18 专项突破提升(三) “放回”与“不放回”的公平性问题 跨学科的综合性问题-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级下册数学同步练习分层卷（鲁教版五四制）

专项突破提升(三) “放回”与“不放回”的公平性问题 跨学科的综合性问题 一、“放回”与“不放回”的公平性问题 类型一　“放回”试验 1．(8分)在一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的球，其中1个白球、3个红球． (1)从袋中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率； (2)从袋中随机摸出一个球，放回并摇匀，再随机摸出一个球，请用画树状图法或列表法求两次摸出的球颜色相同的概率． 解：(1)由题意，从袋中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率为． (2)列表如下： 白 红 红 红 白 (白，白) (白，红) (白，红) (白，红) 红 (红，白) (红，红) (红，红) (红，红) 红 (红，白) (红，红) (红，红) (红，红) 红 (红，白) (红，红) (红，红) (红，红) 由表格可知共有16种等可能的结果，其中两次摸出的球颜色相同的结果有10种， ∴P(两次摸出的球颜色相同)＝＝． 2．(8分)深圳市蕴藏着丰富的旅游文化资源．为促进深港两地学生交流，某校开展“美丽深圳，深港同行”主题活动，景点有三个：A．梧桐烟云，B．莲花春早，C．梅沙踏浪．每位参加交流的学生都可以从中随机选择一个景点． (1)参加此次交流活动的小军选择的景点为“梧桐烟云”的概率是； (2)请用列表或画树状图的方法，求小明和小颖选择的景点都是“莲花春早”的概率． 解：(2)画树状图如下： 由树状图可知共有9种等可能的结果，其中小明和小颖选择的景点都是“莲花春早”的结果有1种， ∴P(小明和小颖选择的景点都是“莲花春早”)＝． 类型二　“不放回”试验 3．(8分)2023年国际乒联混合团体世界杯在成都举行．现有三张不透明的卡片，其中一张卡片的正面图案为会徽，另外两张卡片的正面图案都为吉祥物大熊猫“乒乒”，卡片除正面图案不同外其余均相同，将这三张卡片背面向上并搅匀． (1)小明从中随机抽取一张，抽到卡片的正面图案是吉祥物“乒乒”的概率是； (2)小亮从中随机抽取一张，记下卡片上的图案后不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张．请用画树状图或列表的方法，求小亮抽到的两张卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的概率．(图案为会徽的卡片记为A，图案为吉祥物“乒乒”的两张卡片分别记为B1，B2) 解：(2)画树状图如下： 由树状图可知共有6种等可能的结果，其中小亮抽到的两张卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的结果有2种， ∴P(小亮抽到的两张卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”)＝＝． 4．(8分)李白是唐朝伟大的浪漫主义诗人，被后人誉为“诗仙”．《行路难·其一》是李白不受重用、求仕无望后满怀愤慨所作的名篇．小云和小亮将这首诗中的四句分别写在编号为A，B，C，D的4张卡片上，如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同，将这4张卡片背面朝上，洗匀放好，玩抽诗句的游戏． (1)小云从中抽取一张卡片，恰好抽到“长风破浪会有时”的概率为； (2)小亮先抽一张卡片，接着小云从剩下的卡片中抽一张，用画树状图或列表的方法求两人所抽卡片上的诗句恰好成联(注：A与B为一联，C与D为一联)的概率． 解：(2)列表如下： A B C D A (A，B) (A，C) (A，D) B (B，A) (B，C) (B，D) C (C，A) (C，B) (C，D) D (D，A) (D，B) (D，C) 由表格可知共有12种等可能的结果，其中两人所抽卡片上的诗句恰好成联的结果有(A，B)，(B，A)，(C，D)，(D，C)，共4种， ∴P(两人所抽卡片上的诗句恰好成联)＝＝． 二、跨学科的综合性问题 类型一　与语文学科融合 5．(12分)五千年的中华文化创造了魅力无穷的汉字，汉字的演变见证了辉煌灿烂的中华文明，凝聚了丰富深厚的历史文化．春节来临之际，小明用剪纸的方式剪出了“福”“禄”“寿”“喜”的艺术字，如下图所示，然后他将这四个字放入一个不透明的盒子中． (1)求从盒子中任意摸出一个字是“寿”的概率； (2)求从盒子中摸出的字既是中心对称图形又是轴对称图形的概率； (3)求先从盒子中随机摸出一个字是轴对称图形，不放回，再随机摸出一个字是中心对称图形的概率． 解：(1)P(任意摸出一个字是“寿”)＝． (2)∵四个字中既是中心对称图形又是轴对称图形的是“禄”和“喜”字， ∴P(摸出的字既是中心对称图形又是轴对称图形)＝＝． (3)记“福”“禄”“寿”“喜”分别为①，②，③，④，画树状图如下： 由树状图可知共有12种等可能的情况，其中符合题意的情况有②④，③②，③④，④②，共4种， ∴P(先摸出一个字是轴对称图形，再摸出一个字是中心对称图形)＝＝． 6．(8分)《笠翁对韵》是明末清初文学家、戏剧家李渔创作的文集，是学习写作近体诗词，用来熟悉对仗、用韵、组织词语的启蒙读物．“天对地，雨对风，大陆对长空，山花对海树，赤日对苍穹……”就是其中的句子．现将“天”“地”“雨”“风”“大陆”“长空”分别书写在材质、大小完全相同的六张卡片上，洗匀后背面朝上． (1)如果先抽取一张是“天”，那么在剩下的五张卡片中随机抽取一张，恰好抽到卡片“地”，使得对仗工整的概率是； (2)若第一次已经把“天”“地”两张卡片抽走，第二次在剩下的四张卡片中随机抽取两张．请用列表或画树状图的方法求出卡片上的字词能够对仗工整的概率． 解：(2)将书写“雨”“风”“大陆”“长空”的卡片分别记为C，D，E，F．根据题意列表如下： C D E F C (D，C) (E，C) (F，C) D (C，D) (E，D) (F，D) E (C，E) (D，E) (F，E) F (C，F) (D，F) (E，F) 由表格可知共有12种等可能的结果，其中卡片上的字词对仗工整的结果有4种， ∴P(卡片上的字词能够对仗工整)＝＝． 7．(8分)汉字是世界上最古老的文字之一，字形结构体现人类追求均衡对称、和谐稳定的天性，如图的三个汉字可以看成是轴对称图形． (1)请在方框中再写出2个类似轴对称图形的汉字． (2)小敏和小慧利用“土”“口”“木”三个汉字设计一个游戏，规则如下：将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上，背面朝上洗匀后抽出一张，放回洗匀后再抽出一张，若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字(如“土”“土”构成“圭”)则小敏获胜，否则小慧获胜．你认为这个游戏对谁有利？请用列表或画树状图的方法进行分析，并写出构成的汉字进行说明． 解：(1)答案不唯一，如：田、日． (2)这个游戏对小慧有利．分析说明如下： 依题意画树状图如下： 由树状图可知共有9种等可能结果，其中能组成上下结构的汉字的结果有(土，土)“圭”，(口，口)“吕”，(木，口)“杏”或“呆”，(口，木)“呆”或“杏”，共4种， ∴P(小敏获胜)＝，P(小慧获胜)＝． ∴游戏对小慧有利． 类型二　与物理学科融合 8．(4分)在如图所示的电路图中，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是(　B　) A． B． C． D．1 解析：把S1，S2，S3分别记为A，B，C，画树状图如下： 由树状图可知共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有(A，B)，(A，C)，(B，A)，(C，A)，共4种， ∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为． 9．(4分)在如图所示的电路图中，当随机闭合S1，S2，S3，S4中的两个开关时，灯泡不亮的概率为． 解析：把S1，S2，S3，S4分别用1，2，3，4表示，画树状图如下： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中灯泡不亮的结果有(2，3)，(3，2)，共2种， ∴灯泡不亮的概率为． 10．(10分)在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”AP，BP的连接点P在⊙O上，当点P在⊙O上转动时，带动点A，B分别在射线OM，ON上滑动，OM⊥ON．当AP与⊙O相切时，点B恰好落在⊙O上，如图2． 请仅就图2的情形解答下列问题： (1)求证：∠PAO＝2∠PBO； (2)若⊙O的半径为5，AP＝，求BP的长． (1)证明：如图，连接OP，延长BO与圆交于点C，则OP＝OB＝OC． ∵AP与⊙O相切于点P， ∴∠APO＝90°． ∴∠PAO＋∠AOP＝90°． ∵MO⊥CN，∴∠AOP＋∠POC＝90°． ∴∠PAO＝∠POC． ∵OP＝OB， ∴∠OPB＝∠PBO． ∴∠POC＝∠OPB＋∠PBO＝2∠PBO． ∴∠PAO＝2∠PBO． (2)解：如图，连接PC，过点P作PD⊥OC于点D． 在Rt△APO中，AO＝＝． 由(1)知∠POC＝∠PAO， ∴Rt△POD∽Rt△OAP． ∴＝＝， 即＝＝，解得PD＝3，OD＝4． ∴CD＝OC－OD＝1． 在Rt△PDC中，PC＝＝． ∵CB为圆的直径， ∴∠BPC＝90°． ∴BP＝＝＝3． 类型三　与音乐学科融合 11．(4分)“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶(相当于西乐的1，2，3，5，6)，是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞中的可能性大小相同．现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是(　A　) A． B． C． D． 解析：根据题意画图如下： 共有25种等可能的结果，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的结果有1种， ∴先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是． 类型四　与地理学科融合 12．(10分)问题情境：图1是一种地球仪的横截面示意图．点O为地球仪横截面的圆心，AB为底座下部的圆的直径，底座上部与⊙O分别交于M，N两点．已知AM与BN的延长线恰好交于圆心O，且AM＝BN． 问题探究：(1)如图2，设点C是线段AB的中点，连接OC交⊙O于点D．过点D作EF∥AB，分别交OA，OB于点E，F，求证：EF是⊙O的切线． 问题解决：(2)如图2，连接MN，经测量可得MN＝21 cm，AB＝28 cm，AM＝10 cm，求地球仪的半径OM的长． (1)证明：∵AM＝BN，OM＝ON， ∴OA＝OB． ∵点C是线段AB的中点， ∴OC⊥AB． ∵EF∥AB， ∴OC⊥EF． ∵点D在圆上， ∴EF是⊙O的切线． (2)解：由(1)知△OAB是等腰三角形． ∵AM＝BN，OM＝ON，MN＝21 cm， AB＝28 cm，AM＝10 cm， ∴MN∥AB． ∴△OMN∽△OAB． ∴＝，即＝， 解得OM＝30． ∴地球仪的半径OM的长为30 cm． 类型五　与信息技术学科融合 13．(4分)计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．如图是同一个任务进行到不同阶段时圆形进度条的示意图．若圆的半径为1，当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d(x)．下列描述正确的是(　D　) 　　 　　 A．d(25%)＝1 B．当x＞50%时，d(x)＞1 C．当x1＞x2时，d(x1)＞d(x2) D．当x1＋x2＝100%时，d(x1)＝d(x2) 解析：d(25%)＝＞1． 当x＞50%时，0≤d(x)＜2． 当x1＞x2时，d(x1)与d(x2)可能相等，可能不等． 类型六　与美术学科融合 14．(4分)《掷铁饼者》刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间．掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为π m，“弓”所在的圆的半径约为1.25 m，则“弓”所对的圆心角度数为 90° ． 解析：设“弓”所对的圆心角度数为n°． ∵弧长l＝， ∴n＝＝＝90， 即“弓”所对的圆心角度数为90°． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $