精品解析：河南省五市2026届高三下学期一模考试数学试题

2026年高三年级一模考试 数学 注意事项： 1．本试卷共19道题，满分：150分，考试时间：120分钟． 2．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 3．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 4．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 5．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 6．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合，根据对数函数的单调性及定义域求出集合，再根据交集的概念求解即可. 【详解】， ， 所以. 2. 样本数据151，177，209，210，218，223，252，281的75%分位数是（ ） A. 223 B. 237 C. 237.5 D. 252 【答案】C 【解析】 【详解】样本数据从小到大排列，样本容量，，6为整数， 因此75%分位数为第6项和第7项的平均值，故75%分位数为 3. 已知函数的周期为 ，值域为 ，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由周期函数的定义得出是周期为 的周期函数，再由二倍角公式结合正弦函数的值域可判断. 【详解】， 所以函数的周期不是，A，B错误； ， 所以函数的周期是，， 所以， 所以的值域为，C正确；D错误. 4. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，结合已知条件求出，根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】设向量，则， ，， 联立解得 ，或， ，所以或. 当时，， 当时，， ， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 5. 今天是2026年3月19日星期四，再过天是星期（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 五 【答案】A 【解析】 【分析】将写成形式的二项展开式，然后计算除以余下的天数，最后判断是星期几. 【详解】因为 所以 则的余数为， 又因为今天是星期四，所以天后是星期，即星期一. 6. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距 （）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距 正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得 ，由结合两角差的正切公式可得，从而求得第二次的“晷影长”与“表高”的比值，得出答案. 【详解】由题可得，又， 所以. 即第二次的“晷影长”是“表高”的. 7. 在等差数列中，，当取得最小值时，（ ） A. 5 B. 6 C. 2025 D. 2026 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式及二次函数的性质求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 则，，. 所以，所以. . 当取得最小值时， ，此时. 8. 已知椭圆与椭圆交于四点，且，的焦点与这四点在同一个圆上，则（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆和圆的对称性、椭圆的焦距公式进行求解即可. 【详解】因为两个椭圆的四个焦点在同一个圆上， 所以根据椭圆和的对称性可知，该圆的圆心为原点， 因此有， 所以椭圆的半焦距为，椭圆的半焦距为， 因此该圆的方程为，即， 又两椭圆的交点与和的四个焦点在同一个圆上， 所以由椭圆和圆的对称性可知，这四个点也在圆上， 由， 代入椭圆： 中， 得化简可得： ，解得：， 又，故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一般地，任何一个复数 （ ，）都可以写成的三角形式，其中，，是复数的模， 是复数的辐角，并规定范围内的辐角 的值为辐角主值，则方程的复数根的辐角主值是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】设方程的复数根为 （ ，），根据条件，利用复数相等得或，再转化成三角形式，即可求解. 【详解】设方程的复数根为 （ ，），则， 即，则，解得或， 所以或， 又，， 且，所以方程的复数根的辐角主值是，. 10. 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，分别过点A，B作l的垂线，垂足分别为M，N，若△AMF为等边三角形，则（　　） A. 直线AB的斜率为 B. C. △AMF的周长为12 D. B，O，M三点共线 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据抛物线定义得，结合为等边三角形推出直线倾斜角，得斜率判断；对B，先求出点的坐标，得到直线的方程，联立抛物线方程求出点的横坐标，结合抛物线定义得等于点到准线的距离，计算得判断；对C，由抛物线定义得等边的边长等于，计算得，计算周长判断；对D，求出点、 的坐标，分别计算直线 和 的斜率，得斜率相等且共过原点，据此判断. 【详解】对于A：已知为等边三角形，结合轴， ，可得 ， 因此直线的倾斜角为或，斜率。选项A仅给出斜率为，不全面，A错误； 对于B：设，由为等边三角形，得，， 因此，结合 ，代入等式， 解得（舍去），直线过，方程为， 联立整理得，由韦达定理得， 已知，故，因此，B正确； 对于C：由推导得 的边长为，因此周长为 ，C正确； 对于D：分两种情况验证共线： 若，则，，所以，，，三点共线； 若，则，，同理可得，三点共线. 因此D正确. 11. 在锐角中，角，，的对边分别为 ，，．已知，，成等差数列，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 周长取值范围为 D. 若是外接圆的圆心，则 和面积之差的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】AB利用正弦定理边角互化即可；C利用正弦定理将周长用来表示，求关于的函数的取值范围；D利用正弦定理将面积差用来表示，求关于的函数的取值范围. 【详解】由题意得，， 则由正弦定理得， 因为，所以，则，则，故A正确； 因为，所以， 则， 因为，所以，故B正确； 由，即，得， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，得， 则， 因为，所以， 则，故， 故周长取值范围为，故C错误； 设的外接圆半径为 ，，则，则， 故 和面积之差为 ， 因为，所以，则， 故当时，；当时，当时， 故 和面积之差的取值范围为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象恒过定点，且函数的图象在 处的切线也经过点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先求出点A，利用导数的几何意义求出函数的图象在 处的切线方程，代入点的坐标，可得 . 【详解】对函数，令，则，得 . 所以. 函数的定义域为，. ，所以. 所以函数的图象在 处的切线方程为. 因为该切线过点，所以，解得. 13. 采购员要购买某种电器元件一包（12个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是______． 【答案】 【解析】 【详解】设事件为“包含6个次品”，为“包含2个次品”，为“采购员拒绝购买”， 则， 则，， 故 故采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是. 14. 如图为四棱锥 的平面展开图，其中为平行四边形，是边长为1的等边三角形，为 的中点，，则四棱锥 的外接球表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件确定底面为等腰梯形，并确定，得到底面外接圆圆心即为中点，在底面以为轴建系，确定外接圆圆心坐标，再设球心通过即可求解. 【详解】是边长为1的等边三角形，故侧棱，，底边； 是 中点，，是平行四边形，故底边 ，， ，. 可知底面为等腰梯形， 因为为等边三角形，且为平行四边形， 可得：，在底面中连接， 则， 即，， 在底面以分别为轴，过作平面的垂线为 轴，如图： 可得： ，，，， 因为，则底面外接圆，也即是的外接圆， 即的中点即为底面外接圆圆心，坐标为， 设，由、、​​， 可得， 解得 即  由四棱锥外接球的性质， 外接球的球心在过​垂直于底面的直线上，故设球心， 由得： ，解得​， 因此外接球半径平方： ， 外接球表面积： . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某小区物业为提高服务质量，随机调查了100名男业主和100名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表： 是否满意 性别 满意 不满意 合计 男业主 80 20 100 女业主 60 40 100 合计 140 60 200 （1）依据的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业服务的评价有差异？ （2）从小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，表示事件“选到的人为男业主”，利用该调查数据，给出，的估计值． 附：． 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）有差异 （2），． 【解析】 【分析】（1）根据公式求出，再对照临界值点，即可得出结论； （2）根据条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 假设：小区男、女业主对该物业服务的评价无差异． 因为， 依据的独立性检验，所以假设不成立， 即认为小区男、女业主对该物业服务的评价有差异． 【小问2详解】 由题意，，， , , 则，． 16. 已知数列的前项和为，且，，成等差数列，数列满足． （1）求数列，的通项公式； （2）是否存在正整数，使得？如果存在，请求出，的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1），． （2）存在，使得原等式成立． 【解析】 【分析】（1）结合等差中项的定义得到，利用与的关系即可求出的通项公式，进而求出的通项公式. （2）求出，结合等差数列的前项和求出，进而得到，再结合，为正整数代入验证即可. 【小问1详解】 由题，，成等差数列，所以，① 当 时，，② ① ②得：，即 ，所以， 当时，，解得，所以， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以，即，又满足上式， 因此，从而． 综上：，． 【小问2详解】 由（1）得，，， 从而． 由于，为正整数， 当 时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上只有当，时满足条件， 因此存在，使得原等式成立． 17. 已知三棱锥 中，底面 是边长为2的正三角形，且 ，，，分别为棱，的中点． （1）求证： ； （2）求平面 与平面 的夹角的正弦值． 【答案】（1）证明如下： 取线段的中点为，连接，， 因为 ，所以 ， 又因为为正三角形，所以， 又 ，所以 平面 ，故有 ． 方法一：设，，，则， 因为 ，所以，所以 ， 所以 ，所以 ① 同理由 ，可得 ② 由①-②得 ，所以 ， 又，所以，即 ． 方法二：作 平面 于，易得 ， 又 ， ， 所以 平面 ，所以 ， 同理 ，即为的垂心，故得 ， 从而得平面 ，故 ． （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形和等边三角形性质证明 ，方法一：用向量数量积运算推导；方法二：通过作垂线构造线面垂直关系证明 . （2）方法一：建立空间直角坐标系求点坐标和向量，计算平面法向量，利用公式求夹角正弦值；方法二：找出二面角，借助平面几何求线段长，用余弦定理求正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一： 作 平面 于，连接 ，作 垂直 ，建立如图所示空间直角坐标系． 则，，，， ，，故有，， 记平面 的法向量，则， 即，取，解得， 取平面 的法向量，不妨设平面 与 的夹角为 ， 则， 从而正弦值为，即平面 与 夹角的正弦值为． 方法二： 取中点，连接 交 于，可知为 中点， 连接， ，易知， ， 过作的平行线，则 ， ， 因为为平面 与平面 的交线， 故 为平面 与平面 所成二面角的平面角， 由平面几何知识易得 ，故 ， 又为等腰三角形，故在 中， ， 又在 中，， 在 中，，故， 于是在 中由余弦定理得：， 从而，即平面 与 夹角的正弦值为． 18. 已知函数，其中 ，且． （1）当时，讨论的零点个数； （2）若恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1）当时，有1个零点；当 或时，有2个零点 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，将问题转化成解的个数，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到的图象，再数形结合，即可求解； （2）根据条件，利用指数、对数函数的性质，将问题转化成恒成立，构造函数，利用导数，求出的最小值，即可求解. 【小问1详解】 函数（ ， ）等价于， 两端同取自然对数得，即， 令，则原题转化为的解的个数， 由于， 当 时，，在区间上单调递增， 当 时， ，在区间上单调递减， 则在处取得最大值，最大值为， 又当 时，；当时，，函数图象如图所示， 由图知，当时，，解得，此时有1个零点； 当 时，，与有2个交点，此时2个零点； 当时，，与有2个交点，此时2个零点； 综上，当时，有1个零点；当 或时，有2个零点． 【小问2详解】 由题知恒成立，即恒成立． 当 时，若 ，则，显然不成立，故 时不符合题意； 当时，由，可得， 因为曲线与关于直线 对称， 所以， 令，则， 令 ，得，又因为单调递增， 所以当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 所以时，取得极小值，也是最小值， 所以的最小值为，其中， 由，得，即，得到，所以． 综上所述，实数 的取值范围是． 19. 用圆规画一个圆，然后在圆外标记点，并把圆周上的点折叠到点，连接，标记出直线与折痕所在直线的交点（如图），若不断在圆周上取新的点，，…进行折叠并得到标记点，，…，设圆的半径为4，点到圆心的距离为6，以所在的直线为 轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，所有的点，，，…形成的轨迹记为曲线 ． （1）求曲线 的轨迹方程； （2）设为曲线 上第一象限内的一点，记 的重心为，内心为 ． ①若，求点的坐标； ②连接 交曲线 于第四象限一点，设 的内心为 ，求四边形的面积的取值范围． 【答案】（1） （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）由已知可得，进而由双曲线的定义知点，，， 形成的轨迹是以，为焦点，以为实轴长的双曲线，进而可求曲线 的标准方程； （2）①由 得，可求得内心 的纵坐标及 的内切圆半径为，结合三角形面积公式计算可解得，再联立的距离方程与双曲线方程即可求得的坐标；②利用双曲线定义与三角形内切圆性质，先求内切圆在 轴上的切点横坐标均为，进而可得 和 均为角平分线，通过直线 倾斜角为 ，将转化为，再通过计算即可得出结果. 【小问1详解】 把圆周上的点折叠到点，折痕所在直线是的垂直平分线， ∴，， 若不断在圆周上取新的点，，…，进行折叠并得到标记点，，…， 总有，成立， 符合双曲线定义，故点，，，…形成的轨迹是以，为焦点， 以为实轴长的双曲线，故 ， 由，得，∴，， 即曲线 的标准方程为： ． 【小问2详解】 方法一： ①设点（， ），则 的重心的坐标为， 由题知，即内心 的纵坐标为，也即内切圆半径为， 于是由， 得，而，， 即，解得， 从而有，解得， 所以点的坐标为． ②设内切圆 与 轴的切点为，其横坐标为． 根据双曲线定义和内切圆性质： ，， 联立解得：，， 所以圆心 的横坐标为：， 同理 的内切圆与 轴的切点横坐标也为2， 连接 和 ，则 和 均为角平分线， 设直线 倾斜角为 ，通过几何关系得：， 由题，均在右支上，可知，或，从而可得，即， 所以， 即的取值范围． 方法二： ①连接并延长交 轴于 ，由题知，即， 由角平分线性质知：，于是有，且， 解得，，故，易得； 设内切圆 与 轴的切点为，其横坐标为． 根据双曲线定义和内切圆性质：，， 联立解得：，， 所以圆心 的横坐标为：， 于是，即，故， 代入曲线得， 所以点的坐标为． ②，由①知的横坐标为2，同理 的内切圆与 轴的切点横坐标也为2， 连接 和 ，则 和 均为角平分线，设直线 倾斜角为 ，通过几何关系得： ， 由题，均在右支上，可知，或，从而可得即， 所以， 即的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高三年级一模考试 数学 注意事项： 1．本试卷共19道题，满分：150分，考试时间：120分钟． 2．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 3．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 4．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 5．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 6．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 2. 样本数据151，177，209，210，218，223，252，281的75%分位数是（ ） A. 223 B. 237 C. 237.5 D. 252 3. 已知函数的周期为 ，值域为 ，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 今天是2026年3月19日星期四，再过天是星期（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 五 6. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长与太阳天顶距 （）的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距 正切值的乘积，即．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为 ，，若第一次的“晷影长”是“表高”的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 7. 在等差数列中，，当取得最小值时，（ ） A. 5 B. 6 C. 2025 D. 2026 8. 已知椭圆与椭圆交于四点，且，的焦点与这四点在同一个圆上，则（ ） A. 4 B. 5 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 一般地，任何一个复数 （ ，）都可以写成的三角形式，其中，，是复数的模， 是复数的辐角，并规定范围内的辐角 的值为辐角主值，则方程的复数根的辐角主值是（ ） A. B. C. D. 10. 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，分别过点A，B作l的垂线，垂足分别为M，N，若△AMF为等边三角形，则（　　） A. 直线AB的斜率为 B. C. △AMF的周长为12 D. B，O，M三点共线 11. 在锐角中，角，，的对边分别为 ，，．已知，，成等差数列，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 周长取值范围为 D. 若是外接圆的圆心，则 和面积之差的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象恒过定点，且函数的图象在处的切线也经过点，则______． 13. 采购员要购买某种电器元件一包（12个）．他的采购方法是：从一包中随机抽查4个，如这4个元件都是好的，他才买下这一包．假定含有6个次品的包数占20%，而其余包中各含2个次品，则采购员随机挑选一包拒绝购买的概率是______． 14. 如图为四棱锥 的平面展开图，其中为平行四边形，是边长为1的等边三角形，为 的中点，，则四棱锥 的外接球表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某小区物业为提高服务质量，随机调查了100名男业主和100名女业主，每位业主对该物业的服务给出满意或不满意的评价，得到如下列联表： 是否满意 性别 满意 不满意 合计 男业主 80 20 100 女业主 60 40 100 合计 140 60 200 （1）依据的独立性检验，能否认为该小区男、女业主对该物业服务的评价有差异？ （2）从小区的业主中任选一人，表示事件“选到的人对该物业的服务不满意”，表示事件“选到的人为男业主”，利用该调查数据，给出，的估计值． 附：． 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 16. 已知数列的前项和为，且，，成等差数列，数列满足． （1）求数列，的通项公式； （2）是否存在正整数，使得？如果存在，请求出，的值；如果不存在，请说明理由． 17. 已知三棱锥 中，底面 是边长为2的正三角形，且 ，，，分别为棱， 的中点． （1）求证： ； （2）求平面 与平面 的夹角的正弦值． 18. 已知函数，其中 ，且． （1）当时，讨论的零点个数； （2）若恒成立，求 的取值范围． 19. 用圆规画一个圆，然后在圆外标记点，并把圆周上的点折叠到点，连接，标记出直线与折痕所在直线的交点（如图），若不断在圆周上取新的点，，…进行折叠并得到标记点，，…，设圆的半径为4，点到圆心的距离为6，以所在的直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，所有的点，，，…形成的轨迹记为曲线 ． （1）求曲线 的轨迹方程； （2）设为曲线 上第一象限内的一点，记 的重心为，内心为 ． ①若，求点的坐标； ②连接 交曲线 于第四象限一点 ，设 的内心为 ，求四边形的面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $