专题03中心对称与三角形中位线同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年湘教版八年级数学下册

专题03中心对称与三角形中位线同步讲义 【题型01 认识中心对称】................................................3 【题型02 作已知图形关于某点的中心对称图形】............................5 【题型03 确定两个成中心对称图形的对称中心】............................9 【题型04 利用中心对称性质求面积.线段长度与角度】.......................11 【题型05 识别中心对称图形】...........................................14 【题型06 确定中心对称图形的对称中心】.................................16 【题型07 在方格中补全中心对称图形】...................................18 【题型08 三角形中位线的计算问题】.....................................21 【题型09 三角形中位线的证明问题】.....................................25 【题型10 三角形中位线的实际应用】.....................................29 【题型11 中点四边形问题探究】..........................................31 【解答题5题】.........................................................35 ★知识梳理 知识点04:中心对称（特殊的旋转） 1. 中心对称定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点中心对称，这个点叫作对称中心。 2. 中心对称性质 成中心对称的两个图形全等。 对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。 3. 中心对称图形 一个图形绕着某一个点旋转180°后，能与自身重合，这个图形叫作中心对称图形（如平行四边形、圆、矩形等）。 知识点05:中心对称与中心对称图形的区别 对比项 中心对称 中心对称图形 对象 两个图形的关系 一个图形自身的特性 旋转 绕一点旋转 180°，与另一个图形重合 绕一点旋转 180°，与自身重合 对称中心 是两个图形的公共点 是图形自身的一个点 .知识点01:三角形的中位线 1. 核心定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线；一个三角形有3 条中位线。 2. 中位线定理（核心性质） 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =AB。 3. 关键推论 三角形的三条中位线将原三角形分成4 个全等的小三角形；三条中位线围成的三角形，周长是原三角形的，面积是原三角形的。 已知：在△ABC 中，D、E、F 分别为 AB、AC、BC 的中点，连接 DE、EF、FD。 结论： 1.DE∥BC，EF∥AB，FD∥AC，且 DE=BC，EF=AB，FD=AC。 2.△DEF 的周长 =△ABC 的周长。 3.S△DEF=S△ABC​。 4.△ADE≅△DBF≅△ECF≅△DEF。 【题型1.认识中心对称】 【典例】把一个图形绕着某一个点旋转__________，如果它能够与另一个图形__________，那么称这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做__________． 【答案】 完全重合 对称中心 【分析】中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，由此进行求解即可． 【详解】解：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形完全重合，那么称这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． 故答案为：180°；完全重合；对称中心． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟知定义． 【跟踪专练1】如图，与成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（   ）    A．点A与点D是对应点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据中心对称的性质“成中心对称的两个图形，对应点的连线被对称中心平分，对应角相等，对应线段相等”逐项判断即可得解． 【详解】解：∵与成中心对称，点O是对称中心， ∴点与点是对应点，，， 故选项A、B、C不合题意； 不能说明，故选项D符合题意． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，是的中点，与关于点成中心对称，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】此题考查了中心对称图形的性质，直接利用中心对称图形的性质得出四边形是平行四边形，进而即可得出答案，得出四边形是平行四边形是解题的关键． 【详解】解：∵是的中点，与关于点成中心对称， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，与关于点 O 成中心对称，连接．下列结论不一定成立的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成中心对称图形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识．熟练掌握成中心对称图形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定是解题的关键． 由与关于点 O 成中心对称，可得，则，，可判断A；证明，可判断D；由，可得，可判断B；不一定成立，可判断C． 【详解】解：∵与关于点 O 成中心对称， ∴， ∴，，故A不符合要求； ∵，，， ∴，故D不符合要求； ∴， ∴，故B不符合要求； 不一定成立，故C符合要求； 故选：C． 【题型2.作已知图形关于某点的中心对称图形】 【典例】在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中线对称图形的性质，掌握中点坐标的计算是解题的关键． 根据中点对称图形的性质，得到点在线段的中点处，由此得到，再根据点的对应点，设，由中点坐标的计算即可求解． 【详解】解：点的对应点为，且关于点成中线对称， ∴，即， ∴设，且， ∴， 解得，， ∴， 故选：A ． 【跟踪专练1】在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称作图，正确作出点B关于对称的点是解题的关键． 【详解】根据题目要求作出点B关于对称的点如图所示， 由图可知，的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别为格线上一点． （1）当O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）时，的长度为_____； （2）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，先将点A向上平移2个单位长度得到点B，再以点O为中心，画出线段关于点O的中心对称图形（A的对应点为，B的对应点为），并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 【答案】 取格点C，连接并延长交格线于点D，取格点E，连接并延长交格线于点B，连接并延长交格线于点，连接并延长交格线于点，则点和点即为所求 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，中心对称，勾股定理等知识点， （1）利用已知和勾股定理即可得解； （2）利用三角形的中位线定理可得出，即为两个单位长度，利用矩形的中心对称性可知和成中心对称，和成中心对称，进而即可得解； 熟练掌握其性质，合理作出图形是解决此题的关键． 【详解】（1）如图，连，过A作格线的垂线交于点C， ∵O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）， ∴， 故答案：； （2）如图， ，. 取格点C，连接并延长交格线于点D，取格点E，连接并延长交格线于点B，连接并延长交格线于点，连接并延长交格线于点，则点和点即为所求． 【跟踪专练3】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的方格中，点A、B、C 都是格点． (1)请画出与关于点O中心对称的； (2)依次连结， 猜想四边形是什么特殊四边形？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】本题主要考查了利用旋转变换作图、平行四边形的判定定理等知识点，熟练掌握网格结构、准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）将点A、B、C分别绕点O按逆时针方向旋转得出对应点，然后顺次连接即可得出； （2）如图：，，由（1）可得点B与，点C与分别关于点O成中心对称可得 ，证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：如图：为所求作的三角形． （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵点B与，点C与分别关于点O成中心对称， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【题型3.确定两个成中心对称图形的对称中心】 【典例】如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，掌握好中心对称的概念是关键． 根据中心对称的性质，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．连接和，交点即为对称中心． 【详解】解：如图所示： 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，和关于点E成中心对称，则点E坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用成中心对称的两个图形的对称点的连线的交点就是对称中心，可确定出点E的位置，观察可得点E的坐标． 【详解】解：连接， ∵和关于点E成中心对称 ， ∴交于点E， ∴点． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了坐标与图象变化-旋转，解决本题的关键是熟练掌握图形旋转对称的性质． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，若与关于点D中心对称，则对称中心点D的坐标是______． 【答案】 【分析】根据旋转的性质，连接对应点，与的交点D即为对称中心，然后根据平面直角坐标系写出点D的坐标即可． 【详解】解：如图，连接，与相交于点D，点D即为对称中心，由图可得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质，理解对应点的连线的交点即为对称中心是解题的关键，也是本题的难点． 【跟踪专练3】知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分．如图，直线经过对角线的交点，则    (1)如图，两个正方形如图所示摆放，为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点的直线将整个图形分成面积相等的两部分． (2)个大小相同的正方形如图所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先找出两个矩形的中心，然后过中心作直线即可； （2）先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：如图所示：   ． 【题型4.利用中心对称性质求面积.线段长度与角度】 【典例】如图，与关于点成中心对称，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质．根据中心对称图形的性质对各选项分析判断后，利用排除法求解即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，，，与不一定相等， 故选项A、B、D结论正确，不符合题意，选项C结论错误，符合题意， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，和关于点成中心对称，若，则的长是_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，勾股定理，由中心对称图形的性质可得A、C、D三点共线，，据此求出的长，再利用勾股定理可得的长． 【详解】解：∵和关于点成中心对称， ∴A、C、D三点共线，， ∴， ∴， 故答案为：5． 【跟踪专练2】如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查关于某点对称的图形之间的关系，解题关键是熟练掌握关于某点对称的图形性质．利用中心对称的对应点到对称中心的距离相等，证得在的垂直平分线上，求出． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴（中心对称的对应点到对称中心的距离相等） 又 ∵， ∴ D在的垂直平分线上， ， 故选：C． 【跟踪专练3】.如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【答案】 【分析】本题考查动点问题和中心对称，正确掌握动点问题的解题思路是解题的关键． 设运动时间为秒，根据长方形被线段分成的两个图形成中心对称，得到，列出方程求解即可． 【详解】解：设运动时间为秒，则，，， 当时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称， 则，解得． 故答案为：． 【题型5.识别中心对称图形】 【典例】一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是________． 【答案】/180度 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，理解定义：“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形．”是解题的关键． 【详解】解：菱形是中心对称图形， 绕它的两条对角线的交点旋转可以和原图形重合； 故答案：． 【跟踪专练1】中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．中国探火 B．中国探月 C．中国火箭 D．中国行星探测 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．根据中心对称图形的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：只有选项C的图形能找到中心对称点，使图形绕该点旋转度后和原图形完全重合， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，已知与关于点对称，过点任意作直线分别交、于点、，下列结论中，正确的有_____________个． （1）点和点；点和点是关于点的对称点； （2）直线必经过点； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和成中心对称 【答案】/五 【分析】本题考查了中心对称的性质、平行四边形的判定与性质，由题意可得，，从而可得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得点就是平行四边形的对称中心，由此逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与关于点对称， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴点就是平行四边形的对称中心， ∴（1）点和点；点和点是关于点的对称点，说法正确； （2）直线必经过点，说法正确； （3）四边形是中心对称图形，说法正确； （4）四边形和四边形的面积相等，说法正确； （5）和成中心对称，说法正确； 综上所述，正确的个数为个， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列图形中，既是无盖正方体盒子的表面展开图，又是轴对称图形和中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，轴对称图形以及中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形定义，以及无盖正方体的展开图的特征逐项判定即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形和中心对称图形，但不是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意； C、该图形是轴对称图形和中心对称图形，也是无盖正方体盒子的表面展开图，符合题意； D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意； 故选：C． 【题型6.确定中心对称图形的对称中心】 【典例】如图，中有E、F、G、Q四个点，其中是平行四边形中心的是（   ） A．E B．F C．G D．Q 【答案】B 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，连接对角线即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∴其中是平行四边形中心的是点； 故选：B 【跟踪专练1】如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是______． 【答案】线段的中点 【分析】本题考查了对称中心的确定方法，首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可找到两组对应点，确定对应点连线中点即为对称中心是解题的关键． 【详解】解：由中心对称图形的性质，对称中心为各对应点连线的中点， ∴线段中点即为对称中心， 故答案为：线段中点． 【跟踪专练2】如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．与关于点成中心对称 【答案】B 【分析】本题考查的是中心对称的性质，根据中心对称的性质逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵与关于点 O 成中心对称， ∴，，，故A不符合要求；B符合要求； ∵，，， ∴ ∴，故C不符合题意； ∴与关于点成中心对称，故D不符合要求； 故选：B． 【跟踪专练3】如图，E是的斜边上一点，作点E关于的对称点F，G，连接． （1）点F和点G的对称关系为___________． （2）若，则的最小值为______． 【答案】 关于点A成中心对称 【分析】本题考查了作图−轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称的性质、三角形的面积公式、勾股定理． （1）根据轴对称的性质和中心对称的定义求解； （2）根据勾股定理、三角形的面积公式求解. 【详解】（1）如图，连接． 由轴对称的性质可知，，， ，， 三点共线，点F和点G关于点A成中心对称． 故答案为：关于点A成中心对称. （2）在中，． 由（1）知，，当最小时，最小， ∴当时，最小，此时为中边上的高． 设中边上的高为h，则，解得， 的最小值为． 故答案为： 【题型7.在方格中补全中心对称图形】 【典例】如图，将①②③④中的一块涂成阴影后能与图中原有阴影部分组成中心对称图形的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，结合中心对称图形的概念进行求解． 【详解】解：由图可得，应该将③涂成阴影，可与图中原有阴影部分组成中心对称图形． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【跟踪专练1】在如图所示的正方形方格中，选取一个白色的小正方形涂灰，使图中阴影部分成为一个中心对称图形，这样的涂法有________种．    【答案】1 【分析】本题考查了中心对称图形即将图形绕某点旋转180°后与原图形完全重合，正确理解定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：根据中心对称图形的定义，可得如下涂法，且只有一种，    故答案为：1． 【跟踪专练2】如图，在4×4的网格纸中，的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点，，，中找一点作为旋转中心．将绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有 _______． 【答案】点，点 【分析】本题主要考查旋转的性质，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．画出中心对称图形即可判断． 【详解】解：画出中心对称图形， 观察图象可知，点，点满足条件． 故答案为：点，点． 【跟踪专练3】结论开放题 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点，点A，B，C均在格点上，要求作一个多边形，使这三个点在这个多边形的边（包括顶点）上，且多边形的顶点在格点上． (1)在图①中作一个三角形，使它是轴对称图形． (2)在图②中作一个四边形，使它是中心对称图形但不是轴对称图形． (3)在图③中作一个四边形，使它既是轴对称图形又是中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的定义及网格作图，掌握轴对称图形沿某条直线折叠后能完全重合，中心对称图形绕某点旋转后能完全重合是解题的关键． （1）根据轴对称图形的定义，找一个格点与构成三角形，使三角形有一条对称轴，且在三角形的边上． （2）根据中心对称图形的定义，构造一个普通平行四边形，使在四边形的边上． （3）根据既是中心对称又是轴对称图形的特征，构造矩形，使在矩形的边上． 【详解】（1）解：如图①，即为所求．（答案不唯一） （2）解：如图②，四边形即为所求．（答案不唯一） （3）解：如图③，四边形即为所求．（答案不唯一） 【题型8.三角形中位线的计算问题】 【典例】如图，在中，点为边的中点，点为边的中点．若，，则的长为___________． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键 由三角形中位线定理推出，，，即可求解． 【详解】解：∵点为边的中点，点为边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3 ． 【跟踪专练1】如图，在中，，，点、、分别是、、的中点，连接，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】利用三角形的中位线，得到，，即可求解． 【详解】解：∵点、、分别是、、的中点，，， ∴，是的中位线，，， ∴，， ∴四边形的周长为． 【跟踪专练2】如图，以任意的边和向形外作等腰和等腰，F、G分别是线段和的中点，则的值为__． 【答案】 【分析】如图，取的中点H，连接、、，其中，的交点为，证明，可得，，，再证明，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得且，且，然后证明是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，然后求出的值即可． 【详解】解：如图，取的中点H，连接、、，其中，的交点为， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵F、G分别是线段和的中点， ∴、分别是和的中位线， ∴且，且， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，在中，，D是的中点，P是边上的点，连接．若，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理、三角形中位线定理，取的中点E，连接，根据三角形中位线定理得到，，得到，设，，得到，，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，取的中点E，连接， ∵D是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 设，，则，， 由勾股定理得：，即， ∴， 在中，， 则， 故选：B． 【题型9.三角形中位线的证明问题】 【典例】如图，在中，，点，分别是、的中点，点在上，且，当时，的长是______． 【答案】12 【分析】延长AF交BC于H，根据直角三角形的性质求出DF，根据题意求出DE，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：延长AF交BC于H， ∵AF⊥BF，D是AB的中点， ∴DF=AB=4， ∵DF=2EF， ∴EF=2， 则DE=DF+EF=6， ∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴BC=2DE=12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理推出，则可证明四边形是平行四边形，根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，故甲说法正确，乙说法不正确， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，，．点是射线上的动点，过点作射线的垂线，垂足为点H，点M是的中点，连结，则的最小值是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． 取的中点O，连接、，由勾股定理得，证出为的中位线，得，由直角三角形的性质得，由，得，即可得出答案． 【详解】解：取的中点O，连接、，如图所示： ∵，， ∴， ∵点为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图：等边三角形中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点D、G，连接，则可得，，因此转而求的最小值；过A作，且，连接，可证明，则有，进而转化为求的最小值，当点E在线段上时，取得最小值，在中由勾股定理即可求得最小值，从而求得的最小值． 【详解】解：如图，取的中点D、G，连接， ∴，， ∴； ∵， ∴的最小值转化为求的最小值； 在等边三角形中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 过A作，且，连接， 则， ∴， ∴， ∴， ∴当点E在线段上时，取得最小值，且最小值为线段的长； ∵， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为．    故选：C． 【点睛】本题考查了求线段和的最小值问题，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，把求的最小值转化为求的最小值，进而转化为求的最小值，是本题的难点与关键所在． 【题型10.三角形中位线的实际应用】 【典例】如图，小华同学想测量池塘两处之间的距离．他先在外选一点，然后找出，的中点为，测得，则之间的距离为_____． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中位线，根据三角形中位线的性质解答即可求解，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，熟练掌握和运用三角形中位线定理是解决本题的关键． 利用三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴(米) ． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上中点，EC＝3AE，AE＝2，AB＝6，则＝________ 【答案】3 【分析】作DF⊥AC，垂足为F，然后证明DF是中位线，得到，再利用面积公式进行计算，即可得到答案． 【详解】解：作DF⊥AC，垂足为F，如图 ∵∠BAC＝90°，DF⊥AC， ∴∠BAC＝∠DFC， ∴AB∥DF， ∵D为BC边上中点， ∴AD=BD=CD， ∴点F是AC的中点， ∴， ∵AE＝2， ∴； 故答案为：3． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题 【跟踪专练3】2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．证明，根据全等三角形的性质求出，再根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：在和中， ， ， 米， 点分别为，的中点， 是的中位线， 米， 故选：D． 【题型11.中点四边形的问题探究】 【典例】如果四边形的四边中点依次是E、F、G、H，那么四边形是_______形．如果，，那么四边形的周长等于________cm． 【答案】 平行四边形 56 【分析】此题主要考查了中点四边形．直接利用三角形中位线定理得出，，得到四边形是平行四边形；由三角形中位线定理得出，，即可得出答案． 【详解】解：连接，， ，，，分别是，，，边的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ，，，分别是，，，边的中点， 同理，， ∴四边形的周长是：． 故答案为：平行四边形；56． 【跟踪专练1】如图，点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点，连接，．则下列说法： ①与互相平分； ②若，则四边形为矩形； ③若，则四边形为菱形． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理得到，，，结合平行四边形、菱形、矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点， ∴，， ， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分；故①符合题意； 若，则， ∴平行四边形是矩形，故②符合题意； 若，则， ∴平行四边形是菱形，故③符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，点、F、G、H分别为各边的中点，点A到C的距离、点B到的距离都等于，则四边形的周长是__． 【答案】/8厘米 【分析】此题主要考查了中点四边形，得出四边形的周长与的关系是解题的关键，难度一般． 根据等腰梯形的性质和三角形的中位线定理有，可知四边形的周长，进而可得出四边形的周长． 【详解】解：如图，顺次连接点、、、，连接、． ∵、、、是四边形各边中点， ∴是的中位线，是的中位线． 即． ∴四边形是平行四边形． 同理， ∵点到的距离、点到的距离都等于， ∴， ∴． ∴平行四边形是菱形． ∴四边形的周长为：． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，顺次连结各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点，得到矩形，再顺次连接矩形各边中点，得到菱形，如此下去，四边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质、菱形的性质，中点四边形等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，利用规律解决问题，记住中点四边形的面积等于原四边形面积的一半．根据中点四边形的面积等于原四边形面积的一半即可解决问题． 【详解】解：根据中点四边形的性质可知，、是菱形，、是矩形， 四边形的面积， 四边形的面积四边形的面积， 四边形的面积， ， 四边形的面积， 四边形的面积为：． 故选：C． 【解答题】 1．如图所示，三角形和三角形关于某一点成中心对称，其中边的对应边是．请在图中画出中心对称点，并补全三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作中心对称图形，根据题意先作关键点的对应点，最后连接即可． 【详解】解：如图，连接，相交于点O，连接并延长至点，使，连接，， 则点O和三角形即为所求． 2．如图，与关于点G中心对称，点E，F分别在上，且．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，中心对称，解决本题的关键是掌握成中心对称的两个图形必定能重合．先根据中心对称的性质得到，再证明即可利用证明，得，由此即可证明结论． 【详解】证明：∵与关于点G中心对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，在四边形中，点是的中点，，交于点，，．求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】根据中位线定理，易证，再根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，即可求证． 【详解】证明：，     点是的中点， 点是的中点， ，即 ， 四边形为平行四边形． 4．如图，点D，E，F分别是的三边的中点，．求四边形的周长． 【答案】10 【分析】利用三角形的中位线的判定定理和性质进行求解即可． 【详解】解：∵点D，E，F分别是的三边的中点，， ∴和是的中位线， ∴，，，． ∴四边形的周长为． 5．如图，矩形中，点为的中点，且．请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图（1）中，作线段，使得； (2)在图（2）中，作，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了用无刻度线的直尺作图、中位线定理，全等三角形的判定等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）连接，延长和交于点，由题意得，，所以，所以； （2）连接对角线和交于，连接，因为为的中点，为中点，所以，，又因为，所以，，，即． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03中心对称与三角形中位线同步讲义 【题型01 认识中心对称】................................................3 【题型02 作已知图形关于某点的中心对称图形】............................3 【题型03 确定两个成中心对称图形的对称中心】............................5 【题型04 利用中心对称性质求面积.线段长度与角度】........................6 【题型05 识别中心对称图形】............................................7 【题型06 确定中心对称图形的对称中心】..................................8 【题型07 在方格中补全中心对称图形】....................................9 【题型08 三角形中位线的计算问题】.....................................10 【题型09 三角形中位线的证明问题】.....................................11 【题型10 三角形中位线的实际应用】.....................................12 【题型11 中点四边形问题探究】..........................................13 【解答题5题】.........................................................14 ★知识梳理 知识点04:中心对称（特殊的旋转） 1. 中心对称定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点中心对称，这个点叫作对称中心。 2. 中心对称性质 成中心对称的两个图形全等。 对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。 3. 中心对称图形 一个图形绕着某一个点旋转180°后，能与自身重合，这个图形叫作中心对称图形（如平行四边形、圆、矩形等）。 知识点05:中心对称与中心对称图形的区别 对比项 中心对称 中心对称图形 对象 两个图形的关系 一个图形自身的特性 旋转 绕一点旋转 180°，与另一个图形重合 绕一点旋转 180°，与自身重合 对称中心 是两个图形的公共点 是图形自身的一个点 .知识点01:三角形的中位线 1. 核心定义 连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线；一个三角形有3 条中位线。 2. 中位线定理（核心性质） 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 几何语言：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，则 DE∥BC，DE =AB。 3. 关键推论 三角形的三条中位线将原三角形分成4 个全等的小三角形；三条中位线围成的三角形，周长是原三角形的，面积是原三角形的。 已知：在△ABC 中，D、E、F 分别为 AB、AC、BC 的中点，连接 DE、EF、FD。 结论： 1.DE∥BC，EF∥AB，FD∥AC，且 DE=BC，EF=AB，FD=AC。 2.△DEF 的周长 =△ABC 的周长。 3.S△DEF=S△ABC​。 4.△ADE≅△DBF≅△ECF≅△DEF。 【题型1.认识中心对称】 【典例】把一个图形绕着某一个点旋转__________，如果它能够与另一个图形__________，那么称这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做__________． 【跟踪专练1】如图，与成中心对称，点O是对称中心，则下列结论不正确的是（   ）    A．点A与点D是对应点 B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，是的中点，与关于点成中心对称，若，则的度数为______． 【跟踪专练3】如图，与关于点 O 成中心对称，连接．下列结论不一定成立的是（   ）    A． B． C． D． 【题型2.作已知图形关于某点的中心对称图形】 【典例】在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为___________． 【跟踪专练2】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别为格线上一点． （1）当O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）时，的长度为_____； （2）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，先将点A向上平移2个单位长度得到点B，再以点O为中心，画出线段关于点O的中心对称图形（A的对应点为，B的对应点为），并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 【跟踪专练3】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的方格中，点A、B、C 都是格点． (1)请画出与关于点O中心对称的； (2)依次连结， 猜想四边形是什么特殊四边形？并说明理由． 【题型3.确定两个成中心对称图形的对称中心】 【典例】如图，已知与成中心对称，则对称中心是点________． 【跟踪专练1】如图，和关于点E成中心对称，则点E坐标是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，若与关于点D中心对称，则对称中心点D的坐标是______． 【跟踪专练3】知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分．如图，直线经过对角线的交点，则    (1)如图，两个正方形如图所示摆放，为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点的直线将整个图形分成面积相等的两部分． (2)个大小相同的正方形如图所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）． 【题型4.利用中心对称性质求面积.线段长度与角度】 【典例】如图，与关于点成中心对称，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，和关于点成中心对称，若，则的长是_____． 【跟踪专练2】如图，与关于点O对称，连接，，．若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【跟踪专练3】.如图，长方形的长是，宽是，动点P从点A出发，沿边以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边以每秒的速度运动，当点P运动到点D时两点停止运动，两点出发_______秒时，长方形被线段分成的两个图形成中心对称． 【题型5.识别中心对称图形】 【典例】一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是________． 【跟踪专练1】中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力．下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（   ） A．中国探火 B．中国探月 C．中国火箭 D．中国行星探测 【跟踪专练2】如图，已知与关于点对称，过点任意作直线分别交、于点、，下列结论中，正确的有_____________个． （1）点和点；点和点是关于点的对称点； （2）直线必经过点； （3）四边形是中心对称图形； （4）四边形和四边形的面积相等； （5）和成中心对称 【跟踪专练3】下列图形中，既是无盖正方体盒子的表面展开图，又是轴对称图形和中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型6.确定中心对称图形的对称中心】 【典例】如图，中有E、F、G、Q四个点，其中是平行四边形中心的是（   ） A．E B．F C．G D．Q 【跟踪专练1】如图，点，分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是______． 【跟踪专练2】如图，与关于点成中心对称，连接、，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D．与关于点成中心对称 【跟踪专练3】如图，E是的斜边上一点，作点E关于的对称点F，G，连接． （1）点F和点G的对称关系为___________． （2）若，则的最小值为______． 由轴对称的性质可知，，， ，， 【题型7.在方格中补全中心对称图形】 【典例】如图，将①②③④中的一块涂成阴影后能与图中原有阴影部分组成中心对称图形的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪专练1】在如图所示的正方形方格中，选取一个白色的小正方形涂灰，使图中阴影部分成为一个中心对称图形，这样的涂法有________种．    【跟踪专练2】如图，在4×4的网格纸中，的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点，，，中找一点作为旋转中心．将绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有 _______． 【跟踪专练3】结论开放题 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的顶点叫作格点，点A，B，C均在格点上，要求作一个多边形，使这三个点在这个多边形的边（包括顶点）上，且多边形的顶点在格点上． (1)在图①中作一个三角形，使它是轴对称图形． (2)在图②中作一个四边形，使它是中心对称图形但不是轴对称图形． (3)在图③中作一个四边形，使它既是轴对称图形又是中心对称图形． 【题型8.三角形中位线的计算问题】 【典例】如图，在中，点为边的中点，点为边的中点．若，，则的长为___________． 【跟踪专练1】如图，在中，，，点、、分别是、、的中点，连接，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．7 C．8 D．10 【跟踪专练2】如图，以任意的边和向形外作等腰和等腰，F、G分别是线段和的中点，则的值为__． 【跟踪专练3】如图，在中，，D是的中点，P是边上的点，连接．若，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【题型9.三角形中位线的证明问题】 【典例】如图，在中，，点，分别是、的中点，点在上，且，当时，的长是______． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 【跟踪专练2】如图，在中，，．点是射线上的动点，过点作射线的垂线，垂足为点H，点M是的中点，连结，则的最小值是________． 【跟踪专练3】如图：等边三角形中，，E、F分别是边上的动点，且，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【题型10.三角形中位线的实际应用】 【典例】如图，小华同学想测量池塘两处之间的距离．他先在外选一点，然后找出，的中点为，测得，则之间的距离为_____． 【跟踪专练1】如图，两地被房子隔开，小明通过下面的方法估测间的距离：先在外选一点，然后步测出的中点分别为，并步测出的长约为45米，由此可知间的距离约为（    ） A．22.5米 B．45米 C．85米 D．90米 【跟踪专练2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC边上中点，EC＝3AE，AE＝2，AB＝6，则＝________ 【跟踪专练3】2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在成都东安湖体育公园开幕．如图，贝贝想测量东安湖A，B两点间的距离，他在东安湖的一侧选取一点O，分别取的中点M，N，但M，N之间被障碍物遮挡，故无法测量线段的长，于是贝贝在延长线上分别选取P，Q两点，且满足，贝贝测得线段米，则A，B两点间的距离是（   ）米． A．120 B．140 C．160 D．180 【题型11.中点四边形的问题探究】 【典例】如果四边形的四边中点依次是E、F、G、H，那么四边形是_______形．如果，，那么四边形的周长等于________cm． 【跟踪专练1】如图，点E，F，G，H分别是四边形边，，，的中点，连接，．则下列说法： ①与互相平分； ②若，则四边形为矩形； ③若，则四边形为菱形． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．0 【跟踪专练2】如图，在四边形中，点、F、G、H分别为各边的中点，点A到C的距离、点B到的距离都等于，则四边形的周长是__． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，顺次连结各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点，得到矩形，再顺次连接矩形各边中点，得到菱形，如此下去，四边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【解答题】 1．如图所示，三角形和三角形关于某一点成中心对称，其中边的对应边是．请在图中画出中心对称点，并补全三角形． 2．如图，与关于点G中心对称，点E，F分别在上，且．求证：． 3．如图，在四边形中，点是的中点，，交于点，，．求证：四边形为平行四边形． 4．如图，点D，E，F分别是的三边的中点，．求四边形的周长． 5．如图，矩形中，点为的中点，且．请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图（1）中，作线段，使得； (2)在图（2）中，作，使得． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $