 问题1: 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？ 顶点在圆心的角叫圆心角, 如∠BOC. 在射门过程中,球员射中球门的难易与它所处的 位置B对球门AE的张角（ ∠ABE ）有关. 问题2 图中的三个张角∠ABE、∠ADE和∠ACE的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？ C A E D B （两个条件必须同时具备，缺一不可） 圆周角的定义 o B C A o B C A o B C A 顶点在圆上,并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角. 探究新知 猜测：圆周角的度数_______它所对弧上的圆心角度数的一半. 等于 o B C 圆周角定理及其推论 做一做：如图，画角∠BOC=80°.然后画出几个BC所对的圆周角，并测量出圆周角的大小，你有什么发现？ ⌒ 圆心O在∠BAC的内部 圆心O在∠BAC的一边上 圆心O在∠BAC的外部 o B C A o B C A B C o A 这些圆周角与圆心角∠BOC的大小有什么关系? 想一想： 已知：在☉O中，BC所对的圆周角是∠BAC，所对的圆心角是∠BOC. 求证：∠A= ∠BOC. 验证猜测 o B C A o B C A B C o A ⌒ 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 圆周角定理: 在上面的射门游戏中，当球员在 B，D，E 处射门时，所形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC 的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？ 再探新知 圆周角定理推论：同弧或等弧所对的圆周角相等． ● O 圆周角和圆心角的关系 （1）度量弧AB所对的圆周角∠ACB及圆心角∠AOB的度数，它们之间的关系是什么？ （2）弧AB所对的圆周角有多少个？请画出几个，度量这几个圆周角的度数，它们之间的关系是什么？ (3)通过对上述问题的思考，你发现了什么？ 做一做、议一议 圆周角的度数是它所对弧上的圆心角度数的一半 同弧所对的圆周角相等 （一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半） 证一证 1、观察我们所做的图中，圆周角和圆心的位置关系是： 圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角内部、圆心在圆周角外部 2、求证：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半 C 当∠ABC的一边BC过圆心O时，求证 ① 证明： ∵∠AOC是△ABO的外角 ∴∠AOC=∠B+∠A ∵OA=OB ∴∠A=∠B ∴∠AOC=2∠B 2、当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时， D 证明：过点B作直径BD.由1可得 ∵∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD ∴∠ABC = ∠AOC 3、当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时， 证明：过点B作直径BD.由1可得 ∵∠ABD = ∠AOD,∠CBD = ∠COD ∴∠ABC = ∠AOC 上面的证明过程，涉及哪些数学思想方法？ 分类、转化、归纳 C D 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 必记： 1.如图，点A、B、C、D在☉O上， 点A与点D在点B、C所在直线的同侧， ∠BAC=35º. (1)∠BOC= º，理由 是 ; (2)∠BDC= º，理由是 . 70 35 同弧所对的圆周角相等 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 练一练 D A B C O 如图，AB是⊙O的直径，C、D、E是⊙O上的点，则∠1+∠2等于 90° 强化训练 A 强化训练 如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P，∠A=42°，∠APD=77°，则∠B的大小是（ ）. 35° 强化训练 $$