7.1 不等式及其基本性质2025-2026学年 沪科版七年级数学下册核心考点精讲与全攻略（安徽专用）

7.1 不等式及其基本性质 知识点详解 一、 不等式的相关概念 1. 不等式的定义 用不等号（>, <, ≥, ≤, ≠）表示不等关系的式子，叫做不等式。 · 常见不等号及读法： · >：大于（如 a > b，读作“a大于b”） · <：小于 · ≥：大于或等于（读作“大于等于”，表示“不小于”） · ≤：小于或等于（读作“小于等于”，表示“不大于”） · ≠：不等于 2. 列不等式（将文字语言转化为数学符号） 这是建立不等式模型的关键步骤。 文字语言 数学符号语言 举例 大于、超过、高于 > x > 5 小于、不足、低于 < y < 10 至少、不低于、不小于 ≥ 售价 a ≥ 成本价 至多、不超过、不大于 ≤ 载客量 ≤ 45人 不等于 ≠ m ≠ 0 3. 不等式的解与解集 · 不等式的解：能使不等式成立的未知数的每一个值，都叫做这个不等式的一个解。 · 例如：对于不等式 x < 3，x = 2，x = 0，x = -1 等都是它的解。 · 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。 · 上例中，不等式 x < 3 的解集是 “所有小于3的实数”。 · 解不等式：求不等式解集的过程，叫做解不等式。 4. 不等式解集的两种表示方法 1. 数轴表示法（直观、重点掌握）： · 在数轴上标出解集的范围。 · 空心圈 ○：表示该点不包含在解集中（对应 > 或 <）。 · 实心点 ●：表示该点包含在解集中（对应 ≥ 或 ≤）。 二、 不等式的基本性质（核心内容） 不等式的基本性质是对不等式进行变形和求解的理论依据，必须熟练掌握并与等式的性质进行对比。 性质名称 等式性质（对比） 不等式基本性质 语言描述与注意事项 性质1 若 a = b，则 a ± c = b ± c 若 a > b，则 a ± c > b ± c 不等式的两边同时加（或减）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 这是移项法则的依据。 性质2 若 a = b，则 a·c = b·c a÷c = b÷c (c≠0) 若 a > b，且 c > 0， 则 ac > bc， 不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3 (同上) 若 a > b，且 c < 0， 则 ac < bc， a/c < b/c 不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变。 这是不等式性质中最易错点！ 性质应用口诀： 加减不变号，乘除看正负；负变正不变。 一、单选题 1．下列不等式变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】依据不等式的基本性质，对每个选项逐一进行分析判断，重点关注不等号方向是否正确． 【详解】解：A、由，根据不等式的对称性，不等号方向应相反，得，而不是，不符合题意； B、由，，根据不等式的传递性，得，而不是，不符合题意； C、由，根据不等式的对称性，应得到，不符合题意； D、根据不等式的对称性，由可得，故该变形正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是熟练掌握不等式的传递性、以及在乘除正数时不等号方向不变的性质，同时注意恒为正数这一隐含条件． 2．若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，根据不等式的基本性质，逐一判断每个选项是否成立． 【详解】解：∵， A、两边同时乘以，不等号方向改变，则，故本选项不符合题意； B、两边同时减去 1，不等号方向不变，则，故本选项不符合题意； C、两边同时乘以，不等号方向改变，则，再两边加 1，则，故本选项符合题意； D、由，则，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．下列按要求列出的不等式中，正确的是（   ） A．不是负数，即 B．不大于3，即 C．与4的和是负数，即 D．与3的差是非负数，即 【答案】C 【分析】本题考查了不等关系，熟练掌握根据已知信息找出不等关系是解题的关键； 根据各选项的表述列出不等式，与选项中所表示的进行比较． 【详解】解：A、 a不是负数表示, 但选项为， 错误，不符合题意； B、x不大于3表示， 但选项为， 错误，不符合题意； C、x与4的和是负数表示， 与选项一致， 正确，符合题意； D、x与3的差是非负数表示, 但选项为， 错误，不符合题意． 故选：C． 4．下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的定义，熟记不等式的定义是解题的关键． 根据不等式的定义，用不等号（如 ）连接的式子是不等式，逐一判断每个式子即可． 【详解】解：①，使用 ，是不等式； ②，使用 ，是不等式； ③，使用，是等式，不是不等式； ④，使用，是不等式； ⑤没有不等号，不是不等式； ⑥，使用，是不等式． ∴ 不等式有①②④⑥，共个． 故选：C． 5．关于的不等式，两边同时乘，得到的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，不等式两边同时乘以一个负数时，不等号的方向需要改变。这里要给两边同时乘以，因为是负数，所以不等号方向要从“”变为“”，再进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是记住“不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”这一核心规则． 6．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质，逐一分析每个选项的变形是否正确；对于错误选项，可通过举反例来验证． 【详解】解：A、若，根据不等式的性质，两边同时减去，不等号方向不变，可得，而不是，不符合题意； B、若，取，，此时，，则，说明该结论不成立，不符合题意； C、若，当时，两边同乘，不等号方向不变，得；当时，两边同乘，不等号方向改变，得．故原说法错误，不符合题意； D、若，根据不等式的性质，两边同时加上，不等号方向不变，可得，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是熟练掌握不等式的变形规则，尤其是两边乘除负数时不等号方向改变的性质，并能通过举反例快速排除错误选项． 7．下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式、不等式的解及解的判断方法，理解题意是解题的关键． 将代入各关系式，判断是否成立，若不成立，则不含有该解. 【详解】A、当时，，成立，不符合题意； B、当时，，，不成立，符合题意； C、当时，，，成立，不符合题意； D、当时，，，成立，不符合题意； 故选：B． 8．下列几个变形中，正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查不等式性质，解题的关键在于正确掌握不等式性质． 根据“不等式两边同时加减同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除除以同一个负数，不等号方向改变；”逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A、如果，当，时，，故A选项不符合题意； B、如果，当，时，，故B选项不符合题意； C、如果，，那么，故C选项符合题意； D、如果，当时，，故D选项不符合题意； 故选：C． 9．如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查不等式的基本性质，注意系数正负对不等号方向的影响．根据不等式解集的形式，可知除系数时不等号方向不变，因此系数必须为正数，即可求解． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴除以后不等号方向不变， ∴， ∴， 故选：C． 10．下列说法正确的是（    ） ①最小的整数是0；            ②数轴上表示数2和的点到原点的距离相等； ③当时，成立；    ④一定比a大． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查整数的概念、数轴上点的距离、绝对值的性质以及不等式的性质．通过逐个判断每个说法的正确性，即可得出答案． 【详解】解：①∵整数包括负整数、0和正整数，且负整数均小于0， ∴不存在最小的整数，故①错误； ②∵数轴上点到原点的距离是该数的绝对值，且，， ∴距离相等，故②正确； ③∵当时，根据绝对值的性质，有，∴成立，故③正确； ④∵，∴恒成立，故④正确． 综上，正确的说法有②③④，共3个． 故选：C． 11．已知，则x与y的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的性质进行解答即可． 【详解】解：不等式两边都乘以5，得 不等式两边都加1，得， 不等式两边都除以2，得， 故选：B． 12．若方程组的解为，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解二元一次方程组以及不等式性质的应用，对方程正确的变形是解题的关键．两式相减得出含未知数的的代数式，再根据可求出的取值范围． 【详解】解：， 两式相减得， ， ， ， ， ． 故选：B． 二、填空题 13．有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，数轴和不等式的性质等知识点，能正确根据不等式的性质进行变形是解此题的关键，注意：①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据数轴得出，再根据不等式的性质进行变形即可． 【详解】解：由图可知，， ， ． 故答案为：． 14．请写出满足下列条件的解： （1）的正整数解有 ． （2）的负整数解有 ． 【答案】 1，2 －3，－2，－1 【分析】本题考查了不等式的解集，解决本题的关键是熟记不等式的解集． （1）由不等式，结合正整数定义，找出所有满足条件的正整数； （2）由不等式 ，结合负整数定义，找出所有满足条件的负整数． 【详解】解：（1），且为正整数， 可取，， 故答案为：； （2），且为负整数， 可取，，． 故答案为：，，． 15．已知，请用“”或“”填空： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）运用不等式的性质1进行作答即可； （2）运用不等式的性质2进行作答即可； （3）运用不等式的性质3进行作答即可； （4）运用不等式的性质3进行作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴； （4）解：∵， ∴． 故答案为：；；； 16．已知关于的不等式，两边同时除以，得，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，当不等式两边同时除以一个负数时，不等号的方向会发生改变．不等式两边除以后，不等号方向由“”变为“”，说明除数是负数，由此可列出关于的不等式求解． 【详解】解：已知不等式，两边同时除以后不等号方向改变，得：． 根据不等式的性质，这说明除数 解这个不等式：： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是记住“不等式两边除以负数时，不等号方向改变”这一性质，从而判断出的符号，进而求出的取值范围． 三、解答题 17．将下列不等式化成“”或“”的形式． (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式的变形，掌握移项、合并同类项的步骤，以及系数化为时，若系数为负数，不等号方向要改变是解题的关键． （1）通过移项合并同类项，将不等式化为形式，再系数化为； （2）先移项合并同类项，再系数化为； （3）移项合并同类项后，系数化为． 【详解】（1）解：两边同时减去，得， 两边同时除以，得． （2）解：两边同时减去，得， 两边同时除以，得． （3）解：两边同时减去，得， 两边同时减去，得， 两边同时除以，得． 18．已知． (1)比较大小：①_____；②_____．（填“”、“”或“”）； (2)若，，，求与的大小关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）运用不等式的性质进行计算求解； （2）运用不等式的性质和作差法进行比较、求解． 此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， 即， 故答案为：，； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵，，， ∴ ， ∴． 19．用不等式表示下列不等关系： (1)a的5倍加上b小于2； (2)m的与n的的和是非负数； (3)x的2倍减去x的不大于11． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出不等式，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是解题的关键． （1）a的5倍加上b表示为，小于2表示为，进而可得出； （2）m的与n的的和表示为，非负数表示为，进而可得出； （3）x的2倍减去x的表示为，不大于11表示为，进而可列出． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得：； （3）解：根据题意得：． 20．已知关于x、y的二元一次方程组． (1)求方程组的解；（用含k的代数式表示）； (2)若，设，求S的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了采用加减消元法求解二元一次方程组的解，不等式的性质等知识，掌握加减消元法是解答本题的关键． （1）根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解； （2）根据，得出，再根据，即可求解． 【详解】（1）解： ， ：， ， 把代入②，得   （2）           法二：：         21．已知都是有理数，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查不等式的性质，等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．利用不等式的基本性质证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 22．用不等式表示： (1)b与2的和小于； (2)x的一半与3的差不大于5； (3)a的绝对值不小于它本身； (4)m的6倍与3的和是非负数； (5)x与y两数和的平方不小于7； (6)a的n倍大于． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题主要考查了列不等式，根据题意列出不等式即可． （1）根据题意列出不等式即可． （2）根据不大于即小于和等于列出不等式即可． （3）根据不小于即大于和等于列出不等式即可． （4）根据非负数为大于等于0列出不等式即可． （5）根据不小于即大于和等于列出不等式即可． （6）根据题意列出不等式即可． 【详解】（1）解：b与2的和小于， 即． （2）解：x的一半与3的差不大于5， 即． （3）解：a的绝对值不小于它本身， 即． （4）解：m的6倍与3的和是非负数， 即． （5）解：x与y两数和的平方不小于7， 即． （6）解：a的n倍大于， 即． 23．指出下列各题中不等式变形的依据： (1)由得； (2)由，得； (3)由，得； (4)由，得． 【答案】(1)不等式性质2 (2)不等式性质1 (3)不等式性质3 (4)不等式性质1 【分析】本题考查不等式的性质： （1）根据不等式的性质2，不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，作答即可； （2）根据不等式的性质1，不等式两边加（或减）去同一个数（式子），不等号的方向不变，作答即可； （3）根据不等式的性质3，不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，作答即可； （4）根据不等式的性质1，不等式两边加（或减）去同一个数（式子），不等号的方向不变，作答即可． 【详解】（1）解：由得的依据是不等式的性质2； （2）由，得的依据是不等式性质1； （3）由，得的依据是不等式性质3； （4）由，得的依据是不等式性质1． 24．已知关于的不等式的解集为，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据题意可得不等式在两边同时除以后不等式的符号发生的改变，则，据此可得答案． 【详解】解：∵关于的不等式的解集为， ∴不等式在两边同时除以后不等式的符号发生的改变， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $7.1不等式及其基本性质 知识点详解 一、不等式的相关概念 1.不等式的定义 用不等号(>，<，≥，≤，≠)表示不等关系的式子，叫做不等式。 ·常见不等号及读法： ·>:大于（如a>b,读作“a大于b”) ·<:小于 ·≥：大于或等于（读作“大于等于”，表示“不小于”） ·≤：小于或等于（读作“小于等于”，表示“不大于”） ·≠：不等于 2.列不等式（将文字语言转化为数学符号） 这是建立不等式模型的关键步骤。 文字语言 数学符号语言 举例 大于、超过、高于 > x>5 小于、不足、低于 下 y<10 至少、不低于、不小于 售价a≥成本价 至多、不超过、不大于 ≤ 载客量≤45人 不等于 卡 m≠0 3.不等式的解与解集 ·不等式的解：能使不等式成立的未知数的每一个值，都叫做这个不等式的一个解。 ·例如：对于不等式x<3,×=2,x=0,x=-1等都是它的解。 ·不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。 ·上例中，不等式×<3的解集是“所有小于3的实数”。 ·解不等式：求不等式解集的过程，叫做解不等式。 4.不等式解集的两种表示方法 1.数轴表示法（直观、重点掌握）： ·在数轴上标出解集的范围。 ·空心圈O:表示该点不包含在解集中（对应>或<）。 ·实心点●：表示该点包含在解集中（对应≥或≤）。 二、不等式的基本性质（核心内容）》 不等式的基本性质是对不等式进行变形和求解的理论依据，必须熟练掌握并与等式的性质进 行对比。 性质名称 等式性质（对比） 不等式基本性质 语言描述与注意事项 不等式的两边同时加 (或减)同一个数或 若a=b,则a士c= 若a>b,则a士c> 同一个整式，不等号 性质1 b±c b±c 的方向不变。这是 移项法则的依据。 若a>b,且c>0, 不等式的两边同时乘 性质2 若a=b,则ac=b (或除以)同一个正 则ac>bc, ca÷c=b÷c(c≠0) a/c>b/c 数，不等号的方向不 变 不等式的两边同时乘 (或除以)同一个负 若a>b,且c<0, 性质3 同上) 数，不等号的方向必 则ac<bc,a/c<b/c 须改变。 这是不等 式性质中最易错点： 性质应用口诀： 加减不变号，乘除看正负；负变正不变。 一、单选题 1.下列不等式变形正确的是() A.由a>b,得b>a B.由a<b,b<5,得a>5 C.由a+b>a+c,得a+c>a+b D.由b a2+1a2+，得a2+i2 -> 2.若a<b,则下列不等式成立的是() A.-2a<-2b B.a-1>b-1 C.-a+1>-b+1 D.a-b>0 3,下列按要求列出的不等式中，正确的是() A.a不是负数，即a>0 B.x不大于3，即x<3 C.x与4的和是负数，即x+4<0 D.x与3的差是非负数，即x-3>0 4.下列式子：①1>0；②2x+7y<0;③x=8;④x≠y;⑤x+y;⑥x+3≤7.其中是 不等式的有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 5.关于x的不等式->1，两边同时乘-2，得到的不等式为() Ax>月 B.x>-2 C.x<-2 6.下列说法正确的是() A.若a>b,则a-2<b-2 B.若a>b,则a2>b2 c.若>b,则a>b D.若a-2>b-2,则a>b cc 7.下列关系式中，不含有x=-1这个解的是() A.2x+1=-1 B.2x+1>-1 C.-2x+2>3 D.-2x-1<3 8.下列几个变形中，正确的是() A.如果x>y,那么x-1>y+1 B,如果x>y,那么>1 y C.如果x>y,那么 7 y m2+1m2+1 如果>y,邦么写 9.如果关于x的不等式(a+1)x<a+1的解集为x<1,那么a的取值范围是() A.a<0 B.a>0 C.a>-1 D.a<-1 10.下列说法正确的是() ①最小的整数是0； ②数轴上表示数2和-2的点到原点的距离相等； ③当a≤0时，ld=-a成立；④a+5一定比a大。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5 ，则x与y的大小关系是《) 11.已知2x-1>2y-1 A.x<y B.x>y C.x=y D.x≤y 5x+2y=a+3 12.若方程组 的解为x,y,且2<a<4,则x-y的取值范围是() 3x+4y=5 A.0<x-y<2 B.0<x-y<1 C.-3<x-y<-1 D.-1<x-y<1 二、填空题 13.有理数a,b,c在数轴上的对应点的位置如图所示，则a-ba-c(填“>”“<"或 "="). 0 a 14.请写出满足下列条件的解： (1)x≤的正整数解有一 (2)x>-10 的负整数解有、 15.已知a<b,请用“>"或“<"填空： (1)a-2 b-2; (2)3a 3b: (3)a÷-8 b÷-8): (4)- b 2 2 16.已知关于x的不等式(a+2)x<1,两边同时除以(a+2),得x>1。 >a+2'则a的取值范围 为」 三、解答题 17.将下列不等式化成“x>ax≥a"或“x<a"的形式. (1)7x<5x+2. +≥4. 2 5 B写x+2<写x-3. 3 18.己知a>b>c. (1)比较大小：①a+bb+c;②a+b2c.(填“>”、“="或”<”)； 2)若p=a+b+c 3 2之去三，豆2大、关茶、 19.用不等式表示下列不等关系： (1)a的5倍加上b小于2： 2m的与a的时的和是非负数： 3加的2倍减去x的}不大于11. 2x-5y=2k-3 20.已知关于x、y的二元一次方程组 x+3y=5k (1)求方程组的解；（用含k的代数式表示)： (2)若-1<k≤1，设S=x-8y,求S的取值范围， 21.已知，少，2都是有理数，x=2-4,y<:.求证：y<x+3y+1. 4 22.用不等式表示： (1b与2的和小于-3； (2x的一半与3的差不大于5： (3)a的绝对值不小于它本身： (4)m的6倍与3的和是非负数： (5x与y两数和的平方不小于7； (6)a的n倍大于-9. 23.指出下列各题中不等式变形的依据： 1)由3a>2得a>2 (2)由a+3>0,得a>-3; )油-5a<1,得a>: (4)由4a>3a+1,得a>1. 2 24.已知关于x的不等式1-ax>2的解集为x<1二a,求a的取值范围.