20 思想方法集锦-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级下册数学同步练习分层卷（鲁教版五四制）

思想方法集锦 方法一　分类讨论思想 1．(4分)已知一个点到圆上的点的最大距离是5，最小距离是1，则这个圆的半径是(　C　) A．3 B．2 C．2或3 D．4或6 解析：分为两种情况： ①如图，当点M在圆内时， ∵点到圆上的点的最小距离MB＝1，最大距离MA＝5， ∴直径AB＝1＋5＝6． ∴半径r＝3． ②如图，当点M在圆外时． ∵点到圆上的点的最小距离MB＝1，最大距离MA＝5， ∴直径AB＝5－1＝4． ∴半径r＝2． 综上，圆的半径为2或3． 2．(4分)如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，且∠APB＝56°．若点C是⊙O上异于点A，B的一点，则∠ACB的度数为 62°或118° ． 解析：分两种情况： ①当点C在优弧AB上时， 如图，连接CA，BC． ∵PA，PB切⊙O于点A，B， ∴∠PAO＝∠PBO＝90°． ∵∠AOB＋∠PAO＋∠PBO＋∠APB＝360°， ∴∠AOB＝360°－∠PAO－∠PBO－∠APB＝360°－90°－90°－56°＝124°． 由圆周角定理知∠ACB＝∠AOB＝62°． ②当点C在劣弧AB上时，由圆内接四边形的性质，得∠AC′B＝118°． 综上，∠ACB的度数为62°或118°． 3．(4分)已知⊙O的半径为10 cm，弦AB∥CD，且AB＝12 cm，CD＝16 cm，则弦AB和CD之间的距离为 14或2 cm． 解析：分情况求解如下： ①如图，当弦AB和CD在圆心同侧时．连接OA，OC，过点O作OE⊥AB，交CD于点F，交AB于点E． ∵AB∥CD，∴OE⊥CD． 在Rt△OAE中，OA＝10 cm， AE＝AB＝6 cm， ∴OE＝＝8 cm．同理可得OF＝6 cm，故EF＝OE－OF＝2 cm． ②如图，当弦AB和CD在圆心两侧时． 同理可得OE＝8 cm，OF＝6 cm， 故EF＝OE＋OF＝14 cm． 综上所述，弦AB与CD之间的距离为14 cm或2 cm． 4．(6分)已知AB和AC是⊙O的两条弦，∠BAC＝57°，M，N分别是AB，AC的中点，求∠MON的度数． 解：连接OM，ON． ∵M，N分别是AB，AC的中点， ∴OM⊥AB，ON⊥AC． ∴∠AMO＝∠ANO＝90°． 如图，当AB，AC在圆心异侧时． ∠MON＝360°－90°－90°－57°＝123°． 如图，当AB，AC在圆心同侧时． ∵∠ADM＝∠ODN，∠AMD＝∠OND， ∴∠MON＝∠BAC＝57°． 综上所述，∠MON的度数为123°或57°． 方法二　方程思想 5．(8分)如图，在四边形ABCF中，FA⊥AB，BC⊥AB，⊙O经过点A，B，C，分别交边AF，FC于点D，E，且E是的中点． (1)求证：E是FC的中点； (2)连接AE，当AB＝6，AE＝5时，求AF的长． (1)证明：如图，连接AC． ∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°． ∴AC是⊙O的直径．∴∠AEC＝90°． ∴∠AEF＝180°－∠AEC＝90°＝∠AEC． ∵E为的中点，∴＝． ∴∠FAE＝∠CAE． 在△AEC和△AEF中， ∴△AEC≌△AEF．∴EC＝EF． ∴E是FC的中点． (2)解：如图，连接CD． ∵FA⊥AB，CB⊥AB，∴∠ABC＝∠BAD＝90°． ∵∠ADC＝90°， ∴四边形ADCB是矩形．∴CD＝AB＝6． ∵S△AFC＝FC·AE＝AF·CD， ∴5FC＝6AF．∴＝． 设FC＝12x，则AF＝10x． ∵E为FC的中点，∴FE＝FC＝6x． 在Rt△AEF中，根据勾股定理，得AE2＋EF2＝AF2，即52＋(6x)2＝(10x)2， 解得x＝(负值已舍去)．∴AF＝10x＝． 6．(8分)如图，AB是⊙O的直径，C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为点E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF． (1)求证：△BFG≌△CDG； (2)若AD＝BE＝2，求BF的长． (1)证明：∵C是的中点，∴＝． ∵AB是⊙O的直径，CF⊥AB， ∴＝．∴＝．∴CD＝BF． 在△BFG和△CDG中， ∴△BFG≌△CDG． (2)解：如图，连接OF，设⊙O的半径为r． 在Rt△ADB中，BD2＝AB2－AD2， 即BD2＝(2r)2－22． 在Rt△OEF中，OF2＝OE2＋EF2， 即EF2＝r2－(r－2)2． 由(1)知＝＝， ∴＝．∴BD＝CF． ∴BD2＝CF2＝(2EF)2＝4EF2， 即(2r)2－22＝4[r2－(r－2)2]， 解得r＝1(舍)或r＝3． ∴BF2＝EF2＋BE2＝32－(3－2)2＋22＝12． ∴BF＝2． 方法三　转化思想 7．(6分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2， ∴AB＝2． ∴S扇形ABD＝＝． ∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE， ∴Rt△ADE≌Rt△ACB． ∴S阴影＝S△ADE＋S扇形ABD－S△ABC＝S扇形ABD＝． 8．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，以OB的长为半径的圆经过点D，交BC于点E，交AB于点F． (1)求证：AC与⊙O相切； (2)若BD＝10，sin ∠DBC＝，求AF的长． (1)证明：如图，连接OD． ∵OD是半径，∴OD＝OB．∴∠ODB＝∠OBD． ∵∠ABC的平分线交AC于点D， ∴∠ABD＝∠CBD．∴∠ODB＝∠CBD． ∴OD∥BC． ∴∠ADO＝∠C＝90°．∴OD⊥AC． ∵OD为半径， ∴AC与⊙O相切． (2)解：如图，连接DF． ∵sin ∠DBC＝＝＝， ∴CD＝6．∴BC＝＝8． ∵FB为直径，∴∠BDF＝90°． ∴∠BDF＝∠C． ∵∠CBD＝∠DBF，∴△CDB∽△DFB． ∴＝．∴BF＝． ∴OD＝OF＝OB＝． ∵OD∥BC，∴△ADO∽△ACB． ∴＝，即＝， 解得AF＝． 方法四　割补法 9．(6分)如图，在矩形ABCD中，BC＝2，CD＝，以点B为圆心，BC的长为半径作交AD于点E，以点A为圆心，AE的长为半径作交AB于点F，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 解：如图，连接BE，EF． 由题意，得BE＝BC＝2． 由勾股定理，得AE＝＝1． ∵sin ∠ABE＝＝， ∴∠ABE＝30°．∴∠CBE＝60°． ∴图中阴影部分的面积＝S扇形EBC＋S△ABE－S扇形EAF＝×1×＝． 10．(6分)如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆交对角线AC于点E，以点C为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点F，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 解：如图，连接BE． ∵AB为直径，∴BE⊥AC． ∵AB＝BC＝4，∠ABC＝90°， ∴BE＝AE＝CE．∴S弓形AE＝S弓形BE． ∴图中阴影部分的面积＝S半圆－(S半圆－S△ABE)－(S△ABC－S扇形CBF)＝π×22－ ＝3π－6． 11．(6分)如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O′，B′，连接BB′，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 解：如图，连接OO′，O′B． 根据旋转的性质，得AO′＝AO，O′B′＝OB，∠OAO′＝60°． ∵AO′＝AO，∠OAO′＝60°， ∴△OAO′为等边三角形． ∴∠AOO′＝∠AO′O＝60°． ∵∠AOB＝AO′B′＝120°， ∴∠O′OB＝60°，∠AO′O＋∠AO′B′＝180°． ∴O，O′，B′三点共线． 在△OBB′中，OB′＝4，OB＝2，∴BB′＝2． ∴S阴影＝S△OBB′－S扇形O′OB＝×2×2＝2． 12．(6分)如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD∥AB，CD＝OB，连接CB，DB，AD，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 解：如图，连接OC，OD． ∵CD∥AB，∴S△BCD＝S△OCD． ∴S阴影＝S扇形COD． ∵CD＝OB，AB＝10， ∴CD＝5，OC＝OD＝OB＝5． ∵OC2＋OD2＝50＝CD2，∴∠COD＝90°． ∴S阴影＝S扇形COD＝＝π． 方法五　等积变换法 13．(6分)如图，点C在以AB为直径的半圆弧上，∠ABC＝30°．沿直线CB将半圆折叠，点A与点A′重合，A′B与相交于点D．已知弧AC的长为π，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 解：如图，连接AD，CD． ∵沿直线CB将半圆折叠，点A落在点A′处， ∴∠ABC＝∠CBA′＝30°． ∴∠ABD＝60°． ∵AB是半圆的直径，∴∠ADB＝90°． ∴∠BAD＝30°． ∴＝＝＝π． ∴半圆的半径为3，∠A′DC＝60°． ∴CD＝BD＝A′D＝3． ∴图中阴影部分的面积＝S扇形A′DC＝＝π． 14．(6分)如图，作⊙O的任意一条直径FC，分别以点F，C为圆心，以FO的长为半径作弧，与⊙O相交于点E，A和点D，B，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，得到六边形ABCDEF，求⊙O的面积与阴影部分的面积的比值．(结果保留π) 解：如图，连接EB，AD． 设⊙O的半径为r， 则OE＝OD＝AO＝OB＝OF＝OC＝EF＝FA＝CB＝CD＝r． ∴△EFO，△FOA，△DOC，△BOC，△EDO，△AOB是等边三角形． ∴弓形EF，AF的面积与弓形EO，AO的面积相等，弓形CD，BC的面积与弓形OD，OB的面积相等． ∴图中阴影部分的面积＝S△EDO＋S△ABO＝×r×r×2＝r2． ∴⊙O的面积与阴影部分的面积的比值为＝π． 方法六　容斥原理法 15．(6分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝，分别以点A，B为圆心，AC，BC的长为半径画弧，交AB于点D，E，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝，∴∠B＝60°，BC＝AC·tan 30°＝1． S阴影＝S扇形BCE＋S扇形ACD－S△ACB＝×1×＝． 16．(6分)“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2 cm的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，求该“莱洛三角形”的面积．(结果保留π) 解：如图，过点A作AD⊥BC于点D． ∵AB＝AC＝BC＝2 cm， ∴∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°． ∵AD⊥BC， ∴BD＝CD＝1 cm，AD＝BD＝ cm． ∴S△ABC＝BC·AD＝ cm2， S扇形BAC＝＝(cm2)． ∴该“莱洛三角形”的面积为3×－2×＝(2π－2)cm2． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $