陕西西安市第六中学2025-2026学年高三上学期第一次模拟数学试卷

2025-2026学年度高三第一次模拟考试 数学 考试范围：高考范围；考试时间：120分钟；命题人：邓琰 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 1. 某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有3人，得90分的有2人，得85分的有2人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数为（ ） A. 85分 B. 86分 C. 89分 D. 88分 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则中元素的个数为（ ） A. 2 B. 4 C. 7 D. 10 4. 不等式的解集为 A. B. C. 且 D. 5. 在中，若，则（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 120° 6. 已知抛物线上一点到其焦点的距离为，过该抛物线的顶点作直线的垂线，垂足为点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. 40 B. 60 C. 76 D. 88 8. 若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则（ ） A. B. C. 为常数 D. 为等比数列 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（  ） A. 当时， B. 函数有三个零点 C. 若方程有三个解，则实数的取值范围是 D. 11. 设为坐标原点，已知圆，双曲线的焦距为4，的一条渐近线与圆交于两点，另一条渐近线与圆交于两点，若，则（ ） A. 的渐近线方程为 B. 的离心率为2 C. C的方程为 D. 直线经过的右顶点 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知向量，，若与垂直，则____________. 13. 已知在处有极值，则______. 14. 在立方体中放入9个球，一个与立方体6个面都相切，其余8个相等的球都与这个球及立方体的三个面相切，已知8个相等的球的半径都为，则立方体的体积为__________． 四、解答题 15. 函数的相邻两条对称轴之间的距离为，且． （1）求的单调递减区间； （2）当时，方程有解，求实数a的取值范围． 16. 已知椭圆的焦距为，且的离心率为. （1）求的标准方程； （2）若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）若，，．求二面角的大小． 18. 已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 19. 甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为，乙胜的概率为q，，且各球的胜负相互独立.对正整数，记为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． （1）求（用p表示）． （2）若，求p． （3）证明：对任意正整数m，． 2025-2026学年度高三第一次模拟考试 数学 考试范围：高考范围；考试时间：120分钟；命题人：邓琰 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】D 二、多选题 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】BCD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】3 【14题答案】 【答案】8 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1），； （2）. 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）证明：如图，取中点，连接，， 在中，，分别为，的中点，所以且， 在菱形中，因为且， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，且平面， 所以平面． （2） 【18题答案】 【答案】（1）证明：由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点. （2）（i）证明：由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 【19题答案】 【答案】（1）， （2） （3） 设打完个球，甲的得分为，乙的得分为，， 所以，，， ，，， 要证明， 即证明①，②， 先证明①， ， 同理可得， 所以①，故成立； 证明②： ， 同理可得， 所以②，故成立； 综上，不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $