第5章 7 切线长定理-【同行学案】2025-2026学年九年级下册数学学练测（鲁教版 五四制）

第五章圆☑ 7 切线长定理 (教材P42~44练习) 即基础闯关 >>>>>>>>>>>>>> 难度等级基础题 即能力提升 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级中等题 知识点：切线长定理 1.如图，PA,PB与⊙O分别相切于点A,B, 素养提升微专题 PA=2,∠P=90°，则AB=( ) 【切线长定理的应用】 A.2√2 B.√2 C.4 D.2 应用1：利用切线长定理求周长 B 6.[几何直观]如图，⊙I为△ABC的内切圆，点 D,E分别为边AB,AC上的点，且DE为⊙I 的切线，若△ABC的周长为19，BC边的长为 第1题图 第2题图 5,则△ADE的周长为( 2.(益阳中考)如图，PA,PB为⊙O的切线，切点 分别为A,B,PO交AB于点C,PO的延长线交 ⊙O于点D,下列结论不一定成立的是( D A.PA-PB B.∠BPD=∠APD 视频讲解 C.AB⊥PD D.AB平分PD 3.如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一 A.3 B.4.5 C.9 D.12 点，CA,CD分别与⊙O相切于点A,D,连接 7.如图，四边形ABCD外切于⊙O,且AB=10, BD,AD.若∠ACD=50°，则∠DBA的度数 CD=15,则四边形ABCD的周长为() 是() A.15° B.35° C.65 D.75° B B A.60 B.55 C.45 D.50 第3题图 第4题图 应用2：利用切线长定理求角的度数 4.如图所示，PA,PB切⊙O于点A,B,∠APB= 8.如图，PA,PB,CD分别切⊙O于A,B,E三 60°，若弦AB=4,则⊙0的半径为 5.如图，PA,PB分别与⊙O相切于点A,B, 点，CD分别交PA,PB于C,D两点，若∠P ⊙O的切线EF分别交PA,PB于点E,F,切 40°，则∠PAE+∠PBE的度数为() 点C在AB上，若PA的长为2，则△PEF的 周长为 D B A.50° B.62° C.66 D.70° 做神龙题得好成绩 41 ☑同行学案学练测数学九年级下LJ 应用3：利用切线长定理求圆的半径 12.(资阳中考)如图，AC是⊙O的直径，PA切 9.[应用意识]为测量一个圆形铁环的半径，某 ⊙O于点A,PB切⊙O于点B,且∠APB= 同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面 60°. 上，用含30°角的直角三角尺和一把刻度尺， (1)求∠BAC的度数. 按照如图所示的方法得到相关数据，进而可 (2)若PA=1,求点O到弦AB的距离. 求得铁环的半径.若测得PA=5cm,则铁环 的半径是 cm. 0 PA 第9题图 第10题图 10.如图，⊙O与△ABC的边AB,AC的延长线 及边BC相切，且∠ACB=90°，∠A, ∠ABC,∠ACB所对的边长依次为3,4,5， 则⊙O的半径是 11.[推理能力]（北京中考）如图，AB是⊙O的 即培优创新 >>>>>>>>>>>>>>> 难度等级综合题 直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线 13.如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的 PC,PD,切点分别为C,D,连接OP,CD 两条切线，DE切⊙O于点E,交AM于点 (1)求证：OP⊥CD. D,交BN于点C,F是CD的中点，连 (2)连接AD,BC,若∠DAB=50°，∠CBA= 接OF. 70°，OA=2,求OP的长 (1)求证：ODBE (2)猜想：OF与CD有何数量关系？请说明 理由. B C 42做神龙题得好成绩1 的内切圆，连接OA,OB,OC,得S=2BC·r+2AC·T √BH-AB2=√/100-64=6.，∠HAB=∠CDB= AB7=ir-2 90,∠H=∠C,∴△HABn△cDB,2品-0即号 一0解得B0 8 E 6.解：(1)直线PC与⊙O相切.理由：连接OC.,AC平分 ∠EAB,∴.∠EAC=∠CAB.:OA=OC,∴.∠CAB= ∠ACO,.∠EAC=∠ACO,.OC∥AD.,AD⊥PD, D ∴∠OCP=∠D=90°，∴.直线PC与⊙O相切.(2)连接 4解：I):BC=5,AC=6,AB=9,D-BC+AC+AB 2 BE.在R△ADP中，∠ADP=S0,AD=6,anP=是， _5+6+9=10,S=Vp(p-a)(p-b)p-c= .PD=8,∴AP=10.设⊙O的半径为r.OCAD, 2 .OC:AD=OP:AP,即r:6=(10-r):10,解得r= √10×5X4XI=10V2,故△ABC的面积为10√2. (2:S-24C+BC+AB),10W2=号(6+5+9)r, 5:mP-子易得P-号：AB是O0的直径， ∠AEB=∠D=90°，.BE∥PD,.∠ABE=∠P, 解得r=√2，故△ABC的内切圆半径r=√2 AE=AB:5ABE=AB:mP=2X5×号-号 培优专题9：圆中常见的辅助线 1.A2.B3.60° 7解，【阅读学习日：号【问超解次如图，连接0， 4.解：如图，设大正方形的各顶点为A,B,C,D,小正方形的 并延长交⊙O于点Q,连接MQ,MO,MN,作MH⊥NO 各顶点为C,F,E,G,半圆的圆心为O,连接OA,OB,OE. 于点H.在⊙O中，∠NMQ=90°.，∠Q=∠P=B, ,四边形ABCD是正方形，∴.AD=BC,∠ADO=∠BCO (OA=OB ∴∠M0N=2∠Q=2跟ang=号，设MN=e,则MQ =90°.在Rt△ADO和Rt△BCO中， AD=BC' =26,NQ=V+M0-5k,∴OM=合NQ= .Rt△ADO≌Rt△BCO(HL),∴.OD=OC.四边形 ABCD是正方形，.AD=DC.设AD=acm,则OD=OC .Saw=号N·M0=NQ:MH,k:2张= =号DC=号AD=2am在Rt△A0D中，由勾股定理， 5k·MH,.MH=2y5k.在R△MHO中，sin2g= 5 得0M=AD+0D-号am0B=0B= 2 a cm. 2W5, .小正方形EFCG的面积为16cm2,∴.EF=FC=4cm. sin∠MON=M_5t 4 OM 5, 5 在Rt△OFE中，由勾殷定理，得（号a)°=+（合a十 2 M )解得a=二4（舍去）或a=8,5a=45,该半圆 的半径是4√5cm. 8.57 9.(1)证明：连接OC.:CE与⊙0相切，OC是⊙O的半径， DO C F .OCLCE,.∠OCA+∠ACE=90°.，OA=OC,∴∠A 6 3 [解析]如图，连接BO并延长交 =∠OCA,.∠ACE+∠A=90°.：OD⊥AB, ⊙O于点H,连接AH.BH是⊙O的 ∴∠ODA+∠A=90°.∠ODA=∠CDE,∴∠CDE+ 直径，∴.∠HAB=90,.AH= ∠A=90°，.∠CDE=∠ACE,.EC=ED.(2)解：：AB 为⊙O的直径，.∠ACB=90°.在Rt△DCF中，∠DCE+ ∠ECF=90°，∠DCE=∠CDE,∴.∠CDE+∠ECF=90°. 13.(1)证明：连接OE.,AM,DE是⊙O的切线，∴.DA= ,∠CDE+∠F=90°，∴∠ECF=∠F,.EC=EF.EF DE,∠OAD=∠OED=90°.在Rt△AOD和Rt△EOD =3,∴.EC=DE=3,∴.OE=√OC2+EC=√42+32= OD=-ODRAA0D2R△B0D(HL,i∠AOD (DA=DE 中， 5,∴.OD=OE-DE=2.在Rt△OAD中，AD= √OA+OD=√4+2=25.在Rt△AOD和 =∠BOD=2∠A0E.:∠ABE=2∠AOE,∴∠A0D Rt△ACB中，·∠A=∠A,∠AOD=∠ACB,∴.Rt△AOD nR4ca9-0即是-25aC-16 =∠ABE,0D,/BE。(2)解：OF=CD.理由：连接 5 OC.,BC,CE是⊙O的切线，.易得∠OCB=∠OCF. *7切线长定理 ,AM和BN是⊙O的切线，∴.AB⊥AM,AB⊥BN, 1A2D3.c445.4 3 ∴.AMBN,∴.∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE= 6.C[解析]如图，：⊙I为△ABC的内切圆，.DM=DN, 180°.：∠ADO=∠ED0,.2∠EDO+2∠OCE=180°， EM=EH,BN=BG,CH=CG.△ABC的周长为19， 即∠EDO+∠OCE=90°，∴.∠DOC=90°.，F是CD的 BC边的长为5，∴.AB+AC+BC=19,BG+CG=BN+ CH=BC=5,.AB+AC=19-BC=14,.△ADE的周 中点O=CD. 长为AD+AE+DE=AD+AE+DM+EM=AD+AE 培优专题10：巧用三角形的中位线求解圆的问题 +DN+EH=AN+AH=AB+AC-BN-CH=(AB+ 1.C2.B AC)-(BN+CH)=14-5=9. 3.B[解析]如图，连接AB.:∠AOB=90°，OA=OB=1, A ∴.AB=√OA2+OB2=√12+1严=√2.，OC⊥AP,OD D LPB.AC-CP,PD-DB..cD-AB 2 7.D8.D9.5510.2 11.(1)证明：连接OC,OD,则OC=OD.,PD,PC是⊙O的 4.B[解析]延长CF交⊙O于点T,连接DT.,AB是直 切线，∴.DP=PC,∴PO垂直平分线段DC,即OP⊥CD. (2)解：.OA=OD=OC=OB=2,∴.∠ADO=∠DAO= 径，AB1CT,CP=FT.DE=BC,EF=号DT,当 50°，∠BCO=∠CBO=70°，.∠AOD=80°，∠BOC= 40°，∴∠COD=60°.：OD=OC,∴.△COD是等边三角 DT是直径时，EF的值最大，最大值=号×8=4 形.又OP⊥CD,∴.∠DOP=∠COP=30°，∴.在 5.1 Rt△ODP中，OP=OD=43 6.5[解析]如图，作直径DG,连接CG.,DG为直径， cos30°=3 ∴∠DCG=90°，∴.∠CDG+∠G=90°.，AC⊥BD, 12.獬：(1)，PA切⊙O于点A,PB切⊙0O于点B,∴.PA= .∠DAC+∠ADB=90°.∠DAC=∠G,∴.∠ADB= PB,∠PAC=90°.，∠APB=60°，∴△APB是等边三角 ∠CDG,.AB=CG,AB=CG.OF⊥CD,DF= 形，∴∠BAP=60°，∠BAC=90°-∠BAP=30° CF.OD=OG,∴.OF为△DCG的中位线，.CG=2OF (2)作OD 1AB于点D,则AD=BD=AB.“△APB =2X号=5AB=5 是等边三角形，AB=PA=1,AD=号：∠BAC= 30,AD-50D-分，0D得，即点0到弦AB的 阳斑为汽 同行学案学练测·15·