精品解析：重庆渝北中学2025-2026学年下期初三第一学月质量监测 数学试题

渝北中学教育集团2025-2026学年下期初三第一学月质量监测 数学试题 （全卷共四个大题，总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的班级、姓名和考号填写清楚.2．请将所有答案写在答题卡上，不得在试卷上直接作答.3．选择题部分请按题号用铅笔规范填涂；非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色签字笔书写.4．作图（包括作辅助线）请一律用铅笔完成． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列二次根式不为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，理解最简二次根式的定义是解题的关键．最简二次根式要求被开方数不含分母且不含平方因子. 【详解】解：， ∴ 不是最简二次根式． 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂相乘法则、幂的乘方运算法则、单项式乘以单项式法则以及完全平方公式，逐一验证每个选项的正确性即可． 【详解】解：A.，原计算错误，不符合题意； B.，原计算错误，不符合题意； C.，计算正确，符合题意； D. ，原计算错误，不符合题意． 故选：C． 3. 已知点在反比例函数的图象上，则m的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握知识点是解题的关键． 将点(m，2)代入反比例函数解析式，解方程求m． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 故选：B． 4. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴与的面积比为：， 故选：D． 5. 如图，是⊙的切线，为切点，连接并延长交⊙于点，连接 ．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，与⊙相切于点，得到，根据三角形内角和求出，再根据三角形外角的性质，求出答案． 【详解】解：连接，如图所示： 与⊙相切于点， ， ， ， ， ， ． 6. 小一同学用大小相同的围棋子按如图所示的规律摆图案，其中第①个图案中有5颗围棋子，第②个图案中有9颗围棋子，第③个图案中有13颗围棋子，第④个图案中有17颗围棋子，…，按此规律摆放下去，第⑧个图案中围棋子的个数是（ ） A. 29 B. 31 C. 33 D. 35 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现棋子个数的变化规律是解题的关键． 根据所给图形中棋子的个数，发现后一个图形比前一个图形多4个棋子，据此发现规律即可解决问题． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个图案中，棋子的数量为； 第2个图案中，棋子的数量为； 第3个图案中，棋子的数量为； 所以第个图案中，棋子的数量为个． 当时， （个， 即第8个图案中，棋子的数量为33个． 故选：C． 7. 换季时节流感高发，某社区发现一例流感患者，经过两轮传播后，总感染人数达到 81 人．设每一轮传播中每个患者平均传染x 人，则可列方程为 （ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意并抽象成数学模型是解题关键． 根据流感传播模型，初始患者平均每轮会传染x人，第一轮后总感染人；第二轮中，第一轮的个患者各传染x人，新增人，相加得到结果． 【详解】解：设初始患者为1人， ∵ 第一轮传播，每个患者传染x人， ∴ 第一轮后总感染人数为， ∵ 第二轮传播，第一轮的个患者各传染x人， ∴ 第二轮新增感染人数为， ∴ 两轮后总感染人数为， 又∵ 总感染人数为81， ∴ ． 故选：D． 8. 若关于 的分式方程有增根，则的值是（ ） A. 0 B. 2 C. 2或3 D. 0或2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法及增根是解题的关键．有增根，即化为整式方程后解出的根会造成原方程分母为零．先解分式方程，再确定分母为零的 值，再代入整式方程即可求出． 【详解】解：原方程：， 两边乘得：， 解得：， 原方程分母为零时， 或 . 当增根 时，代入 得：，解得， 当增根 时，代入 得：，解得， 故选C． 9. 如图，在边长为2的正方形中，E在对角线 上，且，连接并延长，交边于H点，过D作于F，连接．G为 上一点，且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理；证明，则可得，证明，可得，设，则，利用解直角三角形和勾股定理即可得到和，即可解答，熟练运用相似三角形判定和性质是解题的关键． 【详解】解： 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， ， ， 则， ， ， ， 故选：A． 10. 已知整式，，其中，和，均为自然数，，，，为正整数，且满足，．则下列说法： 当时，若，则； 不存在任何一个，使得； 当，时，则一共有种不同的结果． 其中正确的个数是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了多项式的求值，理解多项式求值的规则是解题的关键，本题可根据已知条件，结合多项式的次数、系数等相关知识，对每个说法逐一进行分析判断．根据由得，即，结合，为正整数，可得为正奇数，从而得到且，得到、的值，进而求得的值，从而判定说法的正确性；通过反证法判断，先假设存在，通过整理，比较系数的关系，从而判定说法的正确性；当，时，得到、的代数式，根据代数式系数之间的数量关系，得到、的可能结果，从而得到的可能情况，排除重复项，从而得到的可能结果数，从而判定说法的正确性． 【详解】解：①当时， ，， 由得，即， ，为正整数， 为正奇数， 且， ，， ， 故正确． 假设存在，使得，则， 此时，， 根据题意有，， 两式相加得， 而，比较系数可得：，，， 三式相加得， ，产生矛盾， 假设不成立， 故正确． 当，时， ，满足，共有种可能， ，满足，共有种可能， ，组合共有种可能情况， 经检验，其中有 种重复情况，故不同的结果共有种， 故正确． 综上，正确的说法有个． 故选：D． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 染色体是细胞核中遗传物质的载体，由于易被碱性染料染成深色而命名．据报道，号染色体共有超过个碱基对，将用科学记数法可表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了大数的科学记数法．熟练掌握科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数是解题的关键．确定大数的的方法为：先确定大数的位数，则，即可解决． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏（红色加蓝色配成紫色）：如图，下面是两个可以自由转动的A、B转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．游戏者同时转动A、B两个转盘，配成紫色的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键．先列出表格得到所有等可能性的结果数， 再找到可配成紫色的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：根据题意，可列表如下， 转盘B 转盘A 黄 蓝 绿 红 （红，黄） （红，蓝） （红，绿） 绿 （绿，黄） （绿，蓝） （绿，绿） 由表格可知一共有6种等可能性的结果数，其中可配成紫色的结果数有1种， ∴配成紫色的概率是． 故答案为：． 13. 已知，n是m的整数部分，则n的值为________． 【答案】 5 【解析】 【分析】本题考查了无理数整数部分的计算，二次根式的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先根据二次根式的性质得到，再把这个无理数夹在相邻的两个整数之间，则较小的整数就是这个数的整数部分，据此即可解答． 【详解】解：∵， ，，， ∴m的整数部分为 5，即． 故答案为：5． 14. 若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】先由绝对值的非负性得到，，则，；再对进行分类讨论，去绝对值，解一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，； 当时，则，则， ∵， ∴， 当，即时，， 解得， ∴，符合题意， ∴； 当，即，则，该方程无解； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，该方程无解， ∴综上：． 15. 如图，以为直径的与 相切于点，连接，以为边作菱形，点在边 上，连接 ， ， 与 交于点 ，与交于点．若，．则______，______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】先利用菱形的性质得到，，再根据切线的性质得到，所以，于是利用勾股定理可计算出，则， ，接着证明，利用相似比求出， 所以 ，然后证明，则利用相似三角形的性质可求出 ，然后计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵以为直径的与 相切于点， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∴ 即， 解得， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质和圆周角定理，掌握知识点的应用解题的关键． 16. 对于一个四位正整数，它的个位数字比千位数字少5，十位数字比百位数字少2，则称为“哈罗数”，如：四位数6421，，，是“哈罗数；四位数5204，，不是“哈罗数”，则最小的“哈罗数”为______．一个“哈罗数”是，记，若能被18整除，则所有满足条件的的和为_______． 【答案】 ①. 5200 ②. 12171 【解析】 【分析】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键． 根据新定义可得个位和十位上的数均为0时，“哈罗数”最小，此时千位上的数字为5，百位上数为2，可得最小的“哈罗数”；根据题意可得，，，再根据能被18整除，即可得到x，y的值，即可求解． 【详解】解：∵“哈罗数”的个位数字比千位数字少5，十位数字比百位数字少2， ∴当个位和十位上的数最小时，“哈罗数”最小， 即个位和十位上的数均为0时，“哈罗数”最小，此时千位上的数字为5，百位上数为2， ∴最小的“哈罗数”为5200； ∵“哈罗数”， ∴，，，且a，b，x，y均为非负整数， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∵能被18整除， ∴，此时M为5640； 当时，， ∵能被18整除， ∴，此时M为6531； 当时，， ∵能被18整除，此时x的值均不符合题意； 当时，， ∵能被18整除，此时x的值均不符合题意； 当时，， ∵能被18整除，此时x的值均不符合题意； 综上所述，所有满足条件的的和为． 故答案为：5200；12171． 三、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线)，将解答过程书写在答题卡中对应的位置上 17. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①， 去括号得， 移项，合并同类项得； 解不等式②， 去分母得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∴原不等式组的解集为． 18. 学习过程中，小胡发现：四边形是平行四边形，平分交于点 ，若过点作的垂线，交于点，交于点，连接，则必有四边形为菱形．为验证此规律的正确性，小胡思路是：在下图中，过点作的垂线，再通过证明全等得出结论．请完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规在下图的基础上过点作的垂线，交于点，交于点，再连接．（只保留作图痕迹） （2）求证：四边形为菱形请补全下列过程． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴ ① ， ∴ ② ， ∴． ∵， ∴ ∴在和中， ∴（）， ∴ ③ ． ∴． 又∵， ∴ ④ 又∵， ∴四边形是菱形． 【答案】（1） 解：如图所示， （2）①∠；②；③；④四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作垂线，作于点，交于点即可； （2）先证，从而得．进而证四边形为平行四边形．最后再由，即可证明结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了尺规作垂线、角平分线的定义、全等三角形的判定及性质、平行四边形的判定以及菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 19. 学校开展了环保知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A.；B.；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：82，83，84，84，85，86，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：60，61，62，70，71，72，73，80，82，83，85，86，87，87，91，92，95，96，98，99． 七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81.5 81.5 中位数 a 84 众数 84 b 七年级所抽学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______， ______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生环保知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生600人，八年级有学生520人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少? 【答案】（1）83.5，87，10 （2）该校八年级学生环保知识竞赛的成绩较好，理由见详解 （3）306 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图，中位数、众数、平均数，样本估计总体，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． （1）利用题意及扇形统计图即可求出七年级各组人数，再利用中位数定义和D组数据即可求出和的值，再利用众数定义即可求出的值； （2）根据平均数、中位数及众数分析即可得出结果； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，七年级20名学生竞赛成绩在A组中的数据有（人）， 在B组中的数据有7（人）， 在C组中的数据有（人）， 则在D组中的数据有（人）， ∵七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到大排列后的第10和11个数据，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是83，84， ∴， ∵八年级20名学生竞赛成绩中出现次数最多的是87，共计2次， ∴， ∵七年级20名学生竞赛成绩在D组中的数据共2个， ∴， ∴， 故答案为：83.5，87，10； 【小问2详解】 解：该校八年级学生环保知识竞赛的成绩较好，理由： 因为该校七、八年级学生环保知识竞赛的成绩的平均数相同都是81.5，但八年级竞赛的成绩的中位数大于七年级竞赛的成绩的中位数，且八年级竞赛的成绩的众数大于七年级竞赛的成绩的众数， 所以该校八年级学生环保知识竞赛的成绩较好； 【小问3详解】 解：（人）， 即估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是306人． 20. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简原式，再把化简后的x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 21. 某手工商店为响应“绿色生活”倡议，计划为社区市集制作环保袋，推广环保理念．现将员工按熟练程度分为两个组，高级组和初级组每天一共可以制作个环保袋，高级组3天制作的环保袋数量比初级组4天制作的环保袋数量多100个． （1）请问高级组和初级组每天制作的环保袋数量分别是多少个？ （2）由于环保袋销量很好，市集供不应求，商店为两组购进新设备以提高效率．升级后，初级组每天比原来多制作个环保袋，而高级组每天比原来多制作个环保袋．若升级后，高级组制作3000个环保袋所用天数与初级组制作1200个环保袋所用天数相同，求的值． 【答案】（1）高级组每天制作100个环保袋，初级组每天制作50个环保袋 （2）50 【解析】 【分析】（1）设高级组每天制作 个环保袋，初级组每天制作个环保袋，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）根据题意升级后，初级组每天制作个环保袋，高级组每天制作个环保袋，进而根据所用天数相同，列出分式方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设高级组每天制作 个环保袋，初级组每天制作个环保袋 根据题意， 解得： 答：高级组每天制作100个环保袋，初级组每天制作50个环保袋 【小问2详解】 解：升级后，初级组每天制作个环保袋，高级组每天制作个环保袋 解得： 经检验，是方程的解，且符合题意， ∴的值为． 22. 如图1，在平行四边形中，，对角线、 交于点O，，，点P沿折线方向运动，运动路程为x，记的面积为，的面积与点P运动的路程之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1）， （2） 画图如下： 当时，有最大值8（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）过点D作交延长线于点H，证明出四边形是正方形，得到，然后分两种情况讨论，分别表示即可； （2）列表，描点，然后画出图象，然后根据图象写出性质即可； （3）由图象求解即可． 【小问1详解】 解：过点D作交延长线于点H ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∵， ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ 当时，； 当时，； ∴； ∵的面积 ∴； 【小问2详解】 解：∵， 列表如下： 2 4 6 4 8 0 4 2 画图如下： 由图象得，当时，有最大值8（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：由图象得，当时x的取值范围为． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质和判定，一次函数和反比例函数的图象和性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 寒假期间，小渝和小北打算奔赴冰雪浓郁的哈尔滨．如图是四个必打卡的景点，该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线：，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，在的北偏东方向，也在的北偏西方向．（参考数据：， （1）求北环线的长度（结果保留根号）； （2）小渝选择走北环线，小北选择走南环线，两人同时从景点出发，小渝在途中发现小北的照相机落在自己背包里了，于是小渝决定到之后前往与小北汇合，已知小渝的步行速度与小北的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求南环线的长度．（结果保留小数点后一位） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点 ，可得和 的度数，进而求出的度数，再根据解直角三角形求出、 、、 的长度，从而求得北环线的长度即可； （2）过点C作的延长线于点 ，可得、，设小渝的步行速度为，小北的步行速度为，两人步行时间为小时，再根据解直角三角形求出、、的长度，利用小渝和小北两人同时到达景点C，则步行时间相等，列出方程，求得 和的关系，再利用勾股定理得到，解出的长度，从而得出北环线的长度即可． 【小问1详解】 解：过点作于点 ，如图： 、、 ， ，， ，， ， 答：北环线的长度为； 【小问2详解】 解：过点C作的延长线于点 ，如图所示： 、， 设小渝的步行速度为，小北的步行速度为，两人步行时间为小时， ， ，， ， 在中，由勾股定理得，， ∵小渝与小北两人同时到达景点C， ∴， 整理得，， ， 解得， 因此南环线的长度为 ， 答：南环线的长度为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式： （2）点是直线 下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点 ，当的最大值时，对称轴上是否存在点 使得值最大，若存在，求的最大值； （3）将抛物线沿射线 方向平移个单位长度，在取得最大值的条件下，点 为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）如图，延长交 轴于，过作轴于，求解，可得，证明，设，，，再建立二次函数求解出点的坐标；连接，当三点共线时，取到最大值，最大值为的长，即可求解； （3）由抛物线沿射线 方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，可得新的抛物线为：，，如图，当在轴的左侧时，过作轴于，证明，可得，证明，如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于，同理可得：，再进一步结合三角函数建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与 轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长交 轴于，过作轴于， ∵当时， 解得：，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 设 为， ∴，解得：， ∴直线 为：， 设， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴ ， 当时，取得最大值，最大值为； 此时； 连接， ∴， ∵， ∴当三点共线时，取得最大值，最大值为的长， ∵， ∴的最大值为； 【小问3详解】 解：∵抛物线沿射线 方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位， ∴新的抛物线为：，， 如图，当在轴的左侧时，过作轴于， ∵， 同理可得：直线为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或（舍去） ∴； 如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于， 同理可得：， 设，则， 同理可得：， ∴或（舍去）， ∴， 综上，点的坐标为或． 25. 在Rt中，，，点为边上一动点． （1）如图1，若，，求 的长； （2）如图2，以BD为直角边作Rt，使得，连接，点 为的中点，连接，请猜想之间的数量关系，并说明理由； （3）若，在Rt内有一点，且，求的最小值； 【答案】（1） （2） 解：， 理由：连接并延长，交于G， ∵， ∴， 又，， ∴， ∴，， 又， ∴，， 又，， ∴， ∴，， ∵F是中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ； （3） 【解析】 【分析】（1）过B作于E，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，根据三角形外角的性质求出，在、中，根据正切的定义可求出、，结合可求出，最后在中，根据余弦的定义求解即可； （2）连接并延长，交于G，，得出，，结合，得出，，证明，得出，，根据三角形中位线定理可得出，证明，得出，在中，根据勾股定理可得出，即可得出结论； （3）在 取点Q，使，连接、，过Q作于G，证明，可得出，则，故当A、P、Q三点共线时，取最小值为，在中，根据正弦、余弦的定义求出，，根据勾股定理求出，则，然后根据勾股定理求出，即可求解． 【小问1详解】 解：过B作于E， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在 取点Q，使，连接、，过Q作于G， ∵，， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、Q三点共线时，取最小值为， 在中，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，明确题意，添加合适的辅助线，构造全等三角形和相似三角形是截图的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渝北中学教育集团2025-2026学年下期初三第一学月质量监测 数学试题 （全卷共四个大题，总分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的班级、姓名和考号填写清楚.2．请将所有答案写在答题卡上，不得在试卷上直接作答.3．选择题部分请按题号用铅笔规范填涂；非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色签字笔书写.4．作图（包括作辅助线）请一律用铅笔完成． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列二次根式不为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在反比例函数的图象上，则m的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6 4. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（　　） A. B. C. D. 5. 如图， 是⊙的切线，为切点，连接并延长交⊙于点，连接 ．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 小一同学用大小相同的围棋子按如图所示的规律摆图案，其中第①个图案中有5颗围棋子，第②个图案中有9颗围棋子，第③个图案中有13颗围棋子，第④个图案中有17颗围棋子，…，按此规律摆放下去，第⑧个图案中围棋子的个数是（ ） A. 29 B. 31 C. 33 D. 35 7. 换季时节流感高发，某社区发现一例流感患者，经过两轮传播后，总感染人数达到 81 人．设每一轮传播中每个患者平均传染x 人，则可列方程为 （ ）． A. B. C. D. 8. 若关于的分式方程有增根，则的值是（ ） A. 0 B. 2 C. 2或3 D. 0或2 9. 如图，在边长为2的正方形 中，E在对角线上，且，连接并延长，交 边于H点，过D作于F，连接．G为上一点，且，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 已知整式，，其中，和，均为自然数，，，，为正整数，且满足，．则下列说法： 当时，若，则； 不存在任何一个，使得； 当，时，则一共有种不同的结果． 其中正确的个数是（    ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应的横线上． 11. 染色体是细胞核中遗传物质的载体，由于易被碱性染料染成深色而命名．据报道，号染色体共有超过个碱基对，将用科学记数法可表示为__________． 12. 小颖为学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏（红色加蓝色配成紫色）：如图，下面是两个可以自由转动的A、B转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．游戏者同时转动A、B两个转盘，配成紫色的概率为______． 13. 已知，n是m的整数部分，则n的值为________． 14. 若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 15. 如图，以 为直径的 与 相切于点，连接，以为边作菱形，点在边上，连接， ，与 交于点，与 交于点．若，．则______，______． 16. 对于一个四位正整数，它的个位数字比千位数字少5，十位数字比百位数字少2，则称为“哈罗数”，如：四位数6421，，，是“哈罗数；四位数5204，，不是“哈罗数”，则最小的“哈罗数”为______．一个“哈罗数”是，记，若能被18整除，则所有满足条件的的和为_______． 三、解答题：（本大题共2小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线)，将解答过程书写在答题卡中对应的位置上 17. 解不等式组 18. 学习过程中，小胡发现：四边形是平行四边形，平分交于点，若过点作的垂线，交于点，交于点，连接，则必有四边形为菱形．为验证此规律的正确性，小胡思路是：在下图中，过点作的垂线，再通过证明全等得出结论．请完成以下作图与填空： （1）用直尺和圆规在下图的基础上过点作的垂线，交于点，交于点，再连接．（只保留作图痕迹） （2）求证：四边形为菱形请补全下列过程． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∴， ∵平分， ∴ ① ， ∴ ② ， ∴． ∵， ∴ ∴在和中， ∴（）， ∴ ③ ． ∴． 又∵， ∴ ④ 又∵， ∴四边形是菱形． 19. 学校开展了环保知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A.；B.；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：82，83，84，84，85，86，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：60，61，62，70，71，72，73，80，82，83，85，86，87，87，91，92，95，96，98，99． 七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81.5 81.5 中位数 a 84 众数 84 b 七年级所抽学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生环保知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生600人，八年级有学生520人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少? 20. 先化简，再求值： ，其中． 21. 某手工商店为响应“绿色生活”倡议，计划为社区市集制作环保袋，推广环保理念．现将员工按熟练程度分为两个组，高级组和初级组每天一共可以制作个环保袋，高级组3天制作的环保袋数量比初级组4天制作的环保袋数量多100个． （1）请问高级组和初级组每天制作的环保袋数量分别是多少个？ （2）由于环保袋销量很好，市集供不应求，商店为两组购进新设备以提高效率．升级后，初级组每天比原来多制作个环保袋，而高级组每天比原来多制作个环保袋．若升级后，高级组制作3000个环保袋所用天数与初级组制作1200个环保袋所用天数相同，求的值． 22. 如图1，在平行四边形 中，，对角线、交于点O，，，点P沿折线方向运动，运动路程为x，记的面积为，的面积与点P运动的路程之比为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23. 寒假期间，小渝和小北打算奔赴冰雪浓郁的哈尔滨．如图是四个必打卡的景点，该地徒步旅游路线分为北环线：和南环线：，其中在的正东方向处，在的南偏东方向，在的北偏东方向，也在的北偏西方向．（参考数据：， （1）求北环线的长度（结果保留根号）； （2）小渝选择走北环线，小北选择走南环线，两人同时从景点出发，小渝在途中发现小北的照相机落在自己背包里了，于是小渝决定到之后前往与小北汇合，已知小渝的步行速度与小北的步行速度之比为，结果两人同时到达景点（忽略途中停留打卡时间），求南环线的长度．（结果保留小数点后一位） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式： （2）点是直线 下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点 ，当的最大值时，对称轴上是否存在点使得值最大，若存在，求的最大值； （3）将抛物线沿射线 方向平移个单位长度，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在Rt中，，，点为边上一动点． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，以BD为直角边作Rt，使得，连接，点为的中点，连接，请猜想之间的数量关系，并说明理由； （3）若，在Rt内有一点，且，求的最小值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $