函数与方程思想在解题中的应用讲义-2026届高三数学二轮复习（解锁“高考数学八大基本思想”专题系列）

解锁 “高考数学八大基本思想”专题系列——函数与方程思想 在解题中的应用 数学思想方法是数学知识内容的精髓、灵魂与本质所在.其对人类精神生活的影响最为突出,比任何科学都更加凸显.学思想方法是研究数学发现，发明，创新和其他创造性活动的规律和方法的一门数学学科. 解锁一：解数学问题的原则 1.精准的阅读与理解；2.多维的联想与提取；3.科学的理念与方法；4.完善的逻辑与整合；5.严谨的知识与体系；6.快速的推算与书；7.长宽的耐力与心态. 用函数与方程思想在解题中的原则:先直求后构造；构造要及时恰当；求解要灵活精准. 解锁二：思想方法相辅相成 数学思想与数学方法是一个抽象与具体并存的统一体，当我们偏重于提炼其对数学学习的指导性作用时，称之为数学思想，当我们偏重于它的数学操作性作用时，称之为数学方法. 数学思想方法对于数学学习的作用是什么?我们知道，人的行为源自于思想意识，思想的混乱必然会导致行为的混乱.数学学习也是如此，为什么有许多学生解决不了一些并不复杂甚至是简单的数学问题呢？除了极少数学生不熟练相应的数学知识外，绝大多数是没有站在思想的高度来思考和引领方法，或者思想不明确而想不起来用什么方法来处理问题. 无论怎样的数学实践活动，都需要有相应的解题策略，每一个策略产生的源泉都自觉不自觉地运用了一些数学思想的牵引，而数学思想是在长期对大量的数学实践活动中的做法、规律等进行思考、总结和提炼直到升华才形成的，因此很多人没有充分认识其重要性，导致解题仅是凭着经验、直觉，甚至是在幻觉中机械地、重复操作一些低智商的想法，表现为解题速度慢、畏惧解题等不良现象.二轮复习要求学生解题提速、最大化获取分数，需要学生真正理解数学、会学数学，这就要求学生必须运用数学思想指导解题方法，为此以专题的形式出现，也是及时的和必要的. 为什么要学习函数与方程思想呢？无论遇到代数式、还是等式、不等式都要想是否需要构建函数或方程，是问题降为一元问题，借助函数或方程的有关理论灵活快速求解问题. 解锁三：函数与方程思想的本质属性 1.函数与方程思想 (1)函数思想:用运动、变化的观点，集合与对应的思想分析和研究具体问题中的数量关系，即静(参数)中求动(变量)，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象、性质分析问题，转化问题，使问题获得解决. (2)方程的思想:就是分析数学问题中变量间的等量关系，即动(变量)中求静(方程)，研究运动中的不变量，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决． 2.函数思想与方程思想的联系 函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，甚至可以互相转化.方程的解就是函数的图象与轴的交点的横坐标，而方程即的解就是函数与图象的交点问题.方程有解，当且仅当属于函数的值域；函数本质就是方程，若方程可分离就得函数. 3.利用函数思想解题的常见模型及其解题策略 (1)两个相似的量视为一个函数的两个函数值，构造函数求解 探点.设，，试比较、的大小 探究1(函数法):函数，则，若能判断出此函数的单调性，那么就可简捷地比较出、的大小.因为在上递增，在上递减，所以在上递减,所以，即. 探究2(比较法): . 悟惑: ①函数思想在代数式上的应用; ②两个“量”而不是两个“式”. 如：已知，则过两点的直线方程为. (2)一个式子有两个量，可分离参数或变量或变形后再分离使问题转化为函数问题 策略：将所求的参数或参数式与变量分离到式子的两边 探点1.如果方程在上有解，则实数的取值范围为 ． 探究：已知等式可变形为..显然当且仅当属于的值域时有解．且由知．易求得的值域为．故的取值范围是. 探点2.已知 (Ⅰ)若不等式在闭区间上恒成立，求实数的取值范围； (Ⅱ)若不等式在闭区间上有解，求实数的取值范围； 解: (Ⅰ)探究1(直接法):设，则的图象开口向上，所以的在上的最大值只能在区间的端点,所以 探究2（分离参数）：已知不等式可变为，因为，所以，所以，设，则.令，则，，所以在上单调递减. 由题意知,解得，故所求为 (Ⅱ)由题意知，解得 ，所以实数的取值范围. 变式一: ①若满足的都满足不等式，则实数的取值范围为 ； ②若使成立，则实数的取值范围是 . 探点: ①同解于(Ⅰ)，②同解于(Ⅱ). 说明:注意问题的变通语言. 如问题(Ⅰ)的变通：不存在使不成立. 再如等；函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等. 变式二:方程在上有实根，则实数的取值范围是 探究1(构造函数):设，则在上有实根.所以或，解得或，故实数的取值范围是或. 探究2(分类法):若，则已知方程即为，解得；若，则已知方程变为：，解得，综上所述实数的取值范围是或. 悟惑:函数思想在方程与不等式上的应用. (3)选定主元揭示函数关系 策略：谁变就将谁看成变量或在多个变量中选择一个视为变量，无变量要构造函数解题，可先选一参数视为变量； 探点1.已知，对于值域内的所有实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为 探究1（分离参数）：:由题意知值域为，所以，问题变为对恒成立.可变为，若，不等式无意义，若，则由知，不等式恒成立，设，则对恒成立，所以，即，综上实数的取值范围为或 探究2(选定主元):可将视为变量将问题转化为函数问题.设，则，解得或，故实数的取值范围为或 悟惑:探究2好些！分离变量不方便或易分离但不易求解，就不用分离法. 探点2.已知不等式对一切大于1的自然数都成立，求实数的取值范围. 探究:“对一切大于1的自然数都成立”说明是变化的，因此视为变量,转化为求数列函数的最小值问题.因为 ，所以数列是单调递增数列所以的最小值为，所以，解得，所以实数的取值范围为. 悟惑:函数思想在数列中的应用. 探点3.已知是直线上的三点，向量满足. (Ⅰ)求函数的表达式； (Ⅱ)当不等式对及都成立时，求实数的取值范围. 探点: (Ⅰ)因为是直线上的三点，所以,即，又 ，所以，即，从而 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知即为，可设函数，则对，，所以在上单调递减，所以，所以对恒成立，则，则，解得或，故实数的取值范围或. 悟惑:以上三题仍是函数思想在不等式上的应用. (4)在多个参数中视一个参数为变量建立函数关系 策略：从多个参数中选取一个视为变量 探点.已知比较与的大小关系为 . 探究1.利用不等式性质：由知，所以 ，所以，此种方法无法进行下去，原因是字母多，为此可考虑降元，构造函数.设，则，因为 ，所以对恒成立，所以. 探究2.特值法，. 题思:函数思想在比较大小上的应用. (5)利用消元、换元、代快等手段构造函数解题. 探点1.已知，则的取值范围为 . 探究1（方程法）：由已知得，所以是关于的方程的两个实根，所以，解得或，故的取值范围为或. 探究2(函数法):两个等式消去一个量，构造函数.由，消去得，进而得.若，则上式变为矛盾，所以，从而，代入已知得，令，则，当时，，所以或(也可设，对求导)，从而或，故的取值范围为或. 探究3(方程法)：当时，.当时，视，则已知分别变为：，由有解.以下同上. 探究4：消去得，所以，解得或，故的取值范围为或. 变式：从而是方程的两个实根，所以 ，解得或，故的取值范围为或. 悟惑:函数思想、方程思想在等式中的应用. 探点2.设a为实数，记函数的最大值为. 　　（Ⅰ）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)； （Ⅱ）求的最小值。 探究：(I)因为，所以要使有意义，必须且，即因为，且……① 所以的取值范围是由①得：，所以，. （II）由题意知即为函数，的最大值，因为直线是抛物线的对称轴，所以可分以下几种情况进行讨论： ①当时，，，有=2；； ②当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，故 ③当时，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，若即时，，若即时，，若即时，综上所述，有 =，所以的最小值为 (6)利用比较法构建函数解决两个代数式的大小关系问题 策略：作差构造函数 探点.设，当时，的大小关系为 . 证明(1)法一：记，则,当时， .所以在单调递增，所以，又，所以，即，亦即． 法二：由均值不等式，当时，，故.①令,则且，所以在单调递减，所以，故，即②.由①②得，当时，． 方法与规律:此类问题常根据所证不等式的结构特征构造相应的函数，通过研究函数的单调性解决问题. (7)构造函数证明函数不等式 探点.设，曲线与直线在点相切. (Ⅰ)求的值； (Ⅱ)证明：当时， 探究: (Ⅰ)由的图像过点，代入得由在处的切线斜率为，又，得. (Ⅱ)法一(不等式法):若，则,故,记 ,则 ，令,则当时，，因此在内是减函数，又由，得，所以因此在内是减函数，又由，得，于是当时， . 法二:由(Ⅰ)知，由均值不等式，当时， ，故令，则，故，即，由此得，当时，，记，则当时，，因此在内是减函数，又由，得，即. 悟惑:函数思想在不等式中的应用. (8)构造函数解不等式或方程 探点.(1)不等式的解集为 （　　） A．R B．R* C． D． (2)不等式的解集为 . 探究:设函数，则单调递增，而，所以 (1)所求不等式的解为，故选； (2)所求方程的解为，故所求解集为. (9)构造函数研究数列的最值、大小问题 探点1.公差不为零的等差数列与公比不为的等比数列最多有 项对应相等？ 探究:分别利用等差、公比数列通项公式的图象可知，满足条件的有个. 探点2.已知数列满足，则的最小值为 探究:当时， ，所以，设，在上是单调递增，在上是递减的，则因为,所以当或时有最小.又因为，，所以，的最小值为. (10)构造模拟辅助函数解决相关问题 策略：一些代数问题，直接求解不方便，可构造相应的模拟函数 ①换元法 探点.已知抛物线方程为，点的坐标为，则曲线上距离最近的点的坐标为 探究:设的坐标为，则，设，则，且（）.若，则当时，，此时当时，点坐标为；若，则时，，此时，点坐标为. 悟惑:函数思想在解析中的应用. ②二项式定理问题，构造模拟函数； 探点.化简 ; 探究1（导数法）:设(二项函数)，则,所以 ，. ,所以; 法二（吸收系数法）： ③结构特征法. 探点.已知，求证. 探究1:利用斜率不易求解,通分可知函数的斜率;去分母可知是函数大小问题.因此构造函数.设，则 ，所以在上单调递增，又，所以，即 从而可得，因为，所以 ； 探究2：设，由拉格朗日中值定理知问题为函数的最小值大于的问题.设，则，所以在上单调递减，所以. 悟惑:函数思想在不等式中的应用. ⑤几类函数的优劣比较; ⑥已知一组数据确定拟合函数回答问题. 悟惑:函数思想在不等式中的应用. (11)依据等式变形，营造函数性质. 探点.设，下列说法正确的是 若，则 若，则 若，则 若，则 探究:大小问题利用单调性.设，则单调递增，且，因为，所以，所以，故选. 悟惑: ①也可设; ②多个函数问题构造一个函数研究、一个函数问题不易求解可分解为两个函数去研究. 4.利用方程思想解题的常见模型及其解题策略 (1)利用相似等式抽象出一个方程 策略:将方程组转化为方程的性质. 探点.已知函数. (Ⅰ)若的定义域为，判断在定义域上的增减性，并加以说明； (Ⅱ)当时，使的值域为的定义域区间为是否存在？请说明理由 探究 (Ⅰ)(常规问题)或 因为定义域为,所以设有当时，为减函数，当时，为增函数 (Ⅱ)（逆向题）在上的值域为因为，为减函数 所以即又，即为方程的大于3的两个根所以 ， 所以，故当时，满足题意条件的定义域区间存在 悟惑: 遇见相似结构的等式代数角度就是方程有几个根问题，几何角度就是曲线过定点问题. (2)利用韦达定理构造一元二次型方程 策略:在已知两个等式中，构造两数之和与两数之积； 探点.已知实数则的取值范围为 探究:由知，所以是关于的方程 的两个大于的不等实根.设，则，解得，所以，所以的取值范围为. 悟惑:遇到两数之和、两数之积问题就要想是否需要构造一元二次方程. (3)构建函数方程 策略:选取恰当的变量 探点.关于的方程有实根，则实数的取值范围为 探究1(分离法):分离为函数求值域不易，所以利用方程. 已知方程可变为. 利用求根公式得:,由知，解得或，故实数的取值范围为或. 探究2(方程法)：设，则或，解得或，故实数的取值范围为或. 悟惑:利用一元二次方程根的性质求参数的取值范围. (4)利用代块手段，构造方程 探点.设，若，则的最大值为 探究1（换元法）设，则代入并整理得，关于的一元二次方程有实根，所以，解得，所以的最大值为. 探究2(拼凑法):，解得，所以的最大值为. (5)利用奇偶性构造方程 策略:利用函数的奇偶性构造方程 探点.已知，且，则 . 探究: 因为, 所以，又，所以 悟惑:一个函数无奇偶性，但局部存在奇偶性，可考虑利用奇偶性构造方程求解. (6)利用三角公式构造方程 策略:利用三角公式或对偶式构造三角恒等式. 探点.已知则的取值范围是 . 探究:设，则，解得，故的取值范围是. 悟惑:凡是研究三角公式展开式的一部分内容，就要考虑利用对偶式构造方程. (7)利用正、余弦定理、面积公式列方程 探点.已知平面内互不相等的非零向量满足与的夹角为，则向量的最大值为 探究1(几何意义):由知向量当起点为原点时，终点在单位圆上，由与的夹角为，所以,而，所以得轨迹在一个圆上,由题意知,所以是正三角形.表示向量在向量上的投影，所以与垂直且与圆相切与交点为所求.连接 则，所以 ，设的中点为，则.所以,故选. 探究2(函数法):在三角形中由正弦定理知，解得，所以 ，因为 ，所以，所以的最大值为，故所求最大值为故选. 探究3(方程法):由题意知，设，则，所以，由得 ，所以，因为，所以，即，当且仅当，即时取等号，所以当时有最大值为故选. (8)利用数学运算构造方程 策略:利用齐次型、比例性质、取对数、求导数等运算手段构造方程. 探点.椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率均为，长短轴顶点间距离为，直线与轴交于点，与椭圆交于相异两点、，且. (Ⅰ)求椭圆方程； (Ⅱ)若，求实数的取值范围。 探究: (Ⅰ)； (Ⅱ)由已知可得,从而或.若，则，若，则.设，，由知，.由题意可使直线方程为，代入，得，则. 法一：，所以,解得，代入得或，故的取值范围是. 法二：，综上所述的取值范围是. 悟惑:已知几个等式，求参数的取值范围，利用代入或数学运算降元构造一个方程求解；方程思想在解析中的应用. (9)利用方程组消元或消常数项构造方程. 探点.过原点的直线与抛物线交于两点，且，关于对称，则直线的方程为 探究1（待定系数法）：由题意知直线不垂直轴，所以可设直线的方程为代入得，设点坐标分别为，则，所以，解得，故所求直线方程为. 探究2(消二次项和常数项):设点坐标为，则点坐标为，所以，两式相减得即为所求. (10)利用不等式取等号构造方程 探点.已知，则 . 探究1(化同名):依据三角的解题原则 (三看)，联想到三角同角关系.只需判定与的关系.由得，去分母可得，所以. 探究2(换元法):由知可设，所以 ，相加得，所以，所以， 故. 探究3（不等式取等的条件）所以又，所以当且仅当且时取等号.故所求为. 5.函数与方程思想的本质属性 函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多 函数思想即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决. 在近几年高考中，，方程的观点应用可分为逐步提高的四个层次： (1)解方程； (2)含参数方程的讨论； (3)转化为对方程的研究，如直线与圆的位置关系、直线与圆锥曲线的位置关系、函数的性质； (4)构造方程求解. 解锁四：函数与方程思想的综合运用 1.函数与方程思想在求最值及参数范围中的应用 探点.(1)设直线与函数的图象分别交于点，则当达到最小时t的值为 ； (2)若是正数，且满足，则的取值范围为 ． 探究：(1)由题意可知，设则 ，因为，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时最小，且最小值为，所以. (2)法一(函数思想):由变形可得,从而求 .因为是正数,所以,所以,所以 ,当且仅当，即当时上式取等号，所以当时最小，故的取值范围为． 法二（方程思想）:设，则由知，所以是关于的方程 的两个正根，所以，解得，故的取值范围为． 法三(解不等式) 因为是正数，且满足，所以，即，解得，故的取值范围为． 悟惑：求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问题中的重要问题，解决这类问题一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式组求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域. 2.函数与方程思想在解决函数图象交点及方程根等问题中的应用 探点.设函数．若的图像与的图像有且仅有两个不同的公共点，则下列判断正确的是(　　) .当时， .当时，c .当时， .当时， 探究：由题意知函数的图像有且仅有两个公共点等价于方程有两个不同的根，即方程有两个不同非零实数根，因而可设，即 ，所以，所以，，当时，，所以，所以.当时，，所以，所以.故选 悟惑：函数图像的交点问题转化为方程的根的问题是重要的方程思想，同时方程根的判断问题常转化为函数的零点问题又是重要的函数思想，在解决此类问题时要注意灵活应用. 3.函数与方程思想在不等式上的运用 探点.已知不等式对恒成立，则实数的取值范围． 探究：设，则是的函数，其图象是直线．依题意，对恒成立．所以，解得.故的取值范围是. 4.函数与方程思想在数列方面的运用 探点.(1)已知为等差数列，，以表示的前项和，则使得达到最大值的是(　　) 解析：由得即，由，得，即，所以，，，这是一个关于的二次函数，当时取得最大值,故选． (2)在等比数列中，，则 (　　) 探究1：由等比数列的性质可知：，故根据题意，得由②，得③，将③代入①，得，即，解得.当时，，（或）；当时，，.所以的值为3或. 探究2:由等比数列的性质，可知，根据题意得即是方程的两根，解得或当时，；当时，，所以的值为3或. 5. 函数与方程思想在概率上的运用 探点.某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率； (2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值． 探究:(1)依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为，所以， 所以,解得． (2)当时， ； 当时， , 故，所以在区间的最小值为． 6. 函数与方程思想在三角中的运用 探点.记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． （1）若，求； （2）若，求． 解：(1) 探究1:在中,因为为中点,，,则 ，解得，在中，，由余弦定理得，即，解得，则，，所以. 探究2：在中，因为为中点，,则,解得,在中，由余弦定理得 ，即，解得，有，则，，过作于，于是，，所以 (2)探究1:在与中，由余弦定理得，整理得，而，则，又，解得，而，于是，所以. 探究2:在中,因为为中点,则,又,于是 ，即，解得，又，解得，而，于是，所以. 7．函数与方程思想在数列中的运用 探点.为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 解：(1)探究：设等差数列的公差为，而，则，于，解得，，所以数列的通项公 (2)探究1：由（1）知，，， 当为偶数时，，，当时，，因此， 当为奇数时，，当时，，因此所以当时，. 探究2：由（1）知，，， 当为偶数时 当时，，因此， 当为奇数时，若,则 ，显然满足上式，因此当为奇数时， ，当时，，因此，所以当时，. 8.函数与方程思想在立体几何中的应用 探点.如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 解：(1)在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h ，解得，所以点A到平面的距离为； (2)取的中点E,连接AE,如图，因为,所以,又平面平面 ,平面平面,且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得,，又平面且相交，所以平面，所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得，所以，，所以，则,所以的中点，则，, 设平面的一个法向量，则，可取， 设平面的一个法向量，则，可取， 则，所以二面角的正弦值为. 9.函数与方程思想在解析几何中的运用 探点.在直角坐标系中,点到轴的距离等于点到点的距离,记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于． 探究：(1)设,则，两边同平方化简得，故. (2)探究1：设矩形的三个顶点在上,且，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0， 则,令， 同理令，且，则，设矩形周长为,由对称性不妨设，，则.，易知，则令令，解得，当时，，此时单调递减；当，，此时单调递增，则，故,即.当时,,且，即时等号成立，矛盾，故,得证. 探究2:不妨设在上，且，依题意可设，易知直线，的斜率均存在且不为0，则设,的斜率分别为和，由对称性，不妨设，直线的方程为， 则联立得，，则,则，同理，所以 .令，则，设，则，令，解得，当时，，此时单调递减，当，，此时单调递增，则，所以，但，此处取等条件为，与最终取等时不一致，故. 探究3：为了计算方便,我们将抛物线向下移动个单位得抛物线,矩形变换为矩形,则问题等价于矩形的周长大于.设 , 根据对称性不妨设 . 则 , 由于, 则 .由于 , 且 介于 之间, 则 . 令 ,,则,从而 故 ①当②当 时,由于,从而,从而又,故,由此 ， 当且仅当时等号成立，故，故矩形周长大于. 2 学科网（北京）股份有限公司 $