09 课时分层训练(九) 弧长及扇形的面积-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级下册数学同步练习分层卷（鲁教版五四制）

课时分层训练(九)　弧长及扇形的面积 知识点一　弧长的计算公式 1．已知扇形的弧长为6π cm，所对圆心角为90°，则此扇形的半径为(　C　) A．3 cm B．6 cm C．12 cm D．18 cm 2．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接AC，OC．若AB＝6，∠A＝30°，则的长为(　D　) A．6π B．2π C．π D．π 3．(2026·滨州月考)《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作．如图所示的是书中记载的一个滑轮机械，称为“绳制”．若图中的定滑轮半径为6 cm，滑轮旋转了15°，则重物“甲”上升了cm．(绳索粗细不计，且与滑轮之间无滑动，结果保留π) 4．田径场是田径运动的场地，分为标准田径场和非标准田径场两类，内设由两弯道和两直道组成的环形径赛跑道及各项田赛区，如图1所示．图2中与是田径场弯道的外、内侧边线的一部分，它们有共同的圆心O．设所对的圆心角都是72°，点A，C，O在同一条直线上，跑道宽AC＝10 m，求内、外侧边线的差值．(结果保留π) 解：的长为＝4π＋， 的长为， 故内、外侧边线的差值为4π＋＝4π(m)． 知识点二　扇形的面积公式 5．家具厂利用如图所示的直径为1 m的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件(阴影部分)的面积为(　C　) A．π m2 B．π m2 C．π m2 D．π m2 6．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D是边BC上的中点，以点A为圆心，AD长为半径作圆，与AB，AC分别交于E，F两点，则图中阴影部分的面积为(　C　) A． B． C． D． 7．(2026·包头模拟)如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为 π ． 解析：∵四边形ABCD是正方形， ∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝CD，∠DBE＝45°． ∴△AOD≌△COB． ∵正方形ABCD的边长为2， ∴BD＝＝2． ∴S阴影＝S扇形BED＝＝π． 8．数学课上，老师将如图所示的边长为1的正方形铁丝框变形成以点A为圆心，AB为半径的扇形(铁丝的粗细忽略不计)，则所得扇形DAB的面积是 1 ． 9．(2026·聊城检测)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，AC＝AD．若∠ABC＝130°，⊙O的半径为9，则劣弧的长为(　B　) A．4π　 B．8π C．9π D．18π 解析：如图，连接OD，OC． ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC＋∠ADC＝180°． ∵∠ABC＝130°，∴∠ADC＝50°． ∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝50°． ∴∠DAC＝80°．∴∠DOC＝2∠DAC＝160°． ∴劣弧的长为＝8π． 10．已知扇形的圆心角∠AOB＝90°，半径OA＝OB＝4，现分别以OA，OB的中点为圆心，2为半径画半圆，如图所示，求阴影部分的周长和面积．(结果保留π) 解：如图，分别取OB，OA的中点E，F，连接EG，FG，则四边形OEGF是正方形． ∴阴影部分的周长＝的长＋的长＋的长＝的长＋的长＝×2π×2＋×2π×4＝4π． S阴影＝S扇形AOB－S扇形BEG－S正方形OEGF－S扇形AFG＝×π×42－×π×22－2×2－×π×22＝2π－4， ∴阴影部分的周长为4π，面积为2π－4． 11．如图，在⊙O中，弦AB⊥CD于点E，弦AG⊥BC于点F，AG与CD相交于点M． (1)求证：＝； (2)若的度数为80°，⊙O的半径为6，求的弧长和． (1)证明：∵AB⊥CD，AG⊥BC， ∴∠DCB＋∠B＝90°，∠GAB＋∠B＝90°． ∴∠DCB＝∠GAB．∴＝． (2)解：∵的度数是80°，∴∠B＝40°． ∴∠DCB＝50°．∴∠GMC＝40°． ∴∠ACD＋∠CAG＝40°． ∴的弧长和为＝． 12．(2026·齐齐哈尔模拟)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，E是斜边AC上一点，以AE为直径的⊙O经过点D，交AB于点F，连接DF． (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若BD＝5，tan ∠ADB＝，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) (1)证明：如图，连接OD． ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA． ∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠BAD． ∴∠ODA＝∠BAD．∴OD∥AB． ∴∠ODC＝∠B＝90°． ∴半径OD⊥BC于点D． ∴BC是⊙O的切线． (2)解：如图，连接 OF，DE． ∵∠B＝90°，tan ∠ADB＝， ∴∠ADB＝60°，∠BAD＝30°． ∵BD＝5，∴AD＝2BD＝10． ∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°． ∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠BAD＝30°，∠BAC＝60°． 在Rt△ADE 中，AD＝10，cos ∠DAE＝＝，∴AE＝．∴OA＝AE＝． ∵OA＝OF，∠BAC＝60°， ∴△AOF 是等边三角形．∴∠AOF＝60°． ∵OD∥AB，∴S△ADF＝S△AOF． ∴S阴影＝S扇形OAF＝＝． 【创新运用】 13．如图，在正方形ABCD中，AD＝2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB延长线上的点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG． (1)求证：EF∥CG； (2)求点C，点A在旋转过程中形成的与线段CG所围成的阴影部分的面积． (1)证明：在正方形ABCD中，AB＝BC＝AD＝2，∠ABC＝90°． ∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△ABF， ∴△ABF≌△CBE． ∴∠FAB＝∠ECB，∠ABF＝∠CBE＝90°，AF＝CE． ∴∠AFB＋∠FAB＝90°． ∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG， ∴∠AFB＋∠CFG＝∠AFG＝90°． ∴∠CFG＝∠FAB＝∠ECB．∴EC∥FG． ∵AF＝CE，AF＝FG，∴EC＝FG． ∴四边形EFGC是平行四边形．∴EF∥CG． (2)解：∵AD＝2，E是AB的中点， ∴BF＝BE＝AB＝×2＝1． ∴AF＝＝＝． 由平行四边形的性质，得△FEC≌△CGF， ∴S△FEC＝S△CGF． ∴S阴影＝S扇形BAC＋S△ABF＋S△FGC－S扇形FAG ＝×2×1＋×(1＋2)×1－＝． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $