16 专项突破提升(一) 圆中辅助线的引入方法与规律-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级下册数学同步练习分层卷（鲁教版五四制）

专项突破提升(一) 圆中辅助线的引入方法与规律 类型一　添加半径，构造等腰三角形 1．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝45°，AB＝2，⊙O为△ABC的外接圆，求⊙O的半径． 解：如图，连接OA，OB． ∵∠C＝45°，∴∠AOB＝2∠C＝90°． 在Rt△AOB中，OA2＋OB2＝AB2，AB＝2，OA＝OB， ∴2OA2＝4．∴OA＝(负值已舍去)． ∴⊙O的半径是． 类型二　遇弦添加过圆心的垂线段或圆的半径 2．(8分)如图，AB为⊙O的弦，点P在弦AB上．若⊙O的半径为5，BP＝6，AP＝2，求OP的长． 解：如图，连接OA，过点O作OC⊥AB，垂足为点C． ∴AC＝BC＝AB＝×(2＋6)＝4． 在Rt△AOC中，OA＝5，AC＝4， ∴OC＝＝3． 在Rt△COP中，PC＝AC－AP＝4－2＝2，OC＝3， ∴OP＝＝， 即OP的长为． 类型三　遇直径构造直径所对的圆周角 3．(8分)如图，AB为半圆O的直径，CD⊥AB于点D，求证：CD2＝AD·BD． 证明：如图，连接AC，BC． ∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ADC＝90°． ∴∠A＋∠ACD＝90°． ∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°． ∴∠A＋∠B＝90°．∴∠B＝∠ACD． 易得△CDB∽△ADC． ∴＝．∴CD2＝AD·BD． 类型四　遇相切，过切点连圆心得半径 4．(10分)如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在上，过点E作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，∠BEF＝∠CAE． (1)求证：AE平分∠BAC； (2)若BF＝10，EF＝20，求AC的长． (1)证明：如图，连接OE，交BC于点G． ∵EF与⊙O相切于点E， ∴∠OEF＝90°．∴∠BEF＋∠OEB＝90°． ∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°． ∴∠EAB＋∠OBE＝90°． ∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE． ∴∠BEF＝∠EAB． ∵∠BEF＝∠CAE， ∴∠CAE＝∠EAB．∴AE平分∠BAC． (2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C＝90°． ∵OA＝OE，∴∠EAB＝∠AEO． 由(1)知∠CAE＝∠EAB， ∴∠CAE＝∠AEO．∴AC∥OE． ∴∠C＝∠OGB＝90°． ∵OA＝OB，∴CG＝BG． ∴OG是△ACB的中位线． ∴AC＝2OG． ∵∠F＝∠F，∠BEF＝∠BAE， ∴△FEB∽△FAE．∴＝． ∴＝，解得AF＝40． ∴AB＝AF－BF＝40－10＝30． ∴OA＝OB＝OE＝AB＝15． ∵∠OGB＝∠OEF＝90°， ∴BC∥EF．∴＝． ∴＝，解得OG＝9． ∴AC＝2OG＝18，即AC的长为18． 类型五　作半径，证垂直或作垂直，证半径 5．(10分)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠CAB的平分线AD交于点D，过点D作DE∥BC，交AC的延长线于点E． (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)过点D作DF⊥AB于点F，连接BD．若OF＝1，BF＝2，求BD的长． (1)证明：如图，连接OD． ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO． ∵AD平分∠CAB，∴∠DAE＝∠OAD． ∴∠ADO＝∠DAE．∴OD∥AE． ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°． ∵DE∥BC，∴∠E＝∠ACB＝90°． ∵OD∥AE，∴∠ODE＝180°－∠E＝90°． ∴OD⊥DE． ∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线． (2)解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°． ∵OF＝1，BF＝2，∴OB＝3． ∴AF＝4，BA＝6． ∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°． ∴∠ADB＝∠DFB． ∵∠DBF＝∠ABD，∴△DBF∽△ABD． ∴＝． ∴BD2＝BF·BA＝2×6＝12． ∴BD＝2． 6．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线交AC于点O，以点O为圆心，OC的长为半径，在△ABC同侧作半圆O． (1)求证：AB与半圆O相切； (2)若AB＝5，AC＝4，求半圆O的半径． (1)证明：如图，过点O作OH⊥AB于点H，则∠BHO＝∠BCO＝90°． ∵BO平分∠ABC，∠ACB＝90°，OH⊥AB， ∴OH＝OC．∴AB与半圆O相切． (2)解：在Rt△ABC中，AB＝5，AC＝4， ∴BC＝＝＝3． ∵∠ACB＝90°，即BC⊥AC， ∴BC是半圆O的切线． ∵AB与半圆O相切， ∴BH＝BC＝3．∴AH＝AB－BH＝5－3＝2． ∵OH⊥AB， ∴∠OHA＝∠BCA＝90°． ∵∠A＝∠A，∴△OAH∽△BAC． ∴＝，即＝， 解得OH＝．∴半圆O的半径是． 类型六　遇不规则的图形求面积，添线求规则图形面积的和或差 7．(8分)如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP，BP，CP，旋转△APB到△CEB的位置． (1)若正方形的边长是10，PB＝4，则阴影部分的面积为 21π ； (2)若PB＝4，PA＝7，∠APB＝135°，求PC的长． 解：(1)∵把△APB旋转到△CEB的位置， ∴△APB≌△CEB． ∴BP＝BE，∠ABP＝∠EBC． 如图，以点B为圆心，BP为半径画弧，交AB于点F． ∴扇形BFP的面积＝扇形BEQ的面积． ∴图形ECQ的面积＝图形AFP的面积． ∴S阴影＝S扇形BAC－S扇形PBE＝＝21π． 故答案为21π． (2)如图，连接PE． 由(1)知△APB≌△CEB， ∴BP＝BE＝4，∠ABP＝∠EBC，PA＝EC＝7，∠BEC＝∠APB＝135°． ∴△PBE为等腰直角三角形． ∴∠BEP＝45°，PE＝4． ∴∠PEC＝135°－45°＝90°． ∴PC＝＝＝9． 类型七　构造辅助圆 (一)定点定长作圆 8．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，求AQ的长． 解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2， ∴AB＝AC＝4． 如图，由题意可知，点Q在以点C为圆心，CP的长为半径的⊙C上运动，连接DC并延长，分别交⊙C于点Q1，Q2． ∵点D为AB的中点， ∴CD＝AD＝AB＝2，∠ADC＝90°． ∵∠ADQ＝90°， ∴点C，D，Q在同一条直线上． 由旋转得CQ＝CP＝1，分两种情况讨论： 当点Q在CD上位于点Q1时， 在Rt△ADQ1中，DQ1＝CD－CQ1＝1， ∴AQ1＝＝＝． 当点Q在DC的延长线上位于点Q2时， 在Rt△ADQ2中，DQ2＝CD＋CQ2＝3， ∴AQ2＝＝＝． 综上所述，当∠ADQ＝90°时，AQ的长为 或． (二)定弦定角作圆 (1)直角型 9．(8分)如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝2，点P是同一平面内的一个动点，且满足∠BPC＝90°，连接AP，求线段AP的最小值和最大值． 解：如图，以BC为直径作⊙O，连接AO交⊙O于P1，P2两点，连接CP1，则AP1最小，AP2最大． ∵P1P2是⊙O的直径，∴∠P1CP2＝90°． ∵OP2＝OC，∴∠OP2C＝∠OCP2． ∵∠AP1C＝∠P1CP2＋∠OP2C＝90°＋∠OP2C， ∠ACP2＝∠ACB＋∠OCP2＝90°＋∠OCP2， ∴∠AP1C＝∠ACP2． 又∵∠P1AC＝∠CAP2， ∴△P1AC∽△CAP2．∴＝． ∴AP1·AP2＝AC2．∴AP1(AP1＋2)＝4， 解得AP1＝－1＋(负值已舍去)． ∴AP2＝－1＋＋2＝1＋． 故线段AP的最小值和最大值分别是－1＋和1＋． (2)非直角型 10．(10分)如图，以正方形ABCD的一边BC为边向四边形内作等腰三角形BCE，BE＝BC，过点E作EH⊥BC于点H，点P是Rt△BEH的内心，连接AP．若AB＝2，求AP的最小值． 解：如图，连接PE，PC，PB． ∵P是△EHB的内心，∠EHB＝90°， ∴∠BPE＝180°－(∠HEB＋∠HBE)＝135°． ∵BC＝BE，∠PBC＝∠PBE，PB＝PB， ∴△PBC≌△PBE． ∴∠BPC＝∠BPE＝135°． ∴点P的运动轨迹是圆弧． 以BC为斜边在BC的下方作等腰直角三角形BCO，连接OP，OA，则以点O为圆心，OB为半径的⊙O是点P的运动轨迹． ∵AP≥AO－OP， ∴当点O，P，A共线时，AP的值最小． 作OM⊥AB，交AB的延长线于点M． 易知OB＝，OM＝BM＝1，OA＝＝， ∴AP的最小值为． (三)四点共圆 11．(10分)如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠C＝60°，点E，F分别是AB，AD上的动点，且AE＝DF，DE与BF交于点P．当点E从点A运动到点B时，求点P的运动路径长． 解：如图，作△CBD的外接圆⊙O，连接OB，OD． ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠A＝∠C＝60°，AB＝BC＝CD＝AD． ∴△ABD，△BCD都是等边三角形． ∴BD＝AD，∠BDF＝∠A． 在△BDF和△DAE中， ∴△BDF≌△DAE． ∴∠DBF＝∠ADE． ∵∠ADE＋∠BDE＝60°， ∴∠DBF＋∠BDP＝60°． ∴∠BPD＝120°． ∵∠C＝60°， ∴∠C＋∠BPD＝180°． ∴B，C，D，P四点共圆． ∵BC＝CD＝BD＝3， ∴OB＝OD＝3． ∵∠BOD＝2∠C＝120°， ∴点P的运动路径长为＝2π． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $