第6章 实数全章16种题型（复习讲义）数学新教材沪科版七年级下册

第6章 实数（复习讲义） 1.理解掌握平方根、算术平方根、立方根的定义、表示方法及性质，会求一个数的平方根、算术平方根和立方根; 2.掌握实数的基本概念与分类，理解实数与数轴上的点一一对应关系，能比较实数的大小，通过数轴研究和理解实数的相关性质; 3.理解实数与有理数的扩充关系，能够结合数轴与运算，理解有理数到实数的数系扩充，并能利用这种联系解决实际问题; 4.应用实数的运算与性质解决实际问题，能够运用实数的运算法则、运算律解决一些复杂的数学问题，如含平方根、立方根的代数式化简、实数混合运算及实际情境中的估算与最值问题. 一、平方根、算术平方根与立方根 1. 平方根与算术平方根 定义：一般地，如果一个数的平方等于（即），那么这个数就叫做的平方根（也叫二次方根），记作；正数的正的平方根叫做的算术平方根，记作，0 的算术平方根是 0. 核心区别： （1）一个正数的平方根有两个，互为相反数；算术平方根只有一个，是正数. （2）表示方法不同：平方根是，算术平方根是. 被开方数要求：≥0（负数没有平方根，也没有算术平方根）. 2. 立方根 定义：一般地，如果一个数的立方等于（即），那么这个数就叫做的立方根（也叫三次方根），记作,期中叫做被开方数，3叫做根指数. 核心性质： （1）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. （2）任何实数都有唯一的立方根，被开方数可以是正数、负数或0. （3） 二、实数的概念与分类 1. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. (1)有理数：整数和分数的统称，可表示为有限小数或无限循环小数. (2)无理数：无限不循环小数，常见类型有： · 开方开不尽的数，如、； · 含的数，如、； · 有规律但不循环的无限小数，如 0.1010010001⋯. 2. 实数的分类 3. 实数与数轴 (1)一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. (2)实数大小比较： · 数轴上右边的数总比左边的数大； · 正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3、 实数的运算 1. 实数的运算律 实数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律，与有理数的运算律完全一致. 1. 混合运算顺序 (1)先算乘方、开方； (2)再算乘除； (3)最后算加减； (4)有括号的先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号）. 2. 近似计算：在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用近似的有限小数代替无理数进行计算. 题型一 算术平方根、平方根、立方根的概念 【例1】（23-24七年级下·安徽六安·月考）下列语句正确的是（    ） A．9的平方根是 B．49的算术平方根7 C．25的平方根是5 D．立方根是它本身的数只有0，1 【答案】B 【分析】此题考查了平方根，算术平方根，立方根，根据平方根，算术平方根，立方根求解即可． 【详解】解：A．9的平方根是和3，故A错误； B．49的算术平方根7，故B正确； C．25的平方根是5和，故C错误； D．立方根是它本身的数有0，1和，故D错误． 故选：B． 【变式1-1】（25-26八年级上·安徽安庆·开学考试）下列说法错误的是（ ） A．的立方根是 B．是的算术平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 【答案】D 【分析】根据平方根，算术平方根，立方根的定义解答即可． 本题考查了平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. 的立方根是，正确，不符合题意；     B. 是的算术平方根，正确，不符合题意； C. 的平方根是，正确，不符合题意；     D. ，4的平方根是，即的平方根是，故选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式1-2】（15-16八年级上·重庆·期中）下列选项中正确的是（　　） A．27的立方根是 B．的平方根是 C．9的算术平方根是3 D．立方根等于平方根的数是1 【答案】C 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，根据相关定义逐一判断即可． 【详解】解：A、27的立方根是3，故选项错误； B、，4的平方根是，故选项错误； C、9的算术平方根是3，故选项正确； D、立方根等于平方根的数是0和1，故选项错误． 故选：C． 【变式1-3】（21-22七年级上·山东青岛·期末）下列说法：①负数没有立方根；②如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；③一个数的算术平方根一定是正数；④的算术平方根是，其中不正确的有（　　） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据立方根、算术平方根、平方根进行判断即可． 【详解】解：①负数有立方根，说法不正确，符合题意； ②如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是0，说法不正确，符合题意； ③0的算术平方根一定是0，说法不正确，符合题意； ④的算术平方根是，说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平方根即若（是非负数），则称是数的平方根、立方根若，则称是数的立方根，算术平方根即平方根的正的，熟练掌握定义是解题的关键． 题型二 算术平方根、平方根、立方根的基础计算 【例2】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）计算：． 【答案】12 【分析】本题主要考查了实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．先计算算术平方根，立方根，然后计算加减法即可． 【详解】解：原式     ． 【变式2-1】（25-26八年级上·四川成都·月考）的平方根是_______；的立方根是_______． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根，平方根，立方根，熟练掌握其定义是解题的关键．根据立方根，平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是； ∵， ∴的立方根是． 故答案为：；． 【变式2-2】（20-21七年级下·安徽·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根的定义，解决本题的关键是熟练掌握算术平方根、立方根的定义．根据立方根的定义判断B选项；根据算术平方根的定义判断A，C，D选项． 【详解】解：A、因为负数没有算术平方根，所以被开方数不能是负数，故该选项错误； B、，故该选项错误； C、，故该选项错误； D、，故该选项正确； 故选：D． 【变式2-3】（16-17七年级下·广东东莞·月考）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据有理数乘方，立方根，算术平方根有关概念及运算法则进行化简，再算乘法，最后合并即可； 【详解】解： ． 题型三 算术平方根的非负性的应用 【例3-1】（25-26八年级上·吉林长春·月考）已知，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了平方数与算术平方根的非负性以及平方根的计算，解题的关键是利用非负数的性质求出的值． 根据平方数和算术平方根的非负性，得出关于的方程，进而求出的值，最后计算的平方根． 【详解】解：由题意可得：， 解得，， 把代入，可得， 因为， 所以4的平方根是，即的平方根是． 【例3-2】（16-17七年级下·湖北襄阳·期中）若 x，y 都是实数，且，求的立方根． 【答案】3 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，求一个数的立方根． 根据算术平方根的非负性求出x，y的值，进而求出的值，最后求其立方根即可． 【详解】∵， ∴，， ， ， ， 的立方根为3． 【变式3-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如果，那么的值为_____． 【答案】1 【分析】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，根据非负数的性质得到且，从而求出和的值，再代入计算． 【详解】解：∵，，且， ∴且， 解得，， 则， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）若，则的立方根为（    ） A．5 B．15 C．25 D． 【答案】D 【分析】本题考查非负数的性质，解题的关键是熟练掌握几个非负数的和为零，则每个非负数都为零．根据非负数的性质，求出x和y的值，再计算的立方根即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的立方根为：． 故选：D． 【变式3-3】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知，则的平方根是_____． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，平方根的计算，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次根式的被开方数非负，求出的值，再代入方程求出的值，然后计算，最后求平方根． 【详解】解：由二次根式的定义，被开方数必须非负， 即且， 解得， 代入原方程，， 即， 解得． 则， ∴的平方根为． 故答案为：． 题型四 利用平方根、立方根解方程 【例4】（20-21七年级下·安徽·月考）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查的是平方根与立方根等知识点，熟练掌握其定义是解决此题的关键． （1）先移项，再利用平方根的定义解答即可； （2）方程两边同时除以2，再利用立方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得或； （2）解：， ， ， 解得． 【变式4-1】（24-25七年级下·福建福州·月考）求下列各式中x的值． (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的性质解方程； （1）利用平方根的性质求解即可； （2）利用立方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）∵， ∴， ∴． 【变式4-2】（24-25七年级下·安徽亳州·月考）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了平方根和立方根的计算，正确计算是解答本题的关键． （1）根据立方根的定义求解即可； （2）根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 整理，得， 两边都除以，得， 开立方，得； （2）解：， 整理，得， 两边都除以，得， 开平方，得， 解得或． 【变式4-3】（23-24七年级下·甘肃武威·期中）求下列各式中实数x的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程： （1）利用平方根解方程即可； （2）利用立方根解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或； （2）， ∴， ∴， ∴． 题型五 平方根与立方根的综合应用 【例5】（24-25八年级上·福建泉州·月考）（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的算术平方根． （2）若x，y都是实数，且，求的立方根． 【答案】（1）5；（2）3 【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根，掌握概念是解题的关键． （1）根据平方根的定义求出a、b的值，代入求出的值，再求算术平方根即可； （2）根据算术平方根的含义求出x，进而得到y的值，代入求出的值，再求立方根即可． 【详解】解：（1）的平方根是，的算术平方根是4， ，， ，， ， 的算术平方根为5； （2）由可知，， ，， ， 的立方根为3． 【变式5-1】（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键． （1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得； （2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4， ∴，， ∴，． （2）解：当，时，， ∵9的平方根为， ∴的平方根为． 【变式5-2】（19-20八年级上·江苏扬州·期中）已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查平方根、立方根的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据平方根、立方根的含义先求解，，再进一步求解即可． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是3， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根为； 【变式5-3】（21-22七年级下·四川绵阳·月考）已知、、在数轴上的位置如图，化简：________． 【答案】 【分析】先根据数轴的性质可得，从而可得，再计算算术平方根与立方根、化简绝对值，然后计算整式的加减即可得． 【详解】解：由数轴可知，， ，，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴、算术平方根与立方根、化简绝对值、整式的加减，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 【变式5-4】（21-22八年级上·全国·单元测试）若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ） A．1 B．-1 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义可得m-n=2，根据立方根的定义可得m-2n+3=3，再解得m、n的值即可求得A与B的值，再求即可． 【详解】解：∵A=是m+n+3的算术平方根， ∴m-n=2， ∵B=是m-2n+3的立方根， ∴m-2n+3=3， ∴     解得 ∴A==3，B= ∴B-A=2-3=-1． 故选B． 【点睛】本题主要考查了算术平方根及立方根，属于基础题，解答本题的关键是熟记算术平方根、立方根概念． 题型六 无理数的识别 【例6】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）在0.7，，，，，2.010010001六个实数中，无理数的个数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】此题考查了无理数的定义和求算术平方根，无限不循环小数叫做无理数．根据无理数的定义进行解答即可． 【详解】解：在0.7，，，，，2.010010001六个实数中，无理数有，，共2个， 故选：D 【变式6-1】（2024·浙江宁波·模拟预测）写出一个大于2的无理数__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了无理数的估算，其中无理数包括开方开不尽的数，和有关的数，有规律的无限不循环小数．首先2可以写成，由于开方开不尽的数是无理数，由此即可求解． 【详解】解：，大于2的无理数只要被开方数大于4即可，如（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一） 【变式6-2】（2024·山东日照·中考真题）实数中无理数是（    ） A． B．0 C． D．1.732 【答案】C 【分析】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可． 【详解】解：都是有理数，是无理数． 故选：C 【变式6-3】（24-25八年级上·山东枣庄·月考）在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的概念，算术平方根，无理数就是无限不循环小数，首先计算算术平方根，然后根据无理数的概念求解即可． 【详解】解：， 无理数有，， （两个1之间依次多一个6），共3个． 故选：C 题型七 无理数的大小估算 【例7】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上表示实数的点可能是(    )    A．点P B．点Q C．点R D．点S 【答案】B 【分析】根据先估算的大小，看它介于哪两个整数之间，从而得解． 【详解】解：∵ ∴，即， ∴数轴上表示实数的点可能是Q， 故选：B． 【点睛】本题考查无理数的大小估算，推出介于哪两个整数之间是解题的关键． 【变式7-1】（2024·四川资阳·中考真题）若，则整数m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，解题的关键是熟练掌握无理数的估算方法．首先确定和的范围，然后求出整数m的值的值即可． 【详解】解：∵，即，，即， 又∵， ∴整数m的值为：3， 故选：B． 【变式7-2】（2024·天津南开·一模）估计的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，根据，即可求解． 【详解】解：∵，则， ∴， 故选：B． 【变式7-3】（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，数轴上表示的点可能是（   ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴、无理数的估算．熟练掌握实数在数轴上的位置，无理数近似值大小，是解决问题的关键．由，点B表示的数在2和3之间，即得． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵数轴上点B所表示的数大于2而小于3， ∴数轴上表示的点可能是B， 故选：B． 题型八 无理数整数部分有关计算 【例8】（24-25九年级下·重庆·开学考试）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值在（　　）之间 A．和0 B．0和1 C．1和2 D．2和3 【答案】C 【分析】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握估算的法则是解题的关键，对进行估算，得到整数以及小数部分，再得到，即可得到答案． 【详解】解：， ， 则， 那么， ， 即的值在1和2之间， 故选：C． 【变式8-1】（25-26七年级上·全国·期末）已知的算术平方根是3，b是的整数部分，则的平方根为________． 【答案】 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，无理数的估算．根据算术平方根的定义和无理数的估算，先求出a和b的值，再计算代数式的值，最后求平方根，即可作答． 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴， 解得， ∵， ∴ ∵b是的整数部分， ∴， 则， ∴16的平方根是， 故答案为：． 【变式8-2】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如果设的整数部分为，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查无理数的知识，解题的关键是掌握估算无理数，根据题意，则，同时乘以，可得，再同时加，即，即可确定的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分为． 故答案为：． 【变式8-3】（2025七年级下·全国·专题练习） 例： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请你参考黑板中老师的讲解，解答下列问题． (1)的相反数是 ，的整数部分是 ；的整数部分是 ，的整数部分是 ； (2)已知的小数部分是m，的小数部分是n．若，请求出满足条件的x的值． 【答案】(1)，3，4，11 (2)或 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确解答的前提，确定m、n的值是正确解答的关键． （1）仿照题中给出的方法解答即可； （2）结合（1）中的结论即可求出m、n的值，再根据平方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：的相反数是， ∵，即， ∴的整数部分是3， ∴， ∴， ∴的整数部分是4， ∵， ∴， ∴的整数部分是11， 故答案为：，3，4，11； （2）解：∵的整数部分是4， ∴的小数部分是，即， ∵的整数部分是11， ∴的小数部分是，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 题型九 实数的分类 【例9】（24-25七年级下·安徽淮北·月考）把下列各数的序号填在相应的大括号中： ①；②；③；④；⑤；⑥（两个2之间的0逐次增加）；⑦． (1)整数集合：{___________…}； (2)分数集合：{___________…}； (3)有理数集合：{___________…}； (4)无理数集合：{___________…} 【答案】(1)①⑦ (2)② (3)①②⑦ (4)③④⑤⑥ 【分析】本题主要考查了实数的分类，熟知实数的分类方法是解题的关键： （1）先计算立方根，再根据整数的定义求解即可； （2）根据分数的定义求解即可； （3）有理数是整数和分数的统称，据此求解即可； （4）无理数是无限不循环小数，据此求解即可． 【详解】（1）解：， 整数集合：{①⑦…}； （2）解：分数集合：{②…}； （3）解：有理数集合：{①②⑦…}； （4）解：无理数集合：{③④⑤⑥…} 【变式9-1】（24-25七年级下·安徽亳州·月考）下列说法正确的是（    ） A．无限小数都是无理数 B．的立方根是无理数 C．无限小数是无理数，有限小数是有理数 D．有理数和无理数之间可以比较大小 【答案】D 【分析】本题考查了实数，有理数和无理数的定义，根据实数的定义、有理数和无理数的定义逐项判断即可得出答案， 【详解】解：A、无限不循环小数是无理数，有限小数是有理数，故原说法错误，不符合题意； B、的立方根是，是有理数，故原说法错误，不符合题意； C、无限不循环小数是无理数，有限小数是有理数，故原说法错误，不符合题意； D、有理数和无理数之间可以大小比较，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 【变式9-2】（20-21七年级下·湖北武汉·月考）下列说法正确的有________． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【答案】①⑥/⑥① 【分析】根据实数的概念与分类，无理数，有理数的概念，相反数的含义逐一分析即可得到答案． 【详解】解：实数不是有理数就是无理数，描述正确，故①符合题意； 是无理数，故②不符合题意； 不带根号的数都是有理数，描述错误，如，故③不符合题意； 是无理数；故④不符合题意； 数轴上任一点都对应一个实数，故⑤不符合题意； 的相反数是，故⑥符合题意； 故答案为：①⑥． 【点睛】本题考查的是实数的概念，实数的分类，无理数的含义，相反数的含义，熟记基本概念是解本题的关键． 【变式9-3】（25-26八年级上·全国·期中）在下列实数中：，，，，0，，（相邻两个1之间0的个数逐次加），无理数的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查的是无理数的概念，解题关键是依据无理数 “无限不循环小数” 的定义，区分有理数与无理数． 先明确无理数是 “无限不循环小数”，再逐一判断每个数的类型，统计无理数的个数． 【详解】解：逐一分析各数： ：分数，是有理数； 是无限不循环小数，故是无理数； ：是无限不循环小数，故是无理数； ：分数，是有理数； 0：整数，是有理数； ：有限小数，是有理数； （相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）：是无限不循环小数，是无理数． 综上所述共有3个无理数． 故选：B． 【变式9-4】（25-26八年级上·江西萍乡·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） (1)整数集合：{____________…}； (2)分数集合：{____________…}； (3)负有理数集合：{____________…}； (4)无理数集合：{____________…}． 【答案】(1)③⑥⑧ (2)①②⑤⑦ (3)⑥⑦ (4)④⑨ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解题的关键．分别根据整数、分数、负数和无理数的定义进行解答即可． （1）根据整数的概念求解即可； （2）根据分数的概念求解即可； （3）根据负有理数的概念求解即可； （4）根据无理数的概念求解即可． 【详解】（1）解：， 整数集合：③⑥⑧； （2）解：分数集合：①②⑤⑦； （3）解：负有理数集合：⑥⑦； （4）解：无理数集合：④⑨． 题型十 实数运算的实际应用 【例10】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【答案】(1)3， (2)阴影部分的面积为 (3)周长为 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确的识图，准确的列出算式，是解题的关键： （1）利用算术平方根进行求解即可； （2）用小长方形的面积减去小正方形的面积进行计算即可； （3）根据周长公式列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意，大正方形的边长为；小正方形的边长为； （2）解：阴影部分的面积为； （3）解：长方形的周长为． 【变式10-1】（20-21七年级下·河北沧州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算． 【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2， ∴两个正方形的边长分别是，2， ∴阴影部分的面积 故选A． 【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长. 【变式10-2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数运算的实际应用，正确列出算式，是解题的关键： （1）根据直角三角形的面积公式列式计算即可； （2）利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，三角形的面积为； （2）由题意， ． 【变式10-3】（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 【答案】(1) (2)①；②5 【分析】本题主要考查实数与数轴、实数的运算，熟练掌握实数与数轴、实数的运算是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）由题意得，①把代入进行进行求解即可； ②把代入进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知：小明在数轴上画出的点表示的数为； 故答案为：； （2）解：由题意得：， ①， ∵， ∴的立方根为； ②． 题型十一 实数的性质 【例11】（2024八年级上·全国·专题练习）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，由数轴可知，，则，，再运算绝对值即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， ，， ， 故选：B． 【变式11-1】（2022·山东枣庄·中考真题）实数﹣2023的绝对值是（　　） A．2023 B．﹣2023 C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值的代数意义即可得出答案． 【详解】解：因为负数的绝对值等于它的相反数， 所以，﹣2023的绝对值等于2023． 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的代数意义，熟练掌握知识点是本题的关键． 【变式11-2】（16-17七年级下·甘肃武威·期中）的相反数是________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数定义，只有符号不同的两个数叫做相反数，根据相反数的定义进行求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 【变式11-3】（23-24七年级下·安徽黄山·期中）阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式. 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况： ； ； ． 从而化简代数式可分以下种情况： 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上讨论，. 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简． 【答案】(1)和的零点值分别为、； (2)． 【分析】（）令和，求出的值即可求解； （）根据零点值分、和三种情况解答即可求解； 本题考查了绝对值的性质，解绝对值方程，理解零点值的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：令和， 解得，， 和的零点值分别为、； （2）解：在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：、和， 当时，； 当时，；     当时，； 综上，． 题型十二 实数与数轴的结合 【例12】（2024·广东深圳·中考真题）如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】A 【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小．根据数轴上右边的数总比左边的大即可判断． 【详解】解：由数轴知，， 则最小的实数为a， 故选：A． 【变式12-1】（2012·黑龙江大庆·中考真题）实数，在数轴上的位置如图所示，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上点的位置，可得，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：根据数轴上点的位置，可得， ， 故选C． 【点睛】本题考查了实数与数轴，根据数轴上点的位置判断实数的大小，数形结合是解题的关键． 【变式12-2】（2024·山东青岛·中考真题）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（    ） A．a B．b C．c D．d 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据绝对值的几何意义可知，一个实数的绝对值表示的是这个实数在数轴上与原点的距离，故离原点越近，其绝对值越小，据此可得答案． 【详解】解：由数轴上点的位置可知，， ∴这四个实数中绝对值最小的是， 故选：C． 【变式12-3】（23-24八年级下·广东惠州·月考）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，无理数的估算，绝对值的化简，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由数轴可知，，即，，再计算绝对值即可求解． 【详解】解：由数轴可知，，即，， ． 故选：B． 【变式12-4】（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）如图，面积为2的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为．若，则数轴上点E所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根的应用，根据正方形的面积，求出的长，进而得到的长，进而求出点E所表示的数即可． 【详解】解：∵面积为2的正方形， ∴， ∴， ∴数轴上点E所表示的数为； 故选A． 题型十三 实数的大小比较 【例13】（24-25七年级下·福建福州·月考）若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，首先求出a、b、c的六次方，比较出它们的六次方的大小关系；然后根据：几个负实数，六次方越大，这个数越小，判断出的大小关系即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式13-1】（19-20八年级上·江苏徐州·月考）比较两数的大小：_______．（“>”“<”或“=”） 【答案】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，注意放缩法的应用．应用放缩法，判断出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式13-2】（2025七年级下·全国·专题练习）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． ， ． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握实数大小的比较方法，是解题的关键． （1）先求出，然后根据，即可得出答案； （2）先求出，然后根据即可得出答案． 【详解】（1）解： ． ， ， ． （2）解： ． ， ， ， ． 题型十四 实数的混合运算 【例14】（2022七年级·全国·专题练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方与开方，并去绝对值符号，再计算加减即可． （2）先计算开方与乘方，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，求绝对值，平方根和立方根，熟练掌握实数运算法则是解题的关键． 【变式14-1】（24-25七年级下·福建莆田·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算、立方根，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．利用乘方、绝对值、立方根的法则化简，再加减即可． 【详解】解： ． 【变式14-2】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握实数运算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根与立方根，化简绝对值，再计算加减即可； （2）先计算算术平方根与立方根，化简绝对值，再计算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式14-3】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，4.13的小数部分为． (1)_________，_________，的小数部分_________； (2)已知，其中是整数，且，则的相反数是_________； (3)设的小数部分为，求的值． 【答案】(1)2，2， (2) (3)1 【分析】本题考查了无理数的估算，理解题意是解此题的关键． （1）估算出，，并结合，即可得解； （2）估算出，从而可得，结合题意可得，，求出，再由相反数的定义即可得解； （3）估算出，结合题意可得，估算出，得出，代入所求式子计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴的小数部分； 故答案为：2，2，； （2）解：∵， ∴，即， ∴， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴， ∴的相反数是； 故答案为：； （3）解：∵， ∴，即， ∵的小数部分为， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ． 题型十五 与实数相关的规律问题 【例15】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）观察下列等式． 第1个：； 第2个：； 第3个：； …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)___________； (2)写出第个等式：___________；（用含的式子表示，为正整数） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，理解题意，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据题干所给式子进行计算即可得解； （2）根据题干所给式子得出规律即可； （3）利用（2）中得出的规律，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵第1个：； 第2个：； 第3个：； …… ∴； （2）解：由（1）可得第个等式为：； （3）解： ． 【变式15-1】（23-24七年级上·河北石家庄·月考）有一列数按一定规律排列：…．则第n个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，找到实数的变化规律是解题的关键．根据规律可知，第奇数个数为正数，第偶数个数为负数，再按分子、分母分别找规律求解即可． 【详解】解：根据规律可知，第奇数个数为正数，第偶数个数为负数，该列数的分子是，分母是， 第个数是 故选B． 【变式15-2】（21-22七年级下·安徽安庆·期末）【观察】请你观察下列式子． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． 【发现】根据你的阅读回答下列问题： (1)写出第7个等式 　 　． (2)请根据上面式子的规律填空：＝　 　． (3)利用（2）中结论计算：． 【答案】(1)＝7 (2)n+1 (3)14 【分析】（1）根据规律直接写出式子即可； （2）所给是n+1个式子，根据规律即可得； （3）根据得出的结论可知，利用规律即可得． 【详解】（1）解：根据材料可知，第七个式子的被开方数为1+3+5+7+9+11+13， ∴第7个等式为：， 故答案为：； （2）解：根据材料中给出的规律可知：， 故答案为：； （3）解：根据（2）中的规律知， ． 【点睛】本题考查了数字变化规律类，解题的关键是掌握是式子的规律． 【变式15-3】（25-26九年级上·安徽淮南·开学考试）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设+···+，求不超过m的最大整数是多少？ 【答案】(1) (2)2025 【分析】本题考查了实数的运算，实数大小比较，数字的变化类，掌握实数的运算法则是关键． （1）根据题干列举的等式，即可得出答案； （2）先总结规律可得，再利用规律进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）+···+， ， ， ， ∴不超过m的最大整数是2025． 题型十六 新定义下的实数运算 【例16】（23-24七年级上·安徽宿州·期末）对有理数a，b定义运算“”： (1)计算的值； (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数新定义计算，大小比较： （1）根据定义运算即可； （2）先计算，后比较大小即可． 【详解】（1）∵， ∴ ． （2）∵， ∴ . ． 故. ． 【变式16-1】（20-21八年级上·福建泉州·期中）现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】B 【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算，，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式16-2】（17-18七年级·湖北·月考）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝_____；＝_____． （2）若，写出满足题意的的整数值 __________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，这时候结果为． （3）对连续求根整数，_____次之后结果为． （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ________． 【答案】（1）， （2），， （3） （4） 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数大小估算等知识点，读懂题意，理解根整数的定义是解题的关键． （1）先估算和的大小，再根据新定义即可得出答案； （2）根据定义可得，进而可得到满足题意的的整数值； （3）根据定义对连续求根整数，即可得出答案； （4）由（2）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进而可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为，于是得解． 【详解】解：（1）∵，，， ， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）∵，且， ∴， ∴满足题意的的整数值为：，，， 故答案为：，，； （3）第一次：， 第二次：， 第三次：， 故答案为：； （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中最大的是，理由如下： 由（2）可得，进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∵，， ∴进行次求根整数运算后结果为的正整数中最大者为， ∴对一个正整数进行次连续求根整数运算后结果为，这个正整数最大值为， 故答案为：． 【变式16-3】（24-25七年级下·安徽淮北·期末）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”． (1)判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 【答案】(1)是，不是； (2) 【分析】本题主要考查算术平方根，理解“和谐数组”的定义是解题的关键： （1）根据“和谐数组”的定义进行判断即可解答； （2）分和两种情况，分别根据算术平方根的定义并运用“和谐数组”的定义验证即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴是“和谐数组”； ∵，不是整数， ∴不是“和谐数组”． （2）解：若，则，解得：； 当时，，均为整数，且3，12，48互不相等，符合条件； 若，得，与12重复，舍去． 综上可知． 基础巩固通关测 1．（14-15七年级·全国·课后作业）的算术平方根是______． 【答案】2 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 2．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．结合选项逐一判断即可． 【详解】解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意； B、是开方开不尽的数，属于无理数，本选项符合题意； C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，本选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（） A．带根号的数一定都是无理数 B．无限不循环小数是无理数 C．实数可以分为正实数和负实数 D．能在数轴上表示出来的数都是有理数 【答案】B 【分析】本题考查了实数，实数与数轴，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据实数的分类，无理数的意义，实数与数轴的关系，逐一判断即可解答． 【详解】带根号的数不一定都是无理数，如，是有理数，A选项错误； 无限不循环小数是无理数，B选项正确； 实数可以分为正实数、负实数和0，C选项错误； 能在数轴上表示出来的数不一定都是有理数，如可以在数轴上表示出来， 但不是有理数，D选项错误． 故选：B 4．（10-11八年级·四川成都·期中）比较的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查的是实数的比较大小，根据开方和乘方互为逆运算将无理数化为有理数，然后比较大小是解决此题的关键． 先分别求出这三个数的六次方，然后比较它们的六次方的大小，即可比较这三个数的大小． 【详解】解：∵，，， 而， ∴． 故选：D． 5．（25-26八年级上·山东潍坊·月考）在，，，，，，，，（每两个之间依次多一个）中，无理数有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的定义，无限不循环小数叫做无理数．根据无理数的定义逐个数进行判断即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 中是无理数，故属于无理数； ，是整数，属于有理数； 是整数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； 是开方开不尽的数，属于无理数； （每两个之间依次多一个）是无限不循环小数，属于无理数， 无理数有、、（每两个之间依次多一个），共个， 故选：C． 6．（2025·山东威海·二模）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，二次根式的运算．先估算得出，，，再利用二次根式的运算法则计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， 即，， ∴． 故选：B． 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．由得到，即可求解． 【详解】解：，， ， 故选：B． 8．（2023·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式的规律可得，系数为，字母为，指数为1开始的自然数，据此即可求解． 【详解】解：按一定规律排列的单项式：，第个单项式是， 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式规律题，找到单项式的变化规律是解题的关键． 9．（2022·广西贺州·中考真题）若实数m，n满足，则__________． 【答案】7 【分析】根据非负数的性质可求出m、n的值，进而代入数值可求解． 【详解】解：由题意知，m，n满足， ∴m-n-5=0，2m+n−4=0， ∴m=3，n=-2， ∴， 故答案为：7． 【点睛】此题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目． 10．（24-25七年级下·重庆·月考）设、为实数，且，则的立方根是________． 【答案】3 【分析】本题考查了立方根与算术平方根，先根据算术平方根的定义求出x、y的值，然后根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：根据题意，得，， 解得， ∴， ∴， ∴的立方根是， 故答案为：3． 11．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了实数运算的应用，根据题意代入计算即可得出答案． 【详解】解：千米/时， ∴ 故答案为：>． 12．（24-25七年级下·福建福州·月考）求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方根与立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， 解得，． 13．（22-23七年级下·全国·课后作业）把下列各数的序号分别填入相应的集合内： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩3.14． (1)整数集合：{     …）； (2)分数集合：{     …）； (3)无理数集合：{     …）． 【答案】(1)③④⑥ (2)①⑨⑩ (3)②⑤⑦⑧ 【详解】（1）整数集合：{③④⑥，…}； （2）分数集合：{①⑨⑩，…}； （3）无理数集合：{②⑤⑦⑧，…}． 14．（25-26八年级上·广东佛山·期中）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． (1)求出a，b的值； (2)求的平方根和的立方根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键： （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到，求出的值，立方根的定义，得到，求出的值即可； （2）根据平方根和立方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，， ∴； （2）∵， ∴的平方根为，的立方根为． 15．（2022七年级·全国·专题练习）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方与开方，并去绝对值符号，再计算加减即可． （2）先计算开方与乘方，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查实数的混合运算，求绝对值，平方根和立方根，熟练掌握实数运算法则是解题的关键． 16．（24-25七年级下·福建福州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)能；理由见解析 【分析】本题考查了平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平方根的意义即可求解； （2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案． 【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形， 正方形的边长为， “混天绫”的总长度． 答：“混天绫”的总长度． （2）解：能，理由如下： 设长方形的长为米，宽为米， 依题意得 ， 解得或， ， ， 长方形的长为米，宽为米， 长方形的周长为， ， ， 能够完成新阵法． 能力提升进阶练 17．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算的规律，数轴，找到规律，即可解答，熟练运用实数的运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为， ， 同理可得; ； ； ； ； ， 故选：A． 18．（24-25七年级上·河北张家口·期末）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，则有．下列说法中正确的有（   ）个 ①；②；③；④若，且，则或 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查新定义、无理数的整数部分、有理数的运算等知识点，理解新定义成为解题的关键． 根据新定义、无理数的整数部分可判断①、②和③；根据，且，求出或即可判断④． 【详解】解：由题可知： ，， 故①正确；②③错误； 由，则或， 当时，，； 当时，，； 所以④错误． 所以正确的只有①，即1个． 故选A． 19．（2025·山东聊城·模拟预测）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则，按此规律继续计算，则第2025次“”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是掌握“给什么用什么”是“新定义”解题的基本思路． 计算出时第1，2，3，4，5，6，7次运算的结果，通过计算从第5次开始，结果就只有1和4两个数循环出现，进而观察规律即可得结论． 【详解】解：当， 第1次“”运算的结果是： ， 第2次“”运算的结果是： ， 第3次“”运算的结果是： ， 第4次“”运算的结果是：， 第5次“”运算的结果是，， 第6次“”运算的结果是，， 第7次“”运算的结果是，， … 以此类推可知，从第5次“”运算开始，每两次“”运算为一个循环，运算的结果为1、4依次出现，且当次数为偶数时，结果是4，次数为奇数时，结果是1， ∴第2025次“”运算的结果是1， 故选：A． 20．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（）行的数据的个数是解题的关键． 观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出行的数据的个数，再加上得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可。 【详解】前行的数据的个数为， 所以，第10行从左到右数第7个数的被开方数是， 所以，第10行从左向右数第7个数是． 故选B． 21．（22-23八年级上·河南南阳·月考）探究发散： (1)完成下列填空 ①______，②______，③______， ④______，⑤______，⑥______； (2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________ (3)利用你总结的规律，计算：若，则______； (4)有理数在数轴上的位置如图．    化简：． 【答案】(1)3，0.5，6，0，， (2)不一定，正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 (3) (4) 【分析】（1）根据数的算术平方根的计算可以求出各数的值； （2）结合（1）中计算可知不一定等于，并发现其中规律． （3）运用（2）得出的规律进行运算即可； （4）结合数轴可知，且，然后根据算术平方根的性质、相反数的性质以及绝对值的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：①，②，③， ④，⑤，⑥． 故答案为：3，0.5，6,0，，； （2）由（1）可知，不一定等于，可发现规律：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数 故答案为：正数和零的平方的算术平方根为其本身，负数的平方的算术平方根为其相反数； （3）若，则， 所以． 故答案为：； （4）由在数轴上的位置可知， ，且， 所以 ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根、有理数与数轴、相反数以及绝对值等知识，熟练掌握相关性质和运算法则是解题关键． 22．（22-23七年级下·北京西城·期中）观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)小明是这样试求出的立方根的．先估计的立方根的个位数，猜想它的个位数为______，又由；猜想的立方根的十位数为_______，可得的立方根； (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①______，②______． 【答案】(1)7，2 (2)， 【分析】分别根据题中所给的分析方法，先求出这几个数的立方根的个位数，再求出十位数，即可得出结论． 【详解】（1）∵的个位数是3，而末位数为3， ∴猜想的立方根的个位数为7， 又∵， ∴猜想的立方根的十位数为2， 验证：， 故答案为7，2； （2）①∵的个位数是9，而末位数为9， ∴猜想的立方根的个位数为9， 又∵， ∴猜想的立方根的十位数为4， 验证：； ②∵的末位数是1，而， ∴猜想的立方根的末位数为1， 又∵， ∴猜想的立方根的十分位数为8， 验证：； 故答案为，； 【点睛】本题主要考查了立方和立方根，理解一个数的立方以后的个位数，就是这个数的个位数的立方以后的个位数是解题的关键，有一定难度． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 实数（复习讲义） 1.理解掌握平方根、算术平方根、立方根的定义、表示方法及性质，会求一个数的平方根、算术平方根和立方根; 2.掌握实数的基本概念与分类，理解实数与数轴上的点一一对应关系，能比较实数的大小，通过数轴研究和理解实数的相关性质; 3.理解实数与有理数的扩充关系，能够结合数轴与运算，理解有理数到实数的数系扩充，并能利用这种联系解决实际问题; 4.应用实数的运算与性质解决实际问题，能够运用实数的运算法则、运算律解决一些复杂的数学问题，如含平方根、立方根的代数式化简、实数混合运算及实际情境中的估算与最值问题. 一、平方根、算术平方根与立方根 1. 平方根与算术平方根 定义：一般地，如果一个数的平方等于（即），那么这个数就叫做的平方根（也叫二次方根），记作；正数的正的平方根叫做的算术平方根，记作，0 的算术平方根是 0. 核心区别： （1）一个正数的平方根有两个，互为相反数；算术平方根只有一个，是正数. （2）表示方法不同：平方根是，算术平方根是. 被开方数要求：≥0（负数没有平方根，也没有算术平方根）. 2. 立方根 定义：一般地，如果一个数的立方等于（即），那么这个数就叫做的立方根（也叫三次方根），记作,期中叫做被开方数，3叫做根指数. 核心性质： （1）正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. （2）任何实数都有唯一的立方根，被开方数可以是正数、负数或0. （3） 二、实数的概念与分类 1. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. (1)有理数：整数和分数的统称，可表示为有限小数或无限循环小数. (2)无理数：无限不循环小数，常见类型有： · 开方开不尽的数，如、； · 含的数，如、； · 有规律但不循环的无限小数，如 0.1010010001⋯. 2. 实数的分类 3. 实数与数轴 (1)一一对应：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. (2)实数大小比较： · 数轴上右边的数总比左边的数大； · 正数 > 0 > 负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3、 实数的运算 1. 实数的运算律 实数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，乘法对加法的分配律，与有理数的运算律完全一致. 1. 混合运算顺序 (1)先算乘方、开方； (2)再算乘除； (3)最后算加减； (4)有括号的先算括号里面的（先小括号，再中括号，最后大括号）. 2. 近似计算：在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用近似的有限小数代替无理数进行计算. 题型一 算术平方根、平方根、立方根的概念 【例1】（23-24七年级下·安徽六安·月考）下列语句正确的是（    ） A．9的平方根是 B．49的算术平方根7 C．25的平方根是5 D．立方根是它本身的数只有0，1 【变式1-1】（25-26八年级上·安徽安庆·开学考试）下列说法错误的是（ ） A．的立方根是 B．是的算术平方根 C．的平方根是 D．的平方根是 【变式1-2】（15-16八年级上·重庆·期中）下列选项中正确的是（　　） A．27的立方根是 B．的平方根是 C．9的算术平方根是3 D．立方根等于平方根的数是1 【变式1-3】（21-22七年级上·山东青岛·期末）下列说法：①负数没有立方根；②如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；③一个数的算术平方根一定是正数；④的算术平方根是，其中不正确的有（　　） A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 题型二 算术平方根、平方根、立方根的基础计算 【例2】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）计算：． 【变式2-1】（25-26八年级上·四川成都·月考）的平方根是_______；的立方根是_______． 【变式2-2】（20-21七年级下·安徽·月考）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（16-17七年级下·广东东莞·月考）计算：． 题型三 算术平方根的非负性的应用 【例3-1】（25-26八年级上·吉林长春·月考）已知，求的平方根． 【例3-2】（16-17七年级下·湖北襄阳·期中）若 x，y 都是实数，且，求的立方根． 【变式3-1】（25-26九年级上·安徽芜湖·期末）如果，那么的值为_____． 【变式3-2】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）若，则的立方根为（    ） A．5 B．15 C．25 D． 【变式3-3】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）已知，则的平方根是_____． 题型四 利用平方根、立方根解方程 【例4】（20-21七年级下·安徽·月考）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【变式4-1】（24-25七年级下·福建福州·月考）求下列各式中x的值． (1) (2) 【变式4-2】（24-25七年级下·安徽亳州·月考）求下列各式中的值． (1)； (2)． 【变式4-3】（23-24七年级下·甘肃武威·期中）求下列各式中实数x的值： (1) (2) 题型五 平方根与立方根的综合应用 【例5】（24-25八年级上·福建泉州·月考）（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的算术平方根． （2）若x，y都是实数，且，求的立方根． 【变式5-1】（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知的立方根是，的算术平方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【变式5-2】（19-20八年级上·江苏扬州·期中）已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根． 【变式5-3】（21-22七年级下·四川绵阳·月考）已知、、在数轴上的位置如图，化简：________． 【变式5-4】（21-22八年级上·全国·单元测试）若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ） A．1 B．-1 C．0 D．无法确定 题型六 无理数的识别 【例6】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）在0.7，，，，，2.010010001六个实数中，无理数的个数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式6-1】（2024·浙江宁波·模拟预测）写出一个大于2的无理数__________． 【变式6-2】（2024·山东日照·中考真题）实数中无理数是（    ） A． B．0 C． D．1.732 【变式6-3】（24-25八年级上·山东枣庄·月考）在实数，，0，，，，（两个1之间依次多一个6）中，无理数的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 题型七 无理数的大小估算 【例7】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上表示实数的点可能是(    )    A．点P B．点Q C．点R D．点S 【变式7-1】（2024·四川资阳·中考真题）若，则整数m的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式7-2】（2024·天津南开·一模）估计的值在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【变式7-3】（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，数轴上表示的点可能是（   ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 题型八 无理数整数部分有关计算 【例8】（24-25九年级下·重庆·开学考试）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值在（　　）之间 A．和0 B．0和1 C．1和2 D．2和3 【变式8-1】（25-26七年级上·全国·期末）已知的算术平方根是3，b是的整数部分，则的平方根为________． 【变式8-2】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如果设的整数部分为，则的值为___________． 【变式8-3】（2025七年级下·全国·专题练习） 例： ∵，即， ∴的整数部分为2，小数部分为． 请你参考黑板中老师的讲解，解答下列问题． (1)的相反数是 ，的整数部分是 ；的整数部分是 ，的整数部分是 ； (2)已知的小数部分是m，的小数部分是n．若，请求出满足条件的x的值． 题型九 实数的分类 【例9】（24-25七年级下·安徽淮北·月考）把下列各数的序号填在相应的大括号中： ①；②；③；④；⑤；⑥（两个2之间的0逐次增加）；⑦． (1)整数集合：{___________…}； (2)分数集合：{___________…}； (3)有理数集合：{___________…}； (4)无理数集合：{___________…} 【变式9-1】（24-25七年级下·安徽亳州·月考）下列说法正确的是（    ） A．无限小数都是无理数 B．的立方根是无理数 C．无限小数是无理数，有限小数是有理数 D．有理数和无理数之间可以比较大小 【变式9-2】（20-21七年级下·湖北武汉·月考）下列说法正确的有________． ①实数不是有理数就是无理数；②是有理数；③不带根号的数都是有理数；④是有理数；⑤数轴上任一点都对应一个有理数；⑥的相反数是． 【变式9-3】（25-26八年级上·全国·期中）在下列实数中：，，，，0，，（相邻两个1之间0的个数逐次加），无理数的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式9-4】（25-26八年级上·江西萍乡·期中）请把下列各数的序号填入相应的集合中：①，②5.2，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧2005，⑨（每两个3之间的0依次多一个） (1)整数集合：{____________…}； (2)分数集合：{____________…}； (3)负有理数集合：{____________…}； (4)无理数集合：{____________…}． 题型十 实数运算的实际应用 【例10】（25-26七年级上·浙江金华·期中）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)大正方形与小正方形的边长分别为 ； (2)求阴影部分的面积； (3)求长方形的周长． 【变式10-1】（20-21七年级下·河北沧州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C．2 D． 【变式10-2】（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图所示，已知正方形和正方形的边长分别为和3． (1)三角形的面积为： ；（结果保留根号） (2)求出图中阴影部分的面积．（结果保留根号） 【变式10-3】（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图1，将两个的长方形分别沿对角线剪开，得到四个直角三角形，它们与一个的正方形可以拼成一个大正方形．容易知道，这个大正方形的面积是5，边长为．因此，的长方形的对角线的长是． (1)如图2，小明在数轴上画出的点M表示的数为______． (2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示的数为，设点B表示的数为n． ①求的立方根． ②求的值． 题型十一 实数的性质 【例11】（2024八年级上·全国·专题练习）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2022·山东枣庄·中考真题）实数﹣2023的绝对值是（　　） A．2023 B．﹣2023 C． D． 【变式11-2】（16-17七年级下·甘肃武威·期中）的相反数是________． 【变式11-3】（23-24七年级下·安徽黄山·期中）阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式. 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况： ； ； ． 从而化简代数式可分以下种情况： 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上讨论，. 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简． 题型十二 实数与数轴的结合 【例12】（2024·广东深圳·中考真题）如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（    ） A．a B．b C．c D．d 【变式12-1】（2012·黑龙江大庆·中考真题）实数，在数轴上的位置如图所示，则 （   ） A． B． C． D． 【变式12-2】（2024·山东青岛·中考真题）实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是（    ） A．a B．b C．c D．d 【变式12-3】（23-24八年级下·广东惠州·月考）实数在数轴上对应的点的位置如图所示，计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式12-4】（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）如图，面积为2的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为．若，则数轴上点E所表示的数为（   ） A． B． C． D． 题型十三 实数的大小比较 【例13】（24-25七年级下·福建福州·月考）若，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（19-20八年级上·江苏徐州·月考）比较两数的大小：_______．（“>”“<”或“=”） 【变式13-2】（2025七年级下·全国·专题练习）课堂上，老师出了一道题：比较与的大小．小明的解法如下： 解：． ， ． 我们把这种比较大小的方法称为作差法．请仿照上述方法，比较下列各组数的大小： (1)和； (2)和 题型十四 实数的混合运算 【例14】（2022七年级·全国·专题练习）计算 (1) (2) 【变式14-1】（24-25七年级下·福建莆田·期中）计算：． 【变式14-2】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）计算： (1)； (2) 【变式14-3】（25-26八年级上·江苏徐州·期中）我们用表示不大于的最大整数，的值称为数的小数部分，如，4.13的小数部分为． (1)_________，_________，的小数部分_________； (2)已知，其中是整数，且，则的相反数是_________； (3)设的小数部分为，求的值． 题型十五 与实数相关的规律问题 【例15】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）观察下列等式． 第1个：； 第2个：； 第3个：； …… 根据以上规律，解决下列问题： (1)___________； (2)写出第个等式：___________；（用含的式子表示，为正整数） (3)计算：． 【变式15-1】（23-24七年级上·河北石家庄·月考）有一列数按一定规律排列：…．则第n个数是（    ） A． B． C． D． 【变式15-2】（21-22七年级下·安徽安庆·期末）【观察】请你观察下列式子． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． 第5个等式：． 【发现】根据你的阅读回答下列问题： (1)写出第7个等式 　 　． (2)请根据上面式子的规律填空：＝　 　． (3)利用（2）中结论计算：． 【变式15-3】（25-26九年级上·安徽淮南·开学考试）先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； (1)根据上面三个等式，请猜想的结果（直接写出结果） (2)根据上述规律，解答问题： 设+···+，求不超过m的最大整数是多少？ 题型十六 新定义下的实数运算 【例16】（23-24七年级上·安徽宿州·期末）对有理数a，b定义运算“”： (1)计算的值； (2)比较与的大小． 【变式16-1】（20-21八年级上·福建泉州·期中）现对实数定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．6 【变式16-2】（17-18七年级·湖北·月考）对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数，例如：，． （1）仿照以上方法计算：＝_____；＝_____． （2）若，写出满足题意的的整数值 __________． 如果我们对连续求根整数，直到结果为为止．例如：对连续求根整数次，这时候结果为． （3）对连续求根整数，_____次之后结果为． （4）只需进行次连续求根整数运算后结果为的所有正整数中，最大的是 ________． 【变式16-3】（24-25七年级下·安徽淮北·期末）在数学探究活动中，我们定义一种“和谐数组”：数组中，为三个互不相等的正整数，若任意两个数的乘积的算术平方根都是整数，则称这个数组为“和谐数组”．例如，数组，计算可得，所以它是“和谐数组”． (1)判断：_________“和谐数组”，__________“和谐数组”（填“是”或“不是”）； (2)若为“和谐数组”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，求的值． 基础巩固通关测 1．（14-15七年级·全国·课后作业）的算术平方根是______． 2．（2025·江西·中考真题）下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3.14 D． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法正确的是（） A．带根号的数一定都是无理数 B．无限不循环小数是无理数 C．实数可以分为正实数和负实数 D．能在数轴上表示出来的数都是有理数 4．（10-11八年级·四川成都·期中）比较的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·山东潍坊·月考）在，，，，，，，，（每两个之间依次多一个）中，无理数有（    ）个． A． B． C． D． 6．（2025·山东威海·二模）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D．3 7．（23-24七年级下·全国·单元测试）已知，，则（ ） A． B． C． D． 8．（2023·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 9．（2022·广西贺州·中考真题）若实数m，n满足，则__________． 10．（24-25七年级下·重庆·月考）设、为实数，且，则的立方根是________． 11．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，，请你通过计算判断汽车此时的行驶速度v______100千米/时．（填“”、“”或“”） 12．（24-25七年级下·福建福州·月考）求下列各式中的值： (1)； (2)． 13．（22-23七年级下·全国·课后作业）把下列各数的序号分别填入相应的集合内： ①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩3.14． (1)整数集合：{     …）； (2)分数集合：{     …）； (3)无理数集合：{     …）． 14．（25-26八年级上·广东佛山·期中）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为． (1)求出a，b的值； (2)求的平方根和的立方根． 15．（2022七年级·全国·专题练习）计算 (1) (2) 16．（24-25七年级下·福建福州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为． (1)“混天绫”的总长度是多少米？ (2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由． 能力提升进阶练 17．（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级上·河北张家口·期末）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，则有．下列说法中正确的有（   ）个 ①；②；③；④若，且，则或 A．1 B．2 C．3 D．4 19．（2025·山东聊城·模拟预测）定义一种对正整数的“”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则，按此规律继续计算，则第2025次“”运算的结果是（   ） A．1 B．3 C．4 D．5 20．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵： 根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（   ） A． B． C． D． 21．（22-23八年级上·河南南阳·月考）探究发散： (1)完成下列填空 ①______，②______，③______， ④______，⑤______，⑥______； (2)计算结果，回答：一定等于吗？你发现其中的规律了吗？请你用数学语言描述出来：_____________________ (3)利用你总结的规律，计算：若，则______； (4)有理数在数轴上的位置如图．    化简：． 22．（22-23七年级下·北京西城·期中）观察下列计算过程，猜想立方根． ，，，，，，，，； (1)小明是这样试求出的立方根的．先估计的立方根的个位数，猜想它的个位数为______，又由；猜想的立方根的十位数为_______，可得的立方根； (2)请你根据（1）中小明的方法，完成如下填空： ①______，②______． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $