精品解析：山东省济南市历城区济南稼轩学校2022-2023学年下学期3月份学情调研九年级数学试题

山东省济南市历城区2022-2023济南稼轩学校45级初三数学3月份学情调研 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. ﹣8的绝对值是（　　） A. B. 8 C. ﹣8 D. ±8 2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 5G应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变，截至2021年底，全省5G终端用户达1397.6万户，数据13 976 000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线分别交于点，点在直线上，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出来的，这些图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如果，那么代数式的值为(　　) A. 1 B. -1 C. 5 D. -5 8. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 已知一次函数的图象如图所示，则与的图象为（ ） A. B. C. D. 10. 已知A、B两点的坐标分别为、，线段上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于、两点．若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 因式分解：a2﹣6a+9=_____． 12. 大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的苏康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为________． 13. 实数，是一元二次方程的两个根，则多项式的值为____． 14. 六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________． 15. 魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”，证明了勾股定理．若图中BF＝1，CF＝2，则AE的长为__________． 16. 如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，的延长线交边于点G，交边于点H．，，当点H为三等分点时，的长为 _____________ 三、解答题：（本大题共10个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 18. 解不等式组：，并写出它的正整数解． 19. 如图，E，F分别是的边AB，CD上的点．已知，求证：． 20. 在“双减”政策实施两个月后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“‘双减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查（以下将“参加校外学科补习班”简称“报班”），根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表1和统计图1： 整理描述 表1：“双减”前后报班情况统计表（第一组） （1）根据表1，m的值为__________，的值为__________； （2）分析处理：请你汇总表1和图1中的数据，求出“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比； （3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图2）．请依据以上图表中的信息回答以下问题： ①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为__________，“双减”后学生报班个数的众数为__________； ②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括）． 21. 圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为4米． （1）求∠BAD的度数． （2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈） 22. 如图，在中，．以AB为直径的与线段BC交于点D，过点D作，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P． （1）求证：直线PE是的切线； （2）若的半径为6，，求CE的长． 23. 为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液． （1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？ （2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元/桶，15元/桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？ 24. 在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标为A(0，0)，B(6，0)，C(6，8)，D(0，8)，AC，BD交于点E． （1）如图①，双曲线过点E，直接写出点E的坐标和双曲线的表达式； （2）如图②，双曲线与BC，CD分别交于点M，N，点C关于MN的对称点C′在y轴上．求证△CMN∽△CBD，并求点C′的坐标； （3）如图③，将矩形ABCD向右平移m(m＞0)个单位长度，使过点E的双曲线与AD交于点P．当△AEP为等腰三角形时，求m的值． 25. 如图1，在中，于点D，在DA上取点E，使，连接BE、CE． （1）直接写出CE与AB的位置关系； （2）如图2，将绕点D旋转，得到（点，分别与点B，E对应），连接，在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由； （3）如图3，当绕点D顺时针旋转30°时，射线与AD、分别交于点G、F，若，求的长． 26. 如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标； （3）P为抛物线上一点，连接，过点P作交抛物线对称轴于点Q，当时，请直接写出点P的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省济南市历城区2022-2023济南稼轩学校45级初三数学3月份学情调研 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. ﹣8的绝对值是（　　） A. B. 8 C. ﹣8 D. ±8 【答案】B 【解析】 【分析】正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：∵﹣8是负数，﹣8的相反数是8 ∴﹣8的绝对值是8． 故选B． 【点睛】本题考查绝对值的定义，理解绝对值的意义是解题的关键． 2. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状． 【详解】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆锥． 故选：C． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为锥体． 3. 5G应用在福建省全面铺开，助力千行百业迎“智”变，截至2021年底，全省5G终端用户达1397.6万户，数据13 976 000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在科学记数法中，一个数被写成一个1与10之间的实数（尾数）与一个10的幂的积． 【详解】在科学记数法中，一个数被写成一个1与10之间的实数（尾数）与一个10的幂的积 A选项13976不是一个1与10之间的实数 B选项1397.6不是一个1与10之间的实数 C选项1.3976是一个1与10之间的实数，且10的幂为7，与题意相符合 D选项0.13976不是一个1与10之间的实数． 故选：C． 【点睛】本题考查科学记数法，解题的关键是理解和掌握科学记数法的相关知识． 4. 如图，直线，直线分别交于点，点在直线上，，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得∠CAD=∠1=130°，再根据AB⊥AC，可得∠BAC=90°，即可求解． 【详解】解：因为a∥b， 所以∠1=∠CAD=130°， 因为AB⊥AC， 所以∠BAC=90°， 所以∠2=∠CAD-∠BAC=130°-90°=40°． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是平行线与垂线的性质，解题关键是掌握两直线平行，内错角相等． 5. 下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出来的，这些图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形及轴对称图形的概念即可解答． 【详解】选项A，是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； 选项B，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； 选项C，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； 选项D，不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了中心对称图形及轴对称图形的概念，熟练运用中心对称图形及轴对称图形的概念是解决问题的关键． 6. 实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴上的点的特征即可判断． 【详解】解：点a在2的右边，故a>2，故A选项错误； 点b在1的右边，故b>1，故B选项错误； b在a的右边，故b>a，故C选项错误； 由数轴得：2<a<1.5，则1.5<a<2，1<b<1.5，则，故D选项正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键． 7. 如果，那么代数式的值为(　　) A. 1 B. -1 C. 5 D. -5 【答案】C 【解析】 【分析】可化简为，即可得出答案． 【详解】 ∵ ∴原式=5 故选：C 【点睛】本题考查化简求值，解题的关键在于因式分解简化计算. 8. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界普为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将“立春”、“立夏”、“秋分”、“大暑”的图片分别记为A、B、C、D．根据题意，列表如下： A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“立春”和“立夏”的结果有2种， 故其概率为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 9. 已知一次函数的图象如图所示，则与的图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，从而得到一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象位于第一、三象限内，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，反比例函数的图象位于第一、三象限内． 故选：A 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键． 10. 已知A、B两点的坐标分别为、，线段上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于、两点．若，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意画出函数的图象，再结合图象建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：由题意得：线段（除外）位于第四象限， 过点且平行轴的直线在轴的下方， 抛物线的顶点坐标为，此顶点位于第一象限， ， 画出函数图象如下： 结合图象可知，若，则当时，二次函数的函数值；当时，二次函数的函数值， 即，解得， 又， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与一元一次不等式组，熟练掌握二次函数的图象与性质，以及图象法是解题关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 11. 因式分解：a2﹣6a+9=_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：直接运用完全平方公式分解即可.a2-6a+9=（a-3）2. 考点：因式分解. 12. 大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的苏康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为________． 【答案】2.4 【解析】 【分析】求出正方形二维码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形面积得60%计算即可； 【详解】∵正方形的二维码的边长为2cm， ∴正方形二维码的面积为， ∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， ∴黑色部分的面积占正方形二维码面积得60%， ∴黑色部分的面积约为：， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率进行求解，准确立即数据的意义是解题的关键． 13. 实数，是一元二次方程的两个根，则多项式的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 14. 六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________． 【答案】． 【解析】 【分析】由六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，可以得到中间正六边形的边长为1，做辅助线以后，得到△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，再根据等腰三角形与等边三角形的性质求出边长，求出面积之和即可． 【详解】解：如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE， 在正六边形ABCDEF中， ∵直角三角板的最短边为1， ∴正六边形ABCDEF为1， ∴△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形， ∵∠ABC=∠CDE =∠EFA =120︒，AB=BC= CD=DE= EF=FA=1， ∴∠BAG=∠BCG =∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30︒， ∴BG=DI= FH=， ∴由勾股定理得：AG =CG = CI = EI = EH = AH =， ∴AC =AE = CE =， ∴由勾股定理得：AI=， ∴S=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了含30 度角的直角三角形的性质、正多边形形与圆以及等边三角形的性质，关键在于知识点：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半的应用． 15. 魏朝时期，刘徽利用下图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”，证明了勾股定理．若图中BF＝1，CF＝2，则AE的长为__________． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：∵BF＝1，CF＝2，∴AB=BC=3，∵AB∥DE，∴△ABF∽△ECF，∴AB：CE=BF：FC，∴3：CE=1：2，∴CE=6，∴DE=3+6=9，∴AE===．故答案为． 考点：勾股定理；相似三角形的判定与性质． 16. 如图，将矩形纸片折叠，折痕为，点M，N分别在边，上，点C，D的对应点分别为点E，F，且点F在矩形内部，的延长线交边于点G，交边于点H．，，当点H为三等分点时，的长为 _____________ 【答案】4或 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，相似三角形的判定及性质，分类讨论的思想是解题的关键．根据点为三等分点，分两种情况分别计算，根据折叠的性质和平行线的性质证明，得到，证明，求出的长，过点作于点，则，设，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：当时，， ∵将矩形纸片折叠，折痕为， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则，     设， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：4或． 三、解答题：（本大题共10个小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】首先计算特殊角的三角函数值，零指数幂，算术平方根和负整数指数幂，然后计算即可． 【详解】解： ． 18. 解不等式组：，并写出它的正整数解． 【答案】，不等式组的正整数解为：1，2，3 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，再求出不等式组的正整数解即可． 【详解】解：解不等式得． 解不等式得， ∴不等式组的解集为：． ∴不等式组的正整数解为：1，2，3． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集，进而求出不等式组的解集是解题的关键． 19. 如图，E，F分别是的边AB，CD上的点．已知，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． 在和中： ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与三角形全等的判定，掌握利用平行四边形的性质得到全等条件，通过三角形全等证明线段相等是解题的关键． 要证明，可通过证明包含这两条线段的三角形全等来实现，先利用平行四边形的性质得到三角形全等的条件，再结合已知条件，用判定三角形全等，从而推出对应边相等． 【详解】略 20. 在“双减”政策实施两个月后，某市“双减办”面向本市城区学生，就“‘双减’前后参加校外学科补习班的情况”进行了一次随机问卷调查（以下将“参加校外学科补习班”简称“报班”），根据问卷提交时间的不同，把收集到的数据分两组进行整理，分别得到统计表1和统计图1： 整理描述 表1：“双减”前后报班情况统计表（第一组） （1）根据表1，m的值为__________，的值为__________； （2）分析处理：请你汇总表1和图1中的数据，求出“双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比； （3）“双减办”汇总数据后，制作了“双减”前后报班情况的折线统计图（如图2）．请依据以上图表中的信息回答以下问题： ①本次调查中，“双减”前学生报班个数的中位数为__________，“双减”后学生报班个数的众数为__________； ②请对该市城区学生“双减”前后报班个数变化情况作出对比分析（用一句话来概括）． 【答案】（1）300； （2） 汇总表1和图1可得： 0 1 2 3 4及以上 总数 “双减”前 172 82 118 82 46 500 “双减”后 423 24 40 12 1 500 （3）①1；0； ②从“双减”前后学生报班个数的变化情况说明：“双减”政策宣传落实到位，参加校外培训机构的学生大幅度减少，“双减”取得了显著效果． 【解析】 【分析】（1）将表1中“双减前”各个数据求和确定m的值，然后再计算求得n值，从而求解； （2）通过汇总表1和图1求得“双减后”报班数为3的学生人数，从而求解百分比； （3）①根据中位数和众数的概念分析求解；②根据“双减”政策对学生报班个数的影响结果角度进行分析说明． 【小问1详解】 解：由题意得，，解得， ∴， 故答案为：300； 【小问2详解】 “双减”后报班数为3的学生人数所占的百分比为； 【小问3详解】 “双减”前共调查500个数据，从小到大排列后，第250个和第251个数据均为1， ∴“双减”前学生报班个数的中位数为1， “双减”后学生报班个数出现次数最多的是0， ∴“双减”后学生报班个数的众数为0， 故答案为：1；0； ②略 【点睛】本题考查统计的应用，理解题意，对数据进行采集和整理，掌握中位数和众数的概念是解题关键． 21. 圭表（如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表” 和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ，当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭，已知该市冬至正午太阳高度角（即为，夏至正午太阳高度角（即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为4米． （1）求∠BAD的度数． （2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈） 【答案】（1）47° （2）3.3米 【解析】 【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和解答即可； （2）分别求出和的正切值，用表示出和，得到一个只含有的关系式，再解答即可． 【小问1详解】 解：，， ， 答：的度数是． 【小问2详解】 解：在Rt△ABC中，， ∴． 同理，在Rt△ADC中，有． ∵， ∴． ∴， ∴（米）． 答：表AC的长是3.3米． 【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质和三角函数，解题的关键是熟练掌握建模思想来解决． 22. 如图，在中，．以AB为直径的与线段BC交于点D，过点D作，垂足为E，ED的延长线与AB的延长线交于点P． （1）求证：直线PE是的切线； （2）若的半径为6，，求CE的长． 【答案】（1） 证明：连接AD、OD，记，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵OD是⊙O的半径， ∴直线PE是⊙O的切线． （2）3 【解析】 【分析】（1）连接AD、OD，根据等腰三角形的性质可证得，根据平行线的判定与性质可证得，然后根据切线的判定即可证得结论； （2）根据含30°角的直角三角形的性质求得CD、CE 即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接AD， ∵AB是直径， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 在中，∵， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、等边三角形的判定与性质、解直角三角形，难度适中，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 23. 为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液． （1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？ （2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了20元/桶，15元/桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？ 【答案】（1）甲种消毒液每桶的单价为30元，乙种消毒液每桶的单价为24元；（2）甲种消毒液购买75桶时，所需资金总额最少，最少总金额是4875元． 【解析】 【分析】（1）根据该单位以零售价分别用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，可以得到相应的分式方程，从而可以得到甲、乙两种消毒剂的零售价，注意分式方程要检验； （2）设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液（300-m）桶，根据甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，即可得出关于m的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根据一次函数性质得出结果． 【详解】解：（1）设甲种消毒液每桶的单价为x元，乙种消毒液每桶的单价为（x-6）元， 依题意，得： ， 解得：x=30， 经检验，x=30是原方程的解，且符合实际意义，则x-6=24． 答：甲种消毒液每桶的单价为30元，乙种消毒液每桶的单价为24元； （2）设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液（300-m）桶，根据题意得到不等式： m≥(300-m)，解得：m≥75， ∴75≤m≤300， 设总费用为W，根据题意得： W=20m+15(300-m)=5m+4500， ∵k=5>0， ∴W随m的减小而减小， ∴当m=75时，W有最小值， ∴W=5×75+4500=4875元 ∴甲种消毒液购买75桶时，所需资金总额最少，最少总金额是4875元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答，注意分式方程要检验． 24. 在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标为A(0，0)，B(6，0)，C(6，8)，D(0，8)，AC，BD交于点E． （1）如图①，双曲线过点E，直接写出点E的坐标和双曲线的表达式； （2）如图②，双曲线与BC，CD分别交于点M，N，点C关于MN的对称点C′在y轴上．求证△CMN∽△CBD，并求点C′的坐标； （3）如图③，将矩形ABCD向右平移m(m＞0)个单位长度，使过点E的双曲线与AD交于点P．当△AEP为等腰三角形时，求m的值． 【答案】（1）E(3，4)， （2）C′(0，) 证明:∵点M，N在反比例函数的图象上， ∴DN·AD＝BM·AB， ∵BC＝AD，AB＝CD， ∴DN·BC＝BM·CD， ∴＝， ∵∠MCN=∠BCD， ∴△CMN∽△CBD． ∴∠CMN=∠CBD， ∴MN∥CD， ∵B(6，0)，D(0，8)， ∴直线BD的表达式为y＝－x＋8， ∵C，C′关于MN对称， ∴CC′⊥MN， ∵MN∥BD， ∴CC′⊥BD， ∴可设直线CC′的解析式为， ∵C(6，8)， ∴， ∴， ∴直线CC′的表达式为y＝x＋， ∴C′(0，)； （3）m的值为3或12 【解析】 【分析】（1）先根据矩形的性质求出E点坐标，然后代入到反比例函数解析式求解即可； （2）由反比例函数图像上点的坐标特征得到DN·AD＝BM·AB，由BC＝AD，AB＝CD，即可推出＝，即可证明△CMN∽△CBD．得到∠CMN=∠CBD，则MN∥CD，求出直线BD的表达式为y＝－x＋8，由C，C′关于MN对称，得到CC′⊥BD，则可设直线CC′的解析式为，由此求解即可； （3）分当AP＝AE时，当EP＝AE时，点P与点D重合，当PA＝PE时，三种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴DE＝EB， ∵B(6，0)，D(0，8)， ∴E(3，4)， ∵双曲线过点E， ∴k1＝12， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：①当AP＝AE时， ∵A(0，0)，B(6，0)，C(6，8)，D(0，8)， ∴AB=6，BC=8， ∴， ∵E是AC与BD的交点， ∴AE=AP=5， ∴平移后P的坐标为(m，5)，E的坐标为(m＋3，4)，P，E在反比例函数图象上， ∴5m＝4(m＋3)， ∴m＝12； ②当EP＝AE时，点P与点D重合， ∵P(m，8)，E(m＋3，4)在反比例函数图象上， ∴8m＝4(m＋3)， ∴m＝3； ③当PA＝PE时， ∵P(m，n)，E(m＋3，4)，A(m，0)， ∴n＝， 解得n＝， ∵P，E在反比例函数图象上， ∴m＝4(m＋3)， 解得m＝－(舍)， 综上所述，满足条件的m的值为3或12． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，等腰三角形的性质，两点距离公式等等，熟知相关知识是解题的关键． 25. 如图1，在中，于点D，在DA上取点E，使，连接BE、CE． （1）直接写出CE与AB的位置关系； （2）如图2，将绕点D旋转，得到（点，分别与点B，E对应），连接，在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由； （3）如图3，当绕点D顺时针旋转30°时，射线与AD、分别交于点G、F，若，求的长． 【答案】（1）CE⊥AB； （2） 在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致的，理由如下： 如图2，延长交于H， 由旋转可得：CD=，=AD， ∵∠ADC=∠ADB=90°， ∴， ∵， ∴, ， ∵+∠DGC=90°，∠DGC=∠AGH， ∴∠DA+∠AGH=90°， ∴∠AHC=90°， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠DAB=45°，∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，可得结论； （2）通过证明，可得，由余角的性质可得结论； （3）由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，延长CE交AB于H， ∵∠ABC=45°，AD⊥BC， ∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°， ∵DE=CD， ∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°， ∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°， ∴CE⊥AB； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，过点D作DH于点H， ∵△BED绕点D顺时针旋转30°， ∴， ， ， ∴AD=2DH，AH=DH=， ， 由（2）可知：， ， ∵AD⊥BC，CD=， ∴DG=1，CG=2DG=2， ∴CG=FG=2， ， ∴AG=2GF=4， ∴AD=AG+DG=4+1=5， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键． 26. 如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）D是直线上方抛物线上一动点，连接交于点N，当的值最大时，求点D的坐标； （3）P为抛物线上一点，连接，过点P作交抛物线对称轴于点Q，当时，请直接写出点P的横坐标． 【答案】（1） （2） （3）点P的横坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）把点和代入解析式求解即可； （2）过点D作DH∥y轴，交AC于点H，由（1）设，直线AC的解析式为，然后可求出直线AC的解析式，则有，进而可得，最后根据可进行求解； （3）由题意可作出图象，设，然后根据题意及k型相似可进行求解． 【小问1详解】 解：把点和代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：过点D作DH∥y轴，交AC于点H，如图所示： 设，直线AC的解析式为， 由（1）可得：， ∴，解得：， ∴直线AC的解析式为， ∴， ∴， ∵DH∥y轴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的值最大， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可得如图所示： 分别过点C、Q作垂线，交过点P作y轴的平行线于点G、H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设点，由题意可知：抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴， 当时，解得：， 当时，解得： 综上：点P的横坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合、三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的综合、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $