5.9弧长及扇形的面积同步训练2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级下册

5.9 弧长及扇形的面积 知识梳理 1. 关键概念： · 弧长：圆上两点间的曲线段长度，取决于圆心角大小和圆的半径； · 扇形：由圆心角（）和两条半径（）围成的圆的一部分； · 圆环：两个同心圆所夹的区域，大圆半径为，小圆半径为（）。 1. 核心公式： · 弧长公式：（为圆心角的度数，为圆的半径）； · 扇形面积公式： 0. 直接用圆心角和半径：扇形； 0. 用弧长和半径：扇形（为扇形对应的弧长）； · 圆环面积公式：圆环。 1. 公式关联与推导： · 扇形面积与圆面积的关系：扇形面积是所在圆面积的（因圆心角占周角的）； · 弧长与扇形面积的关联：由弧长公式变形得，代入扇形面积公式，可推导得。 同步训练 一、单选题 1．一个扇形的圆心角为，半径为3，则这个扇形的面积是（  ） A． B． C． π D．π 2．如图，的半径为4，直径，互相垂直，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．如图，某小区拟修建一个自行车棚，从侧面看，棚顶的支撑杆可看成．已知所在圆为，且，．则一根支撑杆的长度为（   ） A． B． C． D． 4．如图，将圆形纸片沿弦折叠使经过圆心，过点作直径于点，，连接，则的长是（   ） A． B． C． D． 5．“太湖之星”摩天轮是世界第二大水上摩天轮，其示意图如图所示，该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心到的距离为，摩天轮迅速旋转一圈用时．某轿厢从点出发，后到达点，则此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为（） A． B． C． D． 6．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于，两点，若，则两圆之间的圆环的面积是（    ） A． B． C． D． 7．如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D、E分别在、上，点C在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．如图，在中，，半径为的是的内切圆，连接，分别交于点，则图中阴影部分的面积是 ． 9．如图，已知，的弧长之差为，，若，则阴影部分的周长为 ． 10．将任意半径为的圆按如图所示的方式折叠得到一个月牙形，若折痕到圆心的距离，则月牙形与原圆面积之比为 ． 11．如图，点A、B、C均在上，直径，，则图中阴影部分的面积为 ． 12．如图，线段，，，的半径为1，当从点A沿着滚动到D点时圆心O经过的路径长是 ． 三、解答题 13．如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，求此扇形的面积是多少？ 14．如图，是内接三角形，是的直径，，，求弦所对的弧长． 15．如图，中，，与相切于点，与交于点，与的延长线交于点，连接，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积(结果保留)． 16．综合与探究 如图，四边形为的内接四边形，连接，，为等边三角形，，． (1)求证：． (2)①尺规作图：过点作，交的延长线于点． ②求证：． (3)求的长． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查了扇形的面积公式． 根据扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：一个扇形的圆心角为，半径是， 这个扇形的面积是． 故选：A． 2．B 【分析】本题考查弧长的计算，先利用直径、互相垂直，得出，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：∵直径、互相垂直， ∴， ∴的长为， 故选：B． 3．C 【分析】本题主要考查了弧长公式的应用，掌握弧长公式（其中n为圆心角的度数，r为圆的半径）是解题的关键． 直接运用弧长公式求得的长度即可． 【详解】解：∵，， ∴，即一根支撑杆的长度为． 故选C． 4．D 【分析】本题主要考查垂径定理与勾股定理，弧长公式，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作图是关键． 如图所示，连接，根据折叠，垂径定理，勾股定理，可证是等边三角形，，则，结合弧长公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， 由折叠可得，则， ∵， ∴，， 在中，设，则，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴是等边三角形， ∴，则， ∴的长为， 故选：D． 5．C 【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：∵最高点离水面平台的距离为，圆心O到的距离为， ∴摩天轮的半径为， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B， ∴， ∴该轿厢所经过的路径长度为：． 故选：C． 6．D 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，连接，过点O作，得出 ，进而求出结论． 【详解】解：连接，过点O作， ， ，即， ， 由圆环的面积公式可得： ， 故选：D． 7．C 【分析】本题考查了扇形面积与菱形面积的计算，解题的关键是利用菱形性质确定角度，结合三角函数求高，通过“阴影面积扇形面积菱形面积”计算． 连接，由菱形性质得；过作，用含角的直角边等于斜边的一半求；计算扇形与菱形的面积，作差得阴影面积． 【详解】解：连接，过作于． ∵ 四边形是菱形，， ∴ ，， 又， ∴ ， 由得，则， ∴，， 即,解得，即， ∴菱形的面积． 扇形的面积， ∴ 阴影面积， 故选：C． 8． 【分析】本题考查了内切圆的性质，三角形的内角和定理，扇形面积；根据题意先求得，再根据扇形面积公式，即可求解． 【详解】解：∵是的内切圆， ∴平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴图中阴影部分的面积是 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了弧长公式，解题的关键是理解题意，掌握弧长公式． 由弧长公式可得，进而得到，再由弧长公式进一步计算阴影部分的周长即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴． ∵， ∴的弧长， ∴的弧长， ∴阴影部分的周长的弧长的弧长， 故答案为：． 10． 【分析】记圆心为，弦为，作于点，连接，，利用勾股定理推出，进而利用垂径定理得到，再根据解直角三角形，推出，最后结合扇形面积公式，对称的性质求解，即可解题． 【详解】解：记圆心为，弦为，作于点，连接，，如图所示： ， 由题意知，，， ， ， ， ， 同理可得， ， 弓形面积为：， 结合折叠性质可知，月牙形面积为， 则月牙形与原圆面积之比为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，解直角三角形，扇形面积公式，折叠的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 11．/ 【分析】本题考查了圆周角定理和扇形面积公式；解题的关键是利用圆周角定理将已知的圆周角转换为圆心角，再代入扇形面积公式计算；先根据为公共弧，得，再根据扇形面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ 为公共弧，直径，， ∴，半径， ∴ 故答案为． 12． 【分析】根据题意，得出圆心O的运动规律，再结合弧长公式，分别求了各部分的长，再相加即可． 【详解】解：如图所示，图中的圆与、、都相切，连接结相关线段，图中的圆都是等圆， ∴ ， ， ∴，，是等边三角形， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， 四边形是矩形，， ∴，，， ∵，， ∴， ∴的长为 ∵， ∴， ∵、是的切线， ∴， 在与中， ∴， ∴，， 在中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴， ， ∴， ∴圆心O经过的路径长是： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了含度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，根据矩形的性质与判定求线段长，切线的性质定理，应用切线长定理求解，求某点的弧形运动路径长度等知识点，解题关键是熟知弧长的计算公式． 13． 【分析】本题考查的是圆周角定理，扇形的面积的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 如图，连接，证明为圆的直径，再利用勾股定理求解，再利用扇形面积公式计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ， 为圆的直径，， ， ， ． 14．弦所对的劣弧的长为，弦所对的优弧的长为 【分析】本题主要考查了求弧长，圆周角定理；连接，可证明，由直径所对的圆周角是直角得到，则可求出，则，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴弦所对的劣弧的长为，弦所对的优弧的长为． 15．(1)相切，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的性质和判定，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． （1）根据切线的性质以及全等三角形的判定和性质得出，再根据切线的判定方法进行判断即可； （2）根据全等的性质可得， 结合等腰三角形和直角三角形的性质可求出，， 利用勾股定理和含直角三角形的性质可求得的长，最后根据进行计算即可． 【详解】（1）证明：是的切线，理由如下： 如图所示，连接， 与相切于点， ， 在和中， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ． 16．(1)证明见解析 (2)①作图见解析②证明见解析 (3) 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、等边三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、尺规作图、勾股定理、垂径定理；解题的关键是利用等边三角形和圆内接四边形的性质推导角度关系，通过角度相等证明三角形全等，进而找到边的关系． （1）利用等边三角形性质得弧相等，再根据圆周角定理证明角相等； （2）①尺规作图过点作平行线，利用全等三角形对应角相等，以及内错角相等，两直线平行的原理进行作图；②先通过平行线和圆内接四边形性质推导角度，证明，从而得边相等； （3）根据（2）得出的全等，证明为等边三角形，求出长度，过点作于，利用和，以及勾股定理，求出的长度，过点作于，利用垂径定理求出半径长度，再用弧长公式计算即可． 【详解】（1）∵为等边三角形 ∴ ∴ ∴ （2）①解：尺规作图如下： 步骤一：以点为圆心，任意长为半径作圆弧，交直线于点，交线段（或射线）于点； 步骤二：以点为圆心，以相同的长为半径作圆弧，交射线于点（使得，即点在射线上且等于步骤二中的半径）； 步骤三：以点为圆心，以线段的长为半径作圆弧，交步骤三中所作的圆弧于点（取与点位于直线相反侧的交点）； 步骤四：过点和点作直线，则直线即为所求的过点且平行于的直线，交的延长线于点． 原理：由作图可知，，故，内错角相等，所以 ． ②证明：∵为等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 ∵四边形为的内接四边形 ∴ ∵在和中 ∴ ∴ （3）解： 由（2）得 ∴， ∵ ∴为等边三角形 ∴ 如图，过点作于，过点作于 ∵，则 ∴ ∵在中， ∴ 又∵ ∴在中， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵在中，设，则 ∴ 整理得 或（舍） ∴ ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $