专题01 第6章 实数全章综合复习（ 二大考点12种题型+过关训练）-2024-2025学年七年级数学下册期末综合复习（2024沪科版）

专题01 第6章 实数全章综合复习 目录 【题型一 求一个数的算术平方根、平方根或立方根】 2 【题型二 利用算术平方根的非负性解题】 2 【题型三 利用平方根或立方根解方程】 2 【题型四 平方根或立方根的实际应用】 3 【题型五 与平方根或立方根有关的规律探究题】 4 【题型六 算术平方根和立方根的综合应用】 5 【题型七 无理数及其估算】 5 【题型八 无理数整数部分的有关计算】 5 【题型九 实数的分类】 6 【题型十 实数与数轴】 7 【题型十一 实数的混合运算】 7 【题型十二 新情境下的实数运算】 8 【题型一 求一个数的算术平方根、平方根或立方根】 例题：（24-25七年级下·北京·期中）25的算术平方根为（    ） A．5 B． C． D． 【变式训练】 1．（广东省惠州市仲恺区2024-2025学年七年级下学期期中数学测试）的平方根是 ． 2．（24-25七年级下·北京·期中）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型二 利用算术平方根的非负性解题】 例题：（24-25七年级下·云南昭通·期中）已知，那么的值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ． 【题型三 利用平方根或立方根解方程】 例题：（24-25七年级下·北京·期中）求下列各式中的的值： (1) ； (2) ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·北京·期中）解方程： (1)． (2)． 2．（24-25七年级下·河南许昌·期中）求的值： (1)； (2)． 【题型四 平方根或立方根的实际应用】 例题：（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）做浮力实验时，小华用一根细线将一个铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为，小华将铁块从溢水杯中拿出来后．量得溢水杯的水位下降了，则溢水杯内部的底面半径为（取3）（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·北京·期中）如果一个棱长为的立方体的体积缩小为原来的倍，则新的立方体的棱长与的数量关系为 ． 2．（河南省焦作市武涉县部分学校2024-2025学年下学期期中质量检测八年级数学试卷）一切运动的物体都具有动能（单位：焦耳），其大小由物体的质量m（单位：千克）和运动速度v（单位：米/秒）决定，计算公式为．在2025年3月23日举行的全国马拉松锦标赛首站上，河南选手包揽了女子组冠亚军．若某长跑运动员在匀速跑步，她的质量是60千克，她某时的动能是1350焦耳，则该运动员此时的跑步速度为 米/秒．（结果保留根号） 【题型五 与平方根或立方根有关的规律探究题】 例题：（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）观察表格并回答问题，已知，则（    ） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … A．0.0077 B．0.077 C．0.0245 D．0.245 【变式训练】 1．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）观察下列规律并回答问题： ，… (1) ， ； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则 ； (3)当时，根据上述规律比较与的大小情况． 2．（24-25八年级下·北京·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面等式提供的信息，请你写出式子化简后的值：______； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上面各等式的规律：______（直接写出）； (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，请直接写出式子的值：______． 【题型六 算术平方根和立方根的综合应用】 例题：（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A． B．的平方根是 C．若，则 D．64的立方根是 【变式训练】 1．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 2．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 【题型七 无理数及其估算】 例题：（24-25七年级下·河南漯河·期中）在，，，，，，这6个数中，无理数共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式训练】 1．（24-25七年级下·北京·期中）在实数，3.14159265，，中，是无理数的是 ． 2．（24-25七年级下·北京·期中）介于与之间的整数是 ． 【题型八 无理数整数部分的有关计算】 例题：（24-25七年级下·山东济宁·期中）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（   ） A．4－ B．－ C． D．4 【变式训练】 1．（24-25七年级下·吉林·期中）已知的整数部分是1，则小数部分是；若的小数部分为，则 ． 2．（24-25七年级下·河北张家口·期中）【阅读理解】 信息：任何一个无理数，帮介于两个相邻的整数之间，如，是因为； 信息：因为介于和之间，所以的整数部分是，小数部分可以表示为． 【问题解决】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)判断介于哪两个相邻的整数之间； (3)若，其中是整数，且，则的相反数为______； (4)已知的小数部分是，的小数部分是，且，求的值． 【题型九 实数的分类】 例题：（24-25七年级下·重庆江津·期中）下列各数，，，，0，，，其中正有理数的个数为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练】 1．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）把下列各数填入相应的括号里． ，…． (1)正实数：{                          ，…}； (2)负实数：{                           ，…}； (3)有理数：{                          ，…}； (4)无理数：{                           ，…}． 2．（24-25七年级下·吉林·期中）把下列各实数的序号填在相应的大括号内． ①，②，③0，④3.2121121112…… （相邻两个2之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧． 整数   {         ．．．}； 分数   {         ．．．}； 无理数 {         ．．．}． 【题型十 实数与数轴】 例题：（2025·山东威海·一模）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025·北京平谷·一模）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·北京·期中）如图，数轴上有、、、四个点，则（   ） A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是 C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是 【题型十一 实数的混合运算】 例题：（24-25七年级下·北京·期中）计算： 【变式训练】 1．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）计算： (1)； (2)． 2．（24-25七年级下·广东江门·期中）计算 (1) (2) 【题型十二 新情境下的实数运算】 例题：（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图是一个数值转换器，当输入为8时，输出的值是 ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·云南昆明·期中）现对实数a，b定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．5 2．（24-25七年级下·吉林长春·期中）设、为有理数，定义一种新的运算．． 例如：． (1)计算：． (2)若，求的值． 一、单选题 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）实数a表示的点在数轴上的位置如图，化简的结果是（   ）． A． B． C．2 D． 2．（24-25七年级下·广东江门·期中）在和之间的整数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级下·北京·期中）下列说法正确的是（    ） A．绝对值是的数是5 B．的相反数是 C．的绝对值是 D．的相反数是 4．（24-25七年级下·山东日照·期中）下列实数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·北京·期中）如图，用四个长和宽分别为，的长方形拼成面积是64的大正方形，中间围成的小正方形的面积是，下面结论中正确的是（   ） A．若，则， B．若，则， C．若，，则 D．若，，则 二、填空题 6．（24-25七年级下·四川凉山·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，是的整数部分，则 ． 7．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若实数x，y满足，则的立方根为 ． 8．（24-25七年级下·北京·期中）已知，则的值是 ． 9．（24-25七年级下·山东日照·期中）（1）的算术平方根是 ；（2）比较大小： ． 10．（广东省惠州市仲恺区2024-2025学年七年级下学期期中数学测试）在实数1，0，，中，最小的是 ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）把下列各数的序号分别填入相应的大括号内： ①，②0，③，④，⑤． (1)整数集合{                  ……}； (2)分数集合{                  ……}； (3)无理数集合{                  ……}． 12．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 13．（广东省惠州市仲恺区2024-2025学年七年级下学期期中数学测试）（1）计算：； （2）求x的值： 14．（24-25七年级下·四川自贡·期中）阅读材料，完成下列任务： 因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：，等，而常用的“…”或者“”的表示方法都不够百分百准确． 材料一：，即，． 的整数部分为1，小数部分为． 材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值． 我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图． 1 x x 1 1 解：由图中面积计算，， ，． 是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， 得方程，解得，即． 解决问题： (1)利用材料一中的方法，若x是的小数部分，y是的整数部分，求的值． (2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 15．（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 第6章 实数全章综合复习 目录 【题型一 求一个数的算术平方根、平方根或立方根】 2 【题型二 利用算术平方根的非负性解题】 3 【题型三 利用平方根或立方根解方程】 4 【题型四 平方根或立方根的实际应用】 6 【题型五 与平方根或立方根有关的规律探究题】 7 【题型六 算术平方根和立方根的综合应用】 10 【题型七 无理数及其估算】 12 【题型八 无理数整数部分的有关计算】 13 【题型九 实数的分类】 15 【题型十 实数与数轴】 17 【题型十一 实数的混合运算】 19 【题型十二 新情境下的实数运算】 20 【题型一 求一个数的算术平方根、平方根或立方根】 例题：（24-25七年级下·北京·期中）25的算术平方根为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根；根据算术平方根的概念求解即可． 【详解】解：由于， 所以25的算术平方根为5； 故选：A． 【变式训练】 1．（广东省惠州市仲恺区2024-2025学年七年级下学期期中数学测试）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义．一个正数的平方根有两个，且互为相反数．根据平方根的定义即可得出答案． 【详解】解：的平方根是． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·北京·期中）下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查算术平方根及平方根．根据算术平方根及平方根的性质计算即可判断． 【详解】解：A、，所以本选项不符合题意； B、，所以本选项符合题意； C、，所以本选项不符合题意； D、，所以本选项不符合题意； 故选：B． 【题型二 利用算术平方根的非负性解题】 例题：（24-25七年级下·云南昭通·期中）已知，那么的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】此题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0．幂运算的性质：1的任何次幂都是1．首先根据非负数的性质，可求出x、y的值，然后再代值计算． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∴． 故选：D 【变式训练】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查二次根式，根据被开方数的非负性求出x的值，进而求出y的值，即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知、在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断代数式的大小，绝对值、算术平方根的意义以及整式的加减，熟练掌握绝对值、算术平方根的意义是解答本题的关键． 由数轴可得，，然后利用绝对值、算术平方根的意义以及整式的加减进行化简即可． 【详解】解：由数轴可得，， ∴， 故答案为：． 【题型三 利用平方根或立方根解方程】 例题：（24-25七年级下·北京·期中）求下列各式中的的值： (1) ； (2) ． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查利用平方根、立方根的定义解高次方程．掌握相关定义是解题关键． （1）根据平方根的定义即可求解； （2）根据立方根的定义即可求解． 【详解】（1）解： ∴或， 解得：或； （2）解： ∴， ∴， 解得：． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·北京·期中）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程： （1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2） ， ， ， ∴． 2．（24-25七年级下·河南许昌·期中）求的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以2后开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边开立方后解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即或， ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【题型四 平方根或立方根的实际应用】 例题：（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）做浮力实验时，小华用一根细线将一个铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形溢水杯中，并用量筒量得从溢水杯中溢出的水的体积为，小华将铁块从溢水杯中拿出来后．量得溢水杯的水位下降了，则溢水杯内部的底面半径为（取3）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的应用，理解题意是解本题的关键． 由圆柱的体积公式求出底面半径即可． 【详解】解：设溢水杯内部的底面半径为， 根据题意得：，即， 即解得：或（舍去）， ∴溢水杯内部的底面半径约为． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·北京·期中）如果一个棱长为的立方体的体积缩小为原来的倍，则新的立方体的棱长与的数量关系为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了立方根的应用；由题意得，开立方即可求解． 【详解】解：由题意得，即或； 故答案为：或． 2．（河南省焦作市武涉县部分学校2024-2025学年下学期期中质量检测八年级数学试卷）一切运动的物体都具有动能（单位：焦耳），其大小由物体的质量m（单位：千克）和运动速度v（单位：米/秒）决定，计算公式为．在2025年3月23日举行的全国马拉松锦标赛首站上，河南选手包揽了女子组冠亚军．若某长跑运动员在匀速跑步，她的质量是60千克，她某时的动能是1350焦耳，则该运动员此时的跑步速度为 米/秒．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查平方根的应用，根据公式列得方程，据此求解即可． 【详解】解：由题意可得， 解得或（舍去）， ∴该运动员此时的跑步速度为米/秒， 故答案为：． 【题型五 与平方根或立方根有关的规律探究题】 例题：（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）观察表格并回答问题，已知，则（    ） … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … A．0.0077 B．0.077 C．0.0245 D．0.245 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开方数的小数点每向左移动两位，那么被开方数的结果的小数点向左移动一位，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）观察下列规律并回答问题： ，… (1) ， ； (2)已知，若，用含x的代数式表示y，则 ； (3)当时，根据上述规律比较与的大小情况． 【答案】(1)， (2) (3)当或时，；当时，；当时， 【分析】本题考查了立方根、与立方根有关的规律探索，正确发现一般规律是解题关键． （1）根据已知可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位，由此即可得； （2）根据上述规律和可得，由此即可得； （3）根据立方根的性质可得，，再根据上述规律可得，，则、、和四种情况进行分析即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则立方根的小数点向右（或向左）移动1位， ∴，， 故答案为：，． （2）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：∵，， ∴由上述规律得：，． ①当时，，则此时； ②当时，； ③当时，，则此时； ④当时，； 综上，当或时，；当时，；当时，． 2．（24-25八年级下·北京·期中）先观察下列等式，再回答问题： ① ② ③ (1)根据上面等式提供的信息，请你写出式子化简后的值：______； (2)请你用含n（n为正整数）的式子表示上面各等式的规律：______（直接写出）； (3)对任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，请直接写出式子的值：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息计算即可； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解． 【详解】（1）解：根据题意得， 故答案为：； （2）解：根据题意得； 故答案为：； （3）解： 故答案为： 【题型六 算术平方根和立方根的综合应用】 例题：（24-25七年级下·河南信阳·阶段练习）下列结论正确的是（    ） A． B．的平方根是 C．若，则 D．64的立方根是 【答案】A 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握立方根、平方根、算术平方根的定义是解题的关键．根据立方根、平方根、算术平方根的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，故此选项结论正确，符合题意； B、没有平方根，故此选项结论不正确，不符合题意； C、若，则或，故此选项结论不正确，不符合题意； D、64的立方根是4，故此选项结论不正确，不符合题意； 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根． （1）根据立方根及算术平方根的定义即可求得，的值； （2）将，的值代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， ∴， 解得， ∵的算术平方根是3， ∴． 解得． ∴，； （2）解：∵，， ∴． ∴的平方根为． 2．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）已知的立方根是，的算术平方根是3． (1)求a，b的值； (2)若，且c是整数，求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查平方根，立方根，无理数的估算： （1）根据立方根和算术平方根的定义，进行求解即可； （2）夹逼法求出的值，进而求出的值，再利用平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 【题型七 无理数及其估算】 例题：（24-25七年级下·河南漯河·期中）在，，，，，，这6个数中，无理数共有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】此题主要考查了无理数，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：，， 无理数为：，共个， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·北京·期中）在实数，3.14159265，，中，是无理数的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，无理数的定义，根据无限不循环小数即为无理数进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则，3.14159265，都不是无限不循环小数，即都不是无理数，是是无理数， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·北京·期中）介于与之间的整数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 由即可求解． 【详解】解：∵， 即， 介于与之间的整数是2， 故答案为：2． 【题型八 无理数整数部分的有关计算】 例题：（24-25七年级下·山东济宁·期中）若的整数部分为，小数部分为，则的值是（   ） A．4－ B．－ C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估值，代数式计算等．根据题意可得，，继而可得本题答案． 【详解】解：∵，整数部分为，小数部分为， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·吉林·期中）已知的整数部分是1，则小数部分是；若的小数部分为，则 ． 【答案】 【分析】因为，则，可知的整数部分为3，则小数部分为， 本题考查了无理数整数、小数部分的相关问题，解题的关键是：求出无理数的取值范围，从而确定取值． 【详解】解：∵， ∴， ∴的整数部分是3， ∴的小数部分为：， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·河北张家口·期中）【阅读理解】 信息：任何一个无理数，帮介于两个相邻的整数之间，如，是因为； 信息：因为介于和之间，所以的整数部分是，小数部分可以表示为． 【问题解决】 (1)的整数部分是______，小数部分是______； (2)判断介于哪两个相邻的整数之间； (3)若，其中是整数，且，则的相反数为______； (4)已知的小数部分是，的小数部分是，且，求的值． 【答案】(1)， (2)和 (3) (4)或 【分析】本题考查了无理数的整数部分，无理数的估算，实数的性质，利用平方根解方程． （1）利用，得，即可求解； （2）因为得，即可求解； （3）利用，得出，利用，其中是整数，且，得出，，即可求解； （4）先求出，得，，可得，同理得，代入计算即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， ∴，即， 即在和之间； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴的相反数为， 故答案为：； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∵的小数部分是，的小数部分是， ∴，， ∵， ∴ ∴或， 则或． 【题型九 实数的分类】 例题：（24-25七年级下·重庆江津·期中）下列各数，，，，0，，，其中正有理数的个数为（    ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握以上知识是解题的关键． 实数包括有理数和无理数；整数和分数都属于有理数；无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比．若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环．找到有理数，即可确定正有理数的个数． 【详解】解：，，，，0，为有理数；为无理数； ∴，，，，为正有理数， 即正有理数的个数有个， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）把下列各数填入相应的括号里． ，…． (1)正实数：{                          ，…}； (2)负实数：{                           ，…}； (3)有理数：{                          ，…}； (4)无理数：{                           ，…}． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数． （1）根据正实数包括正无理数和正有理数解答即可； （2）根据负实数包括负无理数和负有理数解答即可； （3）根据有理数包括整数和分数解答即可； （4）根据无理数包括正无理数和负无理数解答即可． 【详解】（1）正实数：{，…}． 故答案为：； （2）负实数：{，…}， 故答案为：； （3）有理数：{，…} 故答案为：； （4）无理数：{，…}， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·吉林·期中）把下列各实数的序号填在相应的大括号内． ①，②，③0，④3.2121121112…… （相邻两个2之间依次增加一个1），⑤，⑥，⑦，⑧． 整数   {         ．．．}； 分数   {         ．．．}； 无理数 {         ．．．}． 【答案】②，③，⑥；⑦，⑧；①， ④，⑤ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．根据实数的分类解答即可． 【详解】解：，， 整数   { ② ， ③， ⑥，．．．}； 分数   { ⑦，⑧，．．．}； 无理数 { ①， ④ ， ⑤ ， ．．．} 故答案为：②，③，⑥；⑦，⑧；①， ④，⑤． 【题型十 实数与数轴】 例题：（2025·山东威海·一模）如图，数轴上点表示的数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，掌握数轴上点的特点是解题关键．观察数轴即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得，且， ∴数轴上点表示的数可能是， 故选：B． 【变式训练】 1．（2025·北京平谷·一模）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据数轴上点位置判定式子符号，数形结合是解题的关键．由数轴图可知，，，然后逐项判断即可． 【详解】解：由数轴图可知，，， ，，， 观察四个选项，选项C正确， 故选：C． 2．（24-25七年级下·北京·期中）如图，数轴上有、、、四个点，则（   ） A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是 C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，立方根，无理数的估算等知识，正确估算无理数的大小是解题的关键． 先估算出选项中无理数的值，然后结合数轴分析即可求解． 【详解】解：A．，点表示的数大于，故选项说法错误，不符合题意； B． ，点表示的数在1和2之间，故选项说法正确，符合题意； C．，点表示的数在和3之间，故选项说法错误，不符合题意； D．，点表示的数大于4，故选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 【题型十一 实数的混合运算】 例题：（24-25七年级下·北京·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的运算，涉及到立方根和算术平方根的计算以及去绝对值，熟练掌握相关定义是解题的关键．首先计算立方根和平方根的值，然后处理绝对值，最后合并结果． 【详解】解： ． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后计算加减法即可得到答案； （2）先计算算术平方根和立方根，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25七年级下·广东江门·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查实数的混合，利用求平方根解方程，熟练掌握实数的混合运算的法则和会求一个数的平方根是解题的关键． （1）先计算乘方与开方，求绝对值，再计算加减即可． （2）根据平方根的意义，由得，再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：， ， 或， 或． 【题型十二 新情境下的实数运算】 例题：（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图是一个数值转换器，当输入为8时，输出的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，先把输入计算出8的立方根为2，由于2是有理数，则把作为新数输入，再求出2开立方的结果，若结果为有理数，则重复上述过程，若结果为无理数，则把结果输出即可． 【详解】解：第一次输入8时，是有理数， 第二次输入2时，是无理数，则输出的结果为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·云南昆明·期中）现对实数a，b定义一种运算：．则等于（   ） A． B． C．2 D．5 【答案】A 【分析】此题考查了算术平方根，立方根和新定义实数运算，先计算，，再依据新定义规定的运算计算可得． 【详解】解： ． 故选：A． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期中）设、为有理数，定义一种新的运算．． 例如：． (1)计算：． (2)若，求的值． 【答案】(1)15 (2)或 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，熟练掌握新定义，有理数混合运算，平方根，是解题的关键． （1）根据题目所给的新定义进行运算即可； （2）根据题目所给的新定义建立方程，求平方根即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：∵， 且， ∴， 解得或． 一、单选题 1．（24-25八年级下·全国·单元测试）实数a表示的点在数轴上的位置如图，化简的结果是（   ）． A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可判断出，据此计算算术平方根和绝对值，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知， ∴， ∴ ， 故选：C． 2．（24-25七年级下·广东江门·期中）在和之间的整数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的估算，根据，得，根据，得，所以在和之间的整数有，进行作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在和之间的整数有，即有4个整数 故选：D 3．（24-25七年级下·北京·期中）下列说法正确的是（    ） A．绝对值是的数是5 B．的相反数是 C．的绝对值是 D．的相反数是 【答案】C 【分析】本题考查了实数的性质：实数的绝对值与相反数，与有理数的绝对值、相反数的意义相同；根据绝对值与相反数的意义逐项解答即可． 【详解】解：A、绝对值是的数是，故说法错误； B、的相反数是，故说法错误； C、的绝对值是，故说法正确； D、的相反数是，故说法错误； 故选：C． 4．（24-25七年级下·山东日照·期中）下列实数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 根据无理数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是有限小数不是无理数，故此选项不符合题意； B、是整数不是无理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，故此选项符合题意； D、是分数，属有理数不是无理数，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．（24-25七年级下·北京·期中）如图，用四个长和宽分别为，的长方形拼成面积是64的大正方形，中间围成的小正方形的面积是，下面结论中正确的是（   ） A．若，则， B．若，则， C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的应用，二元一次方程组的应用， 由图得出大正方形的边长是，中间围成的小正方形的边长是，根据正方形的面积可得，，据此根据面积求出a、b，即可判断A、B；根据a、b值求出S，可判断C、D． 【详解】解：∵大正方形的面积是64， ∴ 小正方形的面积 若，则， 则 解得：，，故A选项错误， 若，则， 则 解得：，，故B选项错误， 若，，则，故C选项正确； 若，，则，故D选项错误； 故选：C． 二、填空题 6．（24-25七年级下·四川凉山·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，是的整数部分，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平方根，无理数的估算，根据一个正数的两个平方根互为相反数列式计算求出a的值，再根据无理数的估算求出b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∴． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若实数x，y满足，则的立方根为 ． 【答案】4 【分析】此题主要考查了算术平方根以及绝对值的非负性，求立方根，正确把握相关定义是解题的关键． 利用绝对值的性质以及二次根式的性质得出x，y的值，进而利用立方根的定义得出答案． 【详解】解：∵， ，， ，， ∴，64的立方根是4， 故答案为：4． 8．（24-25七年级下·北京·期中）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，算术平方根的定义，先根据非负数的性质求出a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25七年级下·山东日照·期中）（1）的算术平方根是 ；（2）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，实数的大小比较，熟知算术平方根的定义是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义即可解答； （2）将转化为，将转化为，再根据实数的大小比较方法比较即可． 【详解】解：（1）， 则的算术平方根是， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（广东省惠州市仲恺区2024-2025学年七年级下学期期中数学测试）在实数1，0，，中，最小的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，负数的绝对值越大的数反而越小，据此作答即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 则在实数1，0，，中，最小的是， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）把下列各数的序号分别填入相应的大括号内： ①，②0，③，④，⑤． (1)整数集合{                  ……}； (2)分数集合{                  ……}； (3)无理数集合{                  ……}． 【答案】(1)②，④； (2)①； (3)③，⑤． 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数． （1）根据整数的定义求解即可； （2）根据分数的定义求解即可； （3）根据无理数的定义求解即可． 【详解】（1）④， 整数集合{ ②，④，……}． 故答案为：②，④； （2）分数集合{①，……}． 故答案为：①； （3）无理数集合{③，⑤，……}． 故答案为：③，⑤． 12．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知的算术平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根、平方根的定义，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）先根据算术平方根、立方根的定义列出关于，的方程，解方程，即可求解； （2）将、代入，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是，的立方根是， ， 解得:． （2）解：当时， ，                       所以的平方根是． 13．（广东省惠州市仲恺区2024-2025学年七年级下学期期中数学测试）（1）计算：； （2）求x的值： 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了立方根、算术平方根，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简立方根、算术平方根，乘方，绝对值，再运算加减，即可作答． （2）运用立方根进行解方程，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2）解：∴， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·四川自贡·期中）阅读材料，完成下列任务： 因为无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来比如：，等，而常用的“…”或者“”的表示方法都不够百分百准确． 材料一：，即，． 的整数部分为1，小数部分为． 材料二：我们还可以用以下方法求一个无理数的近似值． 我们知道面积是2的正方形的边长是，易知，因此可设可画出如图示意图． 1 x x 1 1 解：由图中面积计算，， ，． 是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， 得方程，解得，即． 解决问题： (1)利用材料一中的方法，若x是的小数部分，y是的整数部分，求的值． (2)利用材料二中的方法，借助面积为5的正方形探究的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程） 【答案】(1) (2)图见解析， 【分析】本题考查了无理数的估算，解题关键是准确理解题目给出的方法，熟练进行计算． （1）根据材料一中的方法求解即可； （2）利用材料二中的方法画出图形，写出过程即可． 【详解】（1）解：∵，即， ∴，， ∴的整数部分为5，的整数部分为2，即， ∴的小数部分为，即． ∴； （2）解：∵面积是5的正方形的边长是，， ∴可设 画出示意图如图所示 由图中面积计算， ∵， ∴， ∵x是的小数部分，小数部分的平方很小，直接省略， ∴得方程，解得，即． 15．（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（） (1)当输入的x为时，输出的y值是______； (2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______； (3)若输出的y是，求x的负整数值． 【答案】(1)； (2)1，2，3； (3)或． 【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键． （1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可； （3）由是逆推的值，进而求得的值即可． 【详解】（1）解：当时，，，，是无理数， ∴ 当输入的为时，输出的值是； 故答案为：； （2）∵ 0和1的算术平方根是它本身， ∴， 解得， ， 解得或， ∴ 所有满足要求的的值为1，2，3； 故答案为：1，2，3； （3）若第1次运算是， ∴， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为； 若第2次运算是， ∴，， ∴， 解得或， ∵ 为负整数， ∴ 输入的值为， ∴， ∴的负整数值均为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$