5.9弧长及扇形的面积同步练习2024-2025学年鲁教版（五四制）数学九年级下册

5.9弧长及扇形的面积 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，矩形是由矩形绕点顺时针旋转而得，且点、、在同一条直线上，在中，若，，则对角线旋转所扫过的扇形面积为（ ） A． B． C． D． 2．已知一个扇形的面积是，弧长是，则这个扇形的半径为（   ） A．12 B． C．24 D． 3．如图，△ABC是等边三角形，AC=6，以点A为圆心，AB长为半径画弧DE，若∠1=∠2，则弧DE的长为（　　） A．1π B．1.5π C．2π D．3π 4．如图，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB切小圆于P，两圆的半径分别为6，3，则图中阴影部分的面积是(    ) A． B． C． D． 5．如图，正方形ABCD是圆O的内接正方形，已知AB=2，则弧ADB的长度为(     )    A． B． C． D． 6．已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 7．已知圆的半径为扇形的圆心角为，则扇形的面积为（  ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，以B为圆心为半径画弧交平行四边形的对边分别于F、E，再以C为圆心为半径画弧恰好交边于E点，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 9．如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 10．如图，已知□ABCD的对角线BD=4cm，将□ABCD绕其对称中心O旋转180°，则点D所转过的路径长为（    ） A．4π cm B．3π cm C．2π cm D．π cm 11．如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 12．如图，有圆锥形粮堆，其正视图是边长为6的正三角形，粮堆母线的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在处，它要沿圆锥侧面到达P处，捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是（    ） A．3 B． C． D．4 二、填空题 13．如图，半圆O的直径AE=6，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD则图中阴影部分的面积为 ． 14．已知扇形的圆心角为120°，弧长为，则它的半径为 ． 15．如图，Rt△ABC，∠B=90°，∠C=30°，O为AC上一点，OA=2，以O为圆心，以OA为半径的圆与CB相切于点E，与AB相交于点F，连接OE、OF，则图中阴影部分的面积是 ． 16．若一个扇形的圆心角为，面积为，则这个扇形的弧长为 （结果保留） 17．如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为，连接AB，则图中阴影部分的面积是 . 三、解答题 18．如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在BD上． (1)判断直线AD与圆O的位置关系，并说明理由； (2)若圆的半径为6，求图中阴影部分的面积． 19．如图，为的直径，射线交于点F，点C为劣弧的中点，过点C作，垂足为E，连接．    （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 20．下列每个正方形的边长为2，求下图中阴影部分的面积．    21．如图，中，，，，与相切于点D．    (1)求图中阴影部分的面积； (2)设上有一动点P，连接，．当的长最大时，求的长． 22．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点E． （1）求证：PC是⊙O的切线． （2）若∠ABC＝60°，AB＝2，求图中阴影部分的面积． 23．已知C、D两点在以AB为直径的半圆周上且把半圆三等分，若已知AB长为10，求阴影部分的面积．（结果保留） 24．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．（每个小方格的顶点叫格点） （1）画出△ABC向下平移3个单位后的△A1B1C1； （2）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2，并求点A旋转到A2所经过的路线长． 《5.9弧长及扇形的面积》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C C B D B A C C 题号 11 12 答案 C B 1．A 【分析】连接，根据正切的定义，得出，进而得出，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据旋转的性质，得出，再根据角之间的数量关系，得出，再根据扇形的面积公式，计算即可． 【详解】解：连接， ∵在矩形中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数、含角的直角三角形、旋转的性质、扇形的面积公式，解本题的关键在熟练掌握特殊角的三角形函数值． 2．C 【分析】根据扇形面积计算公式“”可直接列出方程求出半径r． 【详解】由题得 解得 故选：C 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积计算公式是解决本题的关键． 3．C 【详解】∵△ABC是等边三角形，AC=6， ∴AB=AC=6，∠CAB=60°． ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD， ∴∠CAB=∠DAE=60°， ∴弧DE的长为， 故选C． 4．C 【分析】根据图形可明显地看出阴影部分的面积为△OAB和扇形OCD的面积差．连接OP，可根据两圆的半径长求出AP的长和扇形OCD的圆心角．然后分别计算出△OAB和扇形OCD的面积，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解： 连接OP，则OP⊥AB； 在Rt△OBP中，BP=3，∠BOP=60°， ∴AB=6，∠AOB=120°； ∴S△OAB=6×3÷2=9 ，S扇形OCD==3π， 所以S阴影=9-3π． 故选C． 【点睛】本题的关键是理解阴影部分的面积=三角形的面积-扇形的面积，然后分别计算求值即可． 5．B 【分析】连接AO，BO，得到∠AOB=90°，再由勾股定理求出AO=BO=，最后根据弧长计算公式求解即可． 【详解】连接AO，BO，则△AOB是等腰直角三角形，    ∴AO=BO ∴，而AB=2， ∴AO=， ∴ 弧ADB的长度= 故选B． 【点睛】此题主要考查了弧长的计算，熟练掌握弧长计算公式是解此题的关键． 6．D 【分析】本题考查扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式：．据此计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∴扇形的面积为． 故选：D． 7．B 【分析】扇形面积公式为： 利用公式直接计算即可得到答案． 【详解】解： 圆的半径为扇形的圆心角为， 故选： 【点睛】本题考查的是扇形的面积的计算，掌握扇形的面积的计算公式是解题的关键． 8．A 【分析】如图所示，连接，二者交于O，证明是等边三角形，，得到，， ，进而推出，，再证明，则，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，二者交于O， 由作图方法可知， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴，， ， ∴，， ∵， ∴（等底同高）， ∴， ∴ ， 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定，扇形面积，证明，得到是解题的关键． 9．C 【分析】本题考查了勾股定理、三角形内切圆、面积法求内切圆半径、扇形面积等知识点，求出内切圆半径是解题的关键． 连结、、，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，，再说明四边形是正方形，再根据求解即可． 【详解】解：如图：连接、、，，设半径为，   ，，， ， 的内切圆与，，分别相切于点，，， ，，，且， ， 四边形是正方形， ， ， ，． 故选：C． 10．C 【分析】点D所转过的路径长是一段弧，是一段圆心角为180°，半径为OD的弧，故根据弧长公式计算即可． 【详解】解：BD=4， ∴OD=2 ∴点D所转过的路径长==2π． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了弧长公式：． 11．C 【分析】解直角三角形求出，推出，再利用扇形的面积公式求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查扇形的面积，三角函数、矩形的性质等知识，解题的关键是求出的度数． 12．B 【分析】求这只小猫经过的最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．根据圆锥的轴截面是边长为的等边三角形可知，展开图是半径是6的半圆．点是半圆的一个端点，而点是平分半圆的半径的中点，根据勾股定理就可求出两点和在展开图中的距离，就是这只小猫经过的最短距离． 【详解】 解：圆锥的底面周长是，则， ，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度． 则在圆锥侧面展开图中，，度． 在圆锥侧面展开图中． 故小猫经过的最短距离是．故选：． 【点睛】 本题考查的是平面展开最短路线问题，根据题意画出圆锥的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 13．． 【分析】根据题意可知，图中阴影部分的面积等于扇形BOD的面积，根据扇形面积公式即可求解． 【详解】∵AB=BC，CD=DE，∴，，∴，∴∠BOD=90°，∴S阴影=S扇形OBD． 故答案为． 【点睛】本题考查了扇形的面积计算及圆心角、弧之间的关系．解答本题的关键是得出阴影部分的面积等于扇形BOD的面积． 14．3 【分析】根据弧长计算进行求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 由题意得，， 解得， ∴扇形的半径为， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了求扇形半径，熟知弧长计算公式是解题的关键 15．π 【分析】根据扇形面积公式以及三角形面积公式即可求出答案． 【详解】∵∠B=90°，∠C=30°， ∴∠A=60°，     ∵OA=OF， ∴△AOF是等边三角形， ∴∠COF=120°， ∵OA=2， ∴扇形OGF的面积为：= ∵OA为半径的圆与CB相切于点E， ∴∠OEC=90°， ∴OC=2OE=4， ∴AC=OC+OA=6， ∴AB=AC=3， ∴由勾股定理可知：BC=3 ∴△ABC的面积为：×3×3= ∵△OAF的面积为：×2×=， ∴阴影部分面积为：﹣﹣π=﹣π 故答案为﹣π. 【点睛】本题考查扇形面积公式，涉及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，扇形的面积公式等知识，综合程度较高． 16． 【分析】先利用扇形的面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式即可得． 【详解】设扇形的半径为 则 解得或（不符题意，舍去） 则这个扇形的弧长为 故答案为：． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式、弧长公式，熟记公式是解题关键． 17．π-2. 【分析】由∠AOB为90°，得到△OAB为等腰直角三角形，于是OA=OB，而S阴影部分=S扇形OAB-S△OAB．然后根据扇形和直角三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：S阴影部分=S扇形OAB-S△OAB =−×2×2 =π-2 故答案为π-2. 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，是属于基础性的题目的一个组合，只要记住公式即可正确解出．关键是从图中可以看出阴影部分的面积是扇形的面积减去直角三角形的面积． 18．(1)直线AD与圆O相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接OA，根据和AB=AD，可得∠DBC=∠ABD=∠D=30°，从而得到∠BAD=120°，再由OA=OB，可得∠BAO=∠ABD=30°，从而得到∠OAD=90°，即可求解； （2）连接OC，作OH⊥BC于H，根据垂径定理可得，进而得到，再根据阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】（1）解：直线AD与圆O相切，理由如下： 如图，连接OA， ∵， ∴∠D=∠DBC， ∵AB=AD， ∴∠D=∠ABD， ∵， ∴∠DBC=∠ABD=∠D=30°， ∴∠BAD=120°， ∵OA=OB， ∴∠BAO=∠ABD=30°， ∴∠OAD=90°， ∴OA⊥AD， ∵OA是圆的半径， ∴直线AD与园O相切， （2）解：如图，连接OC，作OH⊥BC于H， ∵OB=OC=6， ∴∠OCB=∠OBC=30°， ∴∠BOC=120°， ∴， ∴， ∴， ∴扇形BOC的面积为， ∵， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，求扇形面积，垂径定理，熟练掌握切线的判定定理，并根据题意得到阴影部分的面积为是解题的关键． 19．（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）连接BF，证明BF//CE，连接OC，证明OC⊥CE即可得到结论； （2）连接OF，求出扇形FOC的面积即可得到阴影部分的面积． 【详解】（1）连接，    是的直径， ，即， ， 连接， ∵点C为劣弧的中点， ， ∵， ∵OC是的半径， ∴CE是的切线； （2）连接 ，， ∵点C为劣弧的中点， ， ， ， ， ∴S扇形FOC=， 即阴影部分的面积为：． 【点睛】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法，熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键． 20．2.28 【分析】由图形可知阴影面积=半圆面积-两个小三角形面积和，根据公式计算即可． 【详解】πr2÷2-2×2÷2×2 =3.14×2×2÷2-4 =2.28． 【点睛】本题考查了圆的面积公式，解题的关键是熟练掌握间接法求阴影部分图形的面积． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是： （1）连接，利用勾股定理的逆定理判定得出，利用切线的性质得出，利用等面积法求出，然后利用求解即可； （2）延长交于P，连接，则最大，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解∶连接，    ∵，，， ∴， ∴， ∵与相切于D， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解∶延长交于P，连接，此时最大，    由（1）知：，， ∴． 22．（1）详见解析；（2）﹣． 【分析】（1）连接OC，如图，根据切线的性质得到∠PAB=90°，再根据垂径定理得到CD=AD，则OD垂直平分AC，所以PA=PC，利用等腰三角形的性质得到∠OCA+∠PCA=∠OAC+∠PAC=90°，然后根据切线的判定方法可判断PC是⊙O的切线； （2）先证明△OBC为等边三角形得到∠BOC=60°，再计算出，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积=S△OCE-S扇形BOC进行计算． 【详解】（1）证明：如图，连接OC， ∵PA为⊙O的切线， ∴PA⊥OA， ∴∠PAB＝90°， ∵OD⊥AC， ∴CD＝AD， ∴OD垂直平分AC， ∴PA＝PC， ∴∠PCA＝∠PAC， 而OC＝OA， ∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠OCA+∠PCA＝∠OAC+∠PAC＝90°，即∠POC＝90°， ∴OC⊥PC， ∴PC是⊙O的切线； （2）解：∵OB＝OC，∠OBC＝60°， ∴△OBC为等边三角形， ∴∠BOC＝60°， ∴CE＝OC＝， ∴图中阴影部分的面积＝S△OCE﹣S扇形BOC ＝×1×﹣ ＝﹣． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了扇形的面积公式． 23． 【分析】阴影部分的面积，根据等底等高的两三角形面积相等，然后把阴影部分的面积转为求扇形的面积并利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：阴影部分的面积 、把半圆弧三等份， ， 、等底等高， 阴影面积． 答：阴影部分面积是． 【点睛】本题的关键是分析阴影部分的面积是由哪几部分是组成的，然后根据扇形面积公式计算． 24．（1）见解析； （2）图见解析， 【分析】（1）按要求画出平移后的△A1B1C1，由图可知，△ABC平移过程扫过的区域由△ABC和矩形BB1C1C，由已知条件计算这两部分的面积，相加即可； （2）按要求画出旋转后的△A2B2C2，由图可知，旋转过程中点A到A2的路线长是的长，由已知条件计算出的长即可. 【详解】（1）画图如下， 由图可知：平移过程中△ABC扫过的区域由△ABC和矩形BB1C1C两部分构成， ∴△ABC平移过程扫过的面积为：S△ABC+S矩形BB1C1C =. （2）画图如下： 由图可知，旋转过程中，点A到A2的路线长是的长， ∴点A旋转到点A2的路线长为：. 【点睛】本题第（1）问求△ABC平移过程中扫过的面积时，注意是△ABC三边平移时扫过的区域，而不只是BC边扫过的区域，因此扫过的面积是由矩形BB1C1C和△ABC组成的，而不只是矩形BB1C1C部分. 学科网（北京）股份有限公司 $$