第02讲 分式方程及其应用（专项训练，12题型)（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第二章 方程（组）与不等式（组） 第02讲 分式方程及其应用 目 录 01·趋势领航练 02·考点通关练 03·真题诊断练 基础通关 题型01 判断解分式方程的过程是否正确（★★★） 题型02 判断去分母是否正确（★★） 题型03 解分式方程（计算题）（★★★） 题型04 已知分式方程解的情况求参数（★★） 题型05 分式方程与不等式综合求解（★★★） 题型06 分式方程增根与无解问题（★★） 题型07 列分式方程（★★） 题型08 分式方程实际应用之行程问题（★★★） 题型09 分式方程实际应用之工程问题（★★★） 题型10 分式方程实际应用之经济问题（★★★） 题型11 分式方程实际应用之和差倍问题（★★★） 题型12 分式方程实际应用之跨学科问题（★★★） 能力通关 【分式方程与不等式综合】（考查学生解分式方程与不等式方程的计算能力） 1．（2025·重庆·一模）已知关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程解为正整数，则满足条件的所有整数的乘积为 ． 【新情境问题】（考查学生列分式方程以及分析问题的综合能力） 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）榫卯，是中国古代建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的连接方式．2025年，在一系列文化传承与推广活动中，传统榫卯技艺大放异彩，它作为中国传统木工技艺的精髓，承载着千年的文化智慧．某木工工作室为制作榫卯工艺品，第一次用1600元购进一批优质木材．由于制作需求大，又用2800元第二次购进同种木材．已知第二次购进木材的单价比第一次贵5元，且第二次购进的数量是第一次的1.4倍．    小海：由题目已知条件，可设第一次购进木材的单价为x元/立方米，可列出方程求解． 小依：由题目已知条件，可设第一次购进木材的数量为x立方米，则可列出方程求解    (1)求该工作室两次购进这种木材各多少立方米？请你选择一位同学的方法进行解答． (2)第二次购进木材后，按照第一次的售价制作并售卖榫卯工艺品，若要使两次购进木材制作的工艺品销售完后的总利润不低于3280元，那么每件工艺品（假设每件工艺品使用0.1立方米木材）的售价至少为多少元？ 【新情境素材问题】（考查学生从图表中分析问题的能力） 3．（24-25九年级下·广东深圳·月考）根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际奈雪奶茶店推出两款爆款水果茶“芝士杨梅”和“满杯杨梅”．两款奶茶都含有“茉莉清茶”． 素材1 芝士杨梅配料 满杯杨梅配料 茉莉清茶/杯 茉莉清茶/杯 芝士/杯 杨梅肉 杨梅肉 橙子 多肉 多肉 素材2 9月2日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”和每杯“满杯杨梅”的利润比为，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，第二天9月3日决定对“芝士杨梅”降价销售，每杯比昨天降价4元促销；“满杯杨梅”价格不变，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润 任务1 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润各是多少？（单位：元/杯） 任务2 为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”各多少杯？请填空并补全下面的求解过程： 解：设需制作“芝士杨梅”杯，则：需制作“满杯杨梅” 杯（用含的代数式表示） ……． 题型01 判断解分式方程的过程是否正确（★★★） 1．（2025·广东·模拟预测）解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________； 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 2．（2025·广东深圳·三模）（1）计算：． （2）在解分式方程时，小亮的解法如下： 第一步：方程两边都乘，得． 第二步：解这个方程，得． 第三步：经检验，为原方程的解． ①在上述解方程过程中，从第 步开始错误； ②错误的原因是 ． 3．（2025·河北邯郸·三模）下面是两道习题及其错误的解答过程． 习题1：计算 解： …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 习题2：解方程 解：两边同乘得 …第一步 …第二步 经检验， 是原方程的解．…第三步 (1)分别写出习题1，习题2的解答过程是从第几步出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 4．（2025·广东深圳·三模）观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中解：原式 ． (1)解答过程中开始出现错误的步骤是______填序号，这一步错误的原因是______，请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的计算结果为，求题目中被墨水遮住的的值． 题型02 判断去分母是否正确（★★） 1．（2025·湖南娄底·三模）将关于的分式方程去分母可得（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川乐山·二模）将分式方程去分母后可得整式方程为（   ）． A． B． C． D． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）将分式方程去分母，整理后得（   ） A． B． C． D． 4．（2025·贵州遵义·三模）解分式方程时，去分母的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·新疆喀什·二模）解分式方程时，去分母后变形正确的为（    ） A． B． C． D． 题型03 解分式方程（计算题）（★★★） 1．（2025·陕西咸阳·二模）解方程：． 2．（2025·广东阳江·模拟预测）解方程：． 3．（2025·广东韶关·模拟预测）解方程：． 4．（2025·江苏南京·模拟预测）解分式方程：． 题型04 已知分式方程解的情况求参数（★★） 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（2025·黑龙江牡丹江·二模）已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2025·黑龙江佳木斯·三模）若关于x的分式方程的解是非正数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 4．（2025·山东济宁·二模）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 题型05 分式方程与不等式综合求解（★★★） 1．（2025·四川泸州·二模）若关于x的分式方程的解为正数，且关于x的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．6 B．9 C．11 D．14 2．（2025·四川德阳·模拟预测）若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程方程有整数解，则满足条件的整数之和为（    ） A． B． C．2 D．4 3．（2025·四川泸州·一模）若关于的一元一次不等式组无解，且使关于的分式方程有整数解，则所有符合题意的整数的值的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2025·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 题型06 分式方程增根与无解问题（★★） 1．（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 2．（2025·黑龙江·模拟预测）若关于的分式方程（其中为常数）无解，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 3．（2025·黑龙江·二模）若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或3 4．（2025·四川南充·一模）关于的方程无解，则的值为 ． 题型07 列分式方程（★★） 1．（2025·广东中山·模拟预测）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东·模拟预测）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入个数据，已知甲的输入速度是乙的倍，结果甲比乙少用小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入个数据，根据题意得方程正确的 是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东韶关·一模）某地为践行“绿水青山就是金山银山”理念，计划今年春季植树40万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北·三模）小华一家自驾车去某地旅游，手机导航系统推荐了两条线路，线路①全程90千米，线路②全程110千米，汽车在线路②上行驶的平均时速比线路①上行驶的平均时速快50千米/时，线路②的用时预计比线路①用时少半小时．设汽车在线路①上行驶的平均速度为x千米/时，则可列出正确方程为（    ） A． B． C． D． 题型08 分式方程实际应用之行程问题（★★★） 1．（2025·云南大理·一模）某校组织学生从学校到红军村参加研学活动，已知从学校到红军村的路程为200千米，乘坐A型车比乘坐B型车少用2小时，A型车的平均速度是B型车的平均速度的2倍，求B型车的平均速度． 2．（2025·北京·模拟预测）北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统的巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线临近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航道比走巴拿马运河航线每天多走200公里．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？ 3．（2025·云南昆明·模拟预测）“歼－10”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼－10”战机的总设计师，被誉为中国“歼－10之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博JAS-39”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼－10”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的1.2倍，已知巴基斯坦与印度首都新德里的直线距离300公里，若“阵风”战机在印度首都新德里先1分钟起飞飞往巴基斯坦，“歼－10”战机才开始从巴基斯坦起飞飞往印度首都新德里，则它们同时到达各自的目的地，求“歼－10”战机的速度是每小时多少公里？ 4．（2025·广东珠海·三模）2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校、科研机构、企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造、物流分拣、特种作业、家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少小时，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 题型09 分式方程实际应用之工程问题（★★★） 1．（2025·云南·模拟预测）随着“碳中和”理念普及，校园旧物回收活动愈发火热．某校初三（1）班学生利用课余时间整理可回收废品，发现改进分类方法后，工作效率大幅提高．已知该班同学改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品．请问该班同学改进前每小时整理多少千克废品？ 2．（2025·江苏扬州·三模）宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人每小时分拣快递件数是B型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ 3．（2025·贵州贵阳·一模）为响应国家“双碳”目标，某市加快新能源汽车充电桩布局．现有甲、乙两支专业安装队参与充电桩铺设，信息如下： 信息一 安装队 每天安装个数（台） 每天安装成本（元） 甲 5000 乙 x 3000 信息二 甲队完成某区域600个充电桩的安装所需天数，与乙队完成同区域400个充电桩的安装所需天数相等． (1)求x的值； (2)某项目要求甲队先单独施工若干天，再由乙队单独继续施工，总工期为20天，且安装总量不少于1000个，求该项目安装成本的最小值． 4．（2025·河南周口·三模）2025年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的5倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少3小时． (1)分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：TB/小时）； (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用9小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 题型10 分式方程实际应用之经济问题（★★★） 1．（2025·云南·模拟预测）为完善全球生态治理提供中国方案，习近平总书记指出：“建设生态文明关乎人类未来，国际社会应该携手同行、共谋全球生态文明建设之路，牢固树立尊重自然、顺应自然、保护自然的意识，坚持走绿色、低碳、循环、可持续发展之路”．进入新时代，中国坚定不移走生产发展、生活富裕、生态良好的文明发展道路，建设人与自然和谐共生的现代化，保护森林资源是每个公民义不容辞的责任，加大废纸的回收再利用可以有效减少人类对森林资源的破坏．据统计，生产一吨优质纸张，所用木材的质量比用废纸的质量多0.15吨．已知用750吨废纸生产的优质纸张的质量是用700吨木材生产的优质纸张质量的1.2倍，求生产一吨优质纸张需要的木材质量． 2．（2025·云南丽江·一模）国家卫生健康委宣布将实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某体育商城用2400元购入一批智能跳绳，因销量火爆供不应求，商城又追加投资6400元购入第二批同款跳绳．已知第二批的购入数量是第一批数量的2倍，且第二批购入的单价比第一批贵10元．问第一批智能跳绳的单价是多少元？ 3．（2025·辽宁盘锦·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 4．（2025·山西长治·一模）随着2025春晚的广泛传播，2025春晚吉祥物和相关产品迅速走红．某商店购进的2025蛇年吉祥物——“巳升升”树脂小摆件和“春碗”套装——如意春晚骨瓷碗销量大增．已知一套“春碗”套装比一件吉祥物贵150元，商店第一次购进“春碗”套装的数量是吉祥物数量的，且商店购买“春碗”套装和吉祥物的费用都是4000元． (1)分别求每件吉祥物和每套“春碗”套装的进价． (2)为满足市场需求，商店准备第二次购入“春碗”套装和吉祥物共500件，且购入“春碗”套装的数量不超过吉祥物数量的2倍．若进价不变，每件吉祥物与每套“春碗”套装的售价分别为65元，220元，则分别购入吉祥物和“春碗”套装多少件时，商店获得利润最高？ 5．（2025·四川成都·模拟预测）龙年春节期间，全国各地形式多样的龙年文创产品火热上新．某文创店准备购进甲、乙两种“龙形”印章，每个印章的 进价和利润如表（单位：元） 甲种印章 乙种印章 单个进价 单个利润 2 3 (1)已知花费400元购进甲种印章的数量和花费800元购进乙种印章的数量相等，求的值； (2)该店准备拿出2000元全部用来购进这两种“龙形”印章，且购进甲种印章的数量不超过乙种印章数量的4倍，若印章能全部售完，问该店如何进货能使利润最大？最大利润是多少元？ 题型11 分式方程实际应用之和差倍问题（★★★） 1．（2025·山东济宁·模拟预测）贝壳粘贴画作为一种工艺品，它巧妙的将人与海结合起来，无不显示着人们欣赏美的情趣和想象力．小颖是一位贝壳粘贴画的爱好者，她和朋友第一次用600元购买了若干种贝壳粘贴画，第二次又用600元购买了若干种贝壳粘贴画．已知种贝壳粘贴画的单价比种贝壳粘贴画高出一半，且第二次购买的种贝壳粘贴画的数量比第一次购买的种贝壳粘贴画少2幅． (1)求两种贝壳粘贴画的单价各是多少元？ (2)某艺术品收藏协会计划团购两种贝壳粘贴画共20幅，且种粘贴画的数量不低于种粘贴画的数量，和供应商商定后达成一致，种贝壳粘贴画每幅降价10元，种贝壳粘贴画在原价的基础上优惠，那么应该怎样购买花费最少，最少费用是多少元． 2．（2025·重庆巴南·二模）某食品加工厂根据订单的需求会不定期采购A，B两种食材（单位：件），而两种食材的单价会根据市场变化波动． (1)第一周，该食品加工厂花费6650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是50元、80元，求食品加工厂采购了A，B两种食材各多少件？ (2)第二周，由于采购价格发生了变化，食品加工厂分别花费1800元、3600元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的1.5倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，求食品加工厂第二周采购A种食材多少件？ 3．（2025·广东东莞·三模）近年来中国潮玩与动漫产业蓬勃发展，有分析人士预计2026年中国潮玩市场总价值将达到1101亿元．某小店老板非常看好这个用情绪价值撬动的千亿市场，购进了A型和B型两种潮玩玩具，每套A型玩具的进价比每套B型玩具的进价多2.5元，已知用200元购进A型玩具的套数与用150元购进B型玩具的套数是相同的． (1)求A型、B型玩具的进价分别是多少元； (2)老板以原进价再次购进这两种型号的玩具共100套，恰好用了950元，则购进A型玩具多少套？ 4．（2025·山东聊城·二模）清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的数量是新手采茶工人的2倍，每个熟练采茶工人采摘400斤鲜叶比新手采茶工人采摘320斤鲜叶少用15天． (1)求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘鲜叶的斤数； (2)某茶厂计划一天采摘鲜叶400斤，该茶厂有20名熟练采茶工人和16名新手采茶工人，熟练采茶工人每人每天的工资为300元，新手采茶工人每人每天的工资为80元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使费用最少？ 题型12 分式方程实际应用之跨学科问题（★★★） 1．（2025·广东广州·二模）某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块不知规格的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长决定带领小组成员测量它的最大电阻．他们将两节的干电池（总电压为3V），一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路（电池和电流表的内阻忽略不计）．若滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值减小了． 知识小链接：①导体两端的电压U（），导体的电阻，通过导体的电流I（A），满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． (1)求滑动变阻器的最大电阻； (2)由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？ 2．（2025·河南安阳·二模）19世纪20年代，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名的欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了方便以后使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将电压为的电源、一个开关、一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值比滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值减小了． (1)你能帮小组成员计算出这块滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算） (2)由于实验室器材损耗，学校拟购买电流表和滑动变阻器共45个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个8元，若电流表的数量不少于滑动变阻器数量的，则学校购买这批器材至少要花多少钱？ 3．（2025·福建厦门·二模）在某年厦门市的中考体育考试中，球类项目通过抽考确定为篮球运球绕杆往返．为了有效提升学生的篮球专项技能，某校为学生们制定了以下训练计划：首先，要求每位学生完成活动一和活动二的训练，随后进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑动． 活动二：篮球双手交替运球往返跑动． 活动规则如下：请参照图1，从起跑线开始运球，抵达折返线m后返回起跑线．在此过程中，若篮球不慎掉落，参与者必须捡起篮球并返回至掉落点继续进行运球跑． 活动三：篮球运球绕杆往返跑动． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． (1)已知小刚在活动一中速度为，在活动二中速度为．小刚在活动一中球未掉落，但在进行活动二时，由于双手交替运球技巧不够熟练导致球掉落，平均每次掉落额外花费了4秒．若小刚想在28秒内完成两项活动，则在活动二中篮球最多能掉落几次？ (2)假设活动三路线的总长度为36米，小红和小强依次完成活动三．小强表示：“我们两个一共用了30秒．”小红则说：“如果我用和你一样多的时间，我只能跑完米．”请计算这两位同学各自用了多少秒来完成他们的跑步部分． 1．（2025·山东德州·二模）已知分式（为常数）满足下表的信息，则下列结论错误的是（    ） 2 0 无意义 0 1 A． B． C． D． 2．（2025·山东泰安·二模）学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 现有甲、乙两种类型的客车，已知每辆甲车的载客量要比乙车多15人，在无空座的情况下，480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍． 对，你的问题我可以用列方程来解决． 若我们安排七、八年级的240名师生集体外出活动，可以租用甲、乙种客车共6辆（要求两种类型的客车都要租），一次将全部师生送到指定地点． 不过甲车的租用费用比乙车的贵120元，每辆甲种客车的租金为400元． 根据他们的对话得到以下四个结论： ①若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为270人；②共有两种租车方案； ③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多． 其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 3．（2025·山东威海·一模）一组数据（n是正整数）有这样的规律：从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的数差的倒数．对于下列说法：①若，则；②若，则；③若，则．正确的个数有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 4．（2025·山东·一模）已知方程，且关于x的不等式只有4个整数解，那么b的取值范围是 ． 5．（2025·云南·模拟预测）这是一道婚礼上的方程，新郎需要在现场把这个方程解出来，才能迎接新娘．请根据你解方程的过程完成填空：这个方程是 （类型）方程，需要 ，就像检验新郎是否是真心一样．其中的第一个根 代表着一生不辜负爱妻，第二个根 代表着否则你将一无所有． 6．（2025·山东德州·一模）随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新修源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临看不同的价格．数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪．双枪两前新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：元 花费：元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电机的数量多个，求单枪．双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购单枪新能源充电桩的数量不超过双枪新能源充电桩数量的2倍，请你求出费用最低的进货方案． 1．（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 2．（2025·湖南·中考真题）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·北京·中考真题）方程的解为 ． 4．（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 5．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第02讲 分式方程及其应用 目 录 01·趋势领航练 02·考点通关练 03·真题诊断练 基础通关 题型01 判断解分式方程的过程是否正确（★★★） 题型02 判断去分母是否正确（★★） 题型03 解分式方程（计算题）（★★★） 题型04 已知分式方程解的情况求参数（★★） 题型05 分式方程与不等式综合求解（★★★） 题型06 分式方程增根与无解问题（★★） 题型07 列分式方程（★★） 题型08 分式方程实际应用之行程问题（★★★） 题型09 分式方程实际应用之工程问题（★★★） 题型10 分式方程实际应用之经济问题（★★★） 题型11 分式方程实际应用之和差倍问题（★★★） 题型12 分式方程实际应用之跨学科问题（★★★） 能力通关 【分式方程与不等式综合】（考查学生解分式方程与不等式方程的计算能力） 1．（2025·重庆·一模）已知关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程解为正整数，则满足条件的所有整数的乘积为 ． 【答案】 【分析】本题考查含参一元一次不等式组和分式方程，涉及整数解问题，需要学生注意解的范围限制． 本题首先根据不等式组的解集确定参数的范围，其次结合分式方程的正整数解筛选符合条件的整数，最后求其乘积。关键在于联立两个条件对的限制，确保同时满足． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴． ∴． 关于的分式方程的解为． ∵是原分式方程的增根， ∴． ∴． ∵关于的分式方程的解为正整数， ∴为正整数． ∴． ∵， ∴． ∴所有满足条件的所有整数的乘积为：． 故答案为：． 【新情境问题】（考查学生列分式方程以及分析问题的综合能力） 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）榫卯，是中国古代建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的连接方式．2025年，在一系列文化传承与推广活动中，传统榫卯技艺大放异彩，它作为中国传统木工技艺的精髓，承载着千年的文化智慧．某木工工作室为制作榫卯工艺品，第一次用1600元购进一批优质木材．由于制作需求大，又用2800元第二次购进同种木材．已知第二次购进木材的单价比第一次贵5元，且第二次购进的数量是第一次的1.4倍．    小海：由题目已知条件，可设第一次购进木材的单价为x元/立方米，可列出方程求解． 小依：由题目已知条件，可设第一次购进木材的数量为x立方米，则可列出方程求解    (1)求该工作室两次购进这种木材各多少立方米？请你选择一位同学的方法进行解答． (2)第二次购进木材后，按照第一次的售价制作并售卖榫卯工艺品，若要使两次购进木材制作的工艺品销售完后的总利润不低于3280元，那么每件工艺品（假设每件工艺品使用0.1立方米木材）的售价至少为多少元？ 【答案】(1)第一次购进的这种木材为立方米，第二次购进的这种木材为立方米 (2)至少为元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用；找出等量关系式和不等关系式是解题的关键． （1）等量关系式：第一次购进的这种木材的立方米第二次购进的这种木材的立方米，列方程，即可求解； （2）不等关系式：总销售额 元元，列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：小海的解法： 由题意得：， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义； 第一次购进的这种木材为：（立方米）， 第二次购进的这种木材为：（立方米）， 答：第一次购进的这种木材为立方米，第二次购进的这种木材为立方米； 小依的解法： 由题意得：， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义； 第二次购进的这种木材为：（立方米）， 答：第一次购进的这种木材为立方米，第二次购进的这种木材为立方米； （2）解：设每件工艺品的售价为元，由题意得 ， 解得：， 答：每件工艺品的售价至少为元． 【新情境素材问题】（考查学生从图表中分析问题的能力） 3．（24-25九年级下·广东深圳·月考）根据以下素材，探索完成任务1和任务2： 主题：奶茶销售方案制定问题 年轻人喜欢喝奶茶，入夏之际奈雪奶茶店推出两款爆款水果茶“芝士杨梅”和“满杯杨梅”．两款奶茶都含有“茉莉清茶”． 素材1 芝士杨梅配料 满杯杨梅配料 茉莉清茶/杯 茉莉清茶/杯 芝士/杯 杨梅肉 杨梅肉 橙子 多肉 多肉 素材2 9月2日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”共获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”和每杯“满杯杨梅”的利润比为，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材3 由于芝士保质期将至，为了去库存，第二天9月3日决定对“芝士杨梅”降价销售，每杯比昨天降价4元促销；“满杯杨梅”价格不变，并要求当天芝士消耗量不少于，配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决：拟定最优方案确定奶茶的利润 任务1 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的利润各是多少？（单位：元/杯） 任务2 为了使9月3日这两种奶茶获利最大，需制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”各多少杯？请填空并补全下面的求解过程： 解：设需制作“芝士杨梅”杯，则：需制作“满杯杨梅” 杯（用含的代数式表示） ……． 【答案】任务1：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元；任务2：，制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”分别为杯，杯． 【分析】本题考查分式方程的应用，二元一次方程的应用，一次函数最大利润问题． 任务1：设每杯“满杯杨梅”的利润是元，可得得：，解方程并检验，从而可求得每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元； 任务2：设制作“芝士杨梅”杯，“满杯杨梅”杯，两种奶茶获利为元；根据配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”，可得，而芝士消耗量不少于，有，，而，再利用一次函数的性质即可求出答案． 【详解】解：任务1：设每杯“满杯杨梅”的利润是元，则每杯“芝士杨梅”的利润是元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， （元）， 答：每杯“满杯杨梅”的利润是8元，每杯“芝士杨梅”的利润是10元； 任务2：设制作“芝士杨梅” 杯，“满杯杨梅” 杯，两种奶茶获利为元； 配制的茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”， ， ， 芝士消耗量不少于， ， 解得， 根据题意得：， ， 随的增大而减小， 当时，取最大值，最大值为（元）， 此时， 制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”分别为杯，杯． 故答案为：． 题型01 判断解分式方程的过程是否正确（★★★） 1．（2025·广东·模拟预测）解分式方程：． 解：方程两边同乘以，得，……第一步 去括号，得，……第二步 移项､合并同类项，得，……第三步 方程两边同除以2，得，……第四步 经检验是原分式方程的解， ∴原分式方程的解为．……第五步 任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________； ②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________； 任务二：求出分式方程正确的解并有详细的过程． 【答案】任务一：①等式的基本性质2；②二；完全平方式展开错误；任务二：，过程见解析 【分析】本题考查了解分式方程，等式的性质，分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 任务一：①利用等式的基本性质判断即可； ②观察解方程步骤，找出错误的步骤，分析其原因即可； 任务二：写出分式方程的正确的解即可． 【详解】解：任务一：①上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：等式的基本性质； ②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式展开错误； 故答案为：二，完全平方式展开错误； 任务二：， ， ， ， ， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 2．（2025·广东深圳·三模）（1）计算：． （2）在解分式方程时，小亮的解法如下： 第一步：方程两边都乘，得． 第二步：解这个方程，得． 第三步：经检验，为原方程的解． ①在上述解方程过程中，从第 步开始错误； ②错误的原因是 ． 【答案】（1）；（2）①一；②去分母时，等号右边的未乘以 【分析】本题考查解分式方程，实数的运算，零指数幂，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂，熟练掌握解方程的方法及相关运算法则是解题的关键． （1）利用零指数幂，二次根式的性质，特殊锐角三角函数值，负整数指数幂计算后再算加减即可． （2）①根据解分式方程的方法解答即可； ②根据解分式方程的方法解答即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）①上述解方程过程中，从第一步开始错误， 故答案为：一； ②错误的原因是去分母时，等号右边的未乘以)， 故答案为：去分母时，等号右边的未乘以． 3．（2025·河北邯郸·三模）下面是两道习题及其错误的解答过程． 习题1：计算 解： …第一步 …第二步 …第三步 …第四步 习题2：解方程 解：两边同乘得 …第一步 …第二步 经检验， 是原方程的解．…第三步 (1)分别写出习题1，习题2的解答过程是从第几步出现错误的； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】(1)习题1：从第一步出现错误的，习题2：从第一步出现错误的 (2)选习题1：∶；选习题2：无解 【分析】本题考查了解分式方程，分式的加减，熟练掌握解方程的方法，分式的减法运算法则是解题的关键． （1）根据分式的减法运算法则判断即可； （2）选择习题1，先把分式转化为同分母的分式，然后根据同分母的分式相加减法则计算即可； 选择习题2，根据解分式方程的方法求解即可． 【详解】（1）解∶ 根据解方程的步骤可得：习题1，从第一步出现错误的；习题2，从第一步出现错误的； （2）解：选习题1， ； 选习题2， ， 方程两边同乘，得， 去括号，得， 解得：， 经检验，是原方程的增根， 所以原分式方程无解． 4．（2025·广东深圳·三模）观察下面习题的解答过程． 题目：先化简，再求值：，其中解：原式 ． (1)解答过程中开始出现错误的步骤是______填序号，这一步错误的原因是______，请写出正确的化简过程； (2)若代入求值后的计算结果为，求题目中被墨水遮住的的值． 【答案】(1)①，加括号时，括号内的第二项没有变号；正确的解答过程见解析； (2) 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题目中的解答过程可知，开始出现错误的步骤是，这一步错误的原因是加括号时，括号内的第二项没有变号，然后再写出正确的解答过程即可； （2）令（1）中化简后的结果为，求出相应的的值即可． 【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知，开始出现错误的步骤是，这一步错误的原因是加括号时，括号内的第二项没有变号， 故答案为：，加括号时，括号内的第二项没有变号； 正确的解答过程如下所示： ； （2）解：当时， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 即若代入求值后的计算结果为，题目中被墨水遮住的的值为． 题型02 判断去分母是否正确（★★） 1．（2025·湖南娄底·三模）将关于的分式方程去分母可得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解分式方程，将原分式方程两边同乘，即可求出结果． 【详解】解：， 方程两边同乘， 得． 故选：B． 2．（2025·四川乐山·二模）将分式方程去分母后可得整式方程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程，掌握相关知识是解决问题的关键．分式方程两边同乘以最简公分母即可． 【详解】解：， 两边同乘以得： ． 故选：C． 3．（2025·浙江杭州·模拟预测）将分式方程去分母，整理后得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程中的去分母化简．先确定最简公分母，方程两边同乘公分母去分母，再整理得到整式方程，最后判断选项即可． 【详解】解：由题意知，分式方程的分母分别为x和，最简公分母是各分母的乘积，即， 因此，方程两边同乘，得：， 展开合并同类项得到：， 故选：D． 4．（2025·贵州遵义·三模）解分式方程时，去分母的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解分式方程，根据去分母的过程进行解答即可，熟练掌握解分式方程方法步骤是解题关键． 【详解】解：， 去分母得， ， 故选：D． 5．（2025·新疆喀什·二模）解分式方程时，去分母后变形正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，方程两边同时乘以最简公分母，将方程转化为整式方程进行判断即可． 【详解】解：方程两边同时乘以，得：； 故选：D． 题型03 解分式方程（计算题）（★★★） 1．（2025·陕西咸阳·二模）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是通过去分母将其化为整式方程求解． 先去分母，得到一元一次方程，再解方程，并检验即可． 【详解】解：． 经检验，是原方程的解． ∴原方程的解为：． 2．（2025·广东阳江·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．先将分式方程变形得，两边通分后再去分母转化为整式方程求解并检验即可． 【详解】解：整理，得， 即， 移项，得， ， 去分母，得， 整理，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 3．（2025·广东韶关·模拟预测）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键，注意分式方程的解需进行验根，首先将原分式方程移项得，即，再去分母得，进而即可求出x的值，经检验，是原分式方程的解． 【详解】解： 移项，得． 通分，得． 去分母，得． 整理，得． 移项，得． 合并同类项，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解． 4．（2025·江苏南京·模拟预测）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程，解题的关键是掌握相应的运算法则，需要对根进行检验，先将分式方程转化为一元一次方程求解，再对根进行检验即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 解得：， 检验：当时，， 分式方程的解为． 题型04 已知分式方程解的情况求参数（★★） 1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程的解是非正数，则m取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，解不等式等知识；首先将分式方程转化为整式方程，求出解的表达式，再根据解的非正数解不等式，再考虑分母为零时m的取值，综合即可求得的范围． 【详解】解：两边同乘公分母得：， 展开整理得：， 解得：； 由题意，解，即：， 由于分子为负，分母需为正， 故，即； 当时，代入解的表达式得，但不满足，无需额外排除； 当时，代入解的表达式得，此时满足，需排除； 综上，需满足且， 故选：B． 2．（2025·黑龙江牡丹江·二模）已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】此题考查了解分式方程和分式方程的解．先解分式方程得到，再根据方程的解是整数求出或即可得到答案． 【详解】解： 去分母得到，， 移项合并同类项得到， ∵关于的方程的解是正整数， ∴或，且 解得或， 即方程的解为正整数的个数是2， 故选：B 3．（2025·黑龙江佳木斯·三模）若关于x的分式方程的解是非正数，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】A 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的解，时刻注意分母不为这个条件．解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出，根据方程的解为非正数求出的范围即可． 【详解】解： 分式方程去分母得：， 解得：， 由方程的解是非正数，得到，且， 解得：． 故选：A． 4．（2025·山东济宁·二模）已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】此题考查了分式方程的解，由于我们的目的是求m的取值范围，根据方程的解列出关于m的不等式，另外，解答本题时，易漏掉分母不等于0这个隐含的条件，这应引起足够重视． 先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求m的取值范围，再根据分母不等于0，即可解答． 【详解】解：由得 ， ∴ ∵x的方程的解是正数， ∴且， ∴且， 解得且． 故选D． 题型05 分式方程与不等式综合求解（★★★） 1．（2025·四川泸州·二模）若关于x的分式方程的解为正数，且关于x的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．6 B．9 C．11 D．14 【答案】C 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数，根据不等式组的解集的情况求参数的值：首先解分式方程，得到解的条件为且；再解不等式组，得到．综合条件得的取值范围为且的整数，求和即可． 【详解】解： 两边同乘得：，整理得． ∵分式方程的解为正数： ∴， ∴， ∵分母不为零， ∴， ∴； 解，得： ∵不等式组有解， ∴， ∴， 综上：且， ∴整数为，； 故选C 2．（2025·四川德阳·模拟预测）若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程方程有整数解，则满足条件的整数之和为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解求参数的取值范围、解分式方程，由题意可得，得出，解分式方程可得，结合题意确定出的值，求和即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵整数使得关于的不等式组至少有2个整数解， ∴， 解得：， 解分式方程可得：， ∵关于的分式方程方程有整数解， ∴或或， 解得：或或或或或， ∵， ∴， ∵， ∴或或或， ∴满足条件的整数之和为， 故选：C． 3．（2025·四川泸州·一模）若关于的一元一次不等式组无解，且使关于的分式方程有整数解，则所有符合题意的整数的值的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．不等式组变形后，根据无解确定出的范围，再表示出分式方程的解，由分式方程有非负整数解，确定出满足条件的值，即可解答． 【详解】解：解不等式得：， 解不等式得， ∵一元一次不等式组无解， ∴， 解得， 解分式方程，得， ∵关于的分式方程有整数解， ∴或， ∴或或或， 时，，原分式方程无解，故将舍去， ∴符合条件的所有整数的个数为3， 故选：B． 4．（2025·重庆·模拟预测）若关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的所有整数的值之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、解分式方程等知识点，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 先求出不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有2个奇数解，确定a的取值范围，再解分式方程，根据方程解是整数，求出a的可能取值，最后求出同时满足已知条件的a的值并求和即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴该不等式组的解集为： ∵关于的一元一次不等式组 有且仅有2个奇数解， ∴这两个奇数解为1和3， ∴，解得： 解分式方程，解得：， ∵关于y的分式方程的解是整数， ∴是3的倍数，且，即， 又∵， ∴， ∴满足条件的所有整数的值之和为：2． 故答案为：2． 题型06 分式方程增根与无解问题（★★） 1．（2025·陕西延安·一模）解关于x的分式方程，若该分式方程产生增根，则m的值为（   ） A．0 B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是明确增根的定义（使分式方程分母为零的根），先求出增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解的值． 先确定分式方程的分母为和，令分母为零得增根；再将分式方程两边同乘最简公分母化为整式方程；最后把增根代入整式方程，计算得出的值，进而判断选项． 【详解】解：分式方程的分母为和， 令分母为零，得增根． 方程两边同乘去分母，得：． 将增根代入整式方程：， 即，解得． 故选：B． 2．（2025·黑龙江·模拟预测）若关于的分式方程（其中为常数）无解，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查根据分式方程解得情况，求参数的值．解题的关键是掌握整式方程无解和分式方程有增根时，分式方程无解，是解题的关键．先将分式方程转化为整式方程，根据整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解． 【详解】解：方程去分母，得：， 即 ∵整式方程有解， ∴当分式方程有增根时，分式方程无解， ∴， 将，代入整式方程，得：， 即：； 故选：A． 3．（2025·黑龙江·二模）若关于的分式方程无解，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或3 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解分两种情况：①方程有增根；②原分式方程化简后的整式方程无解． 【详解】解：去分母，得， 移项、合并同类项，得， 分式方程无解， ①当方程有增根时，原方程无解，即， ，解得； ②当时，原方程无解，即， 综合①②，若分式方程无解，的值为或． 故选：C． 4．（2025·四川南充·一模）关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题．先解分式方程，用含的代数式表示出，根据方程无解得到，代入计算即可． 【详解】解：， 去分母，得 ， 移项，合并同类项，可得 ， 系数化为1，得 ， ∵该方程无解，则， ∴，解得． 故答案为：1． 题型07 列分式方程（★★） 1．（2025·广东中山·模拟预测）某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天，设现在平均每天生产x台机器，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系、正确列出分式方程是解题的关键． 根据现在与原计划工作效率间的关系，可得出原计划平均每天生产台机器，利用工作时间、工作总量、工作效率的关系，结合现在生产400台机器所需时间比原计划生产450台机器所需时间少1天列出关于x的分式方程即可解答． 【详解】解：∵该工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，且现在平均每天生产x台机器， ∴原计划平均每天生产台机器． 根据题意得：． 故选：B． 2．（2025·山东·模拟预测）用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入个数据，已知甲的输入速度是乙的倍，结果甲比乙少用小时输完．这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入个数据，根据题意得方程正确的 是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，设乙每分钟能输入个数据，则甲每分钟能输入个数据，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设乙每分钟能输入个数据，则甲每分钟能输入个数据， 由题意得，, 故选：． 3．（2025·广东韶关·一模）某地为践行“绿水青山就是金山银山”理念，计划今年春季植树40万棵，由于志愿者的加入，实际每天种植比原计划多，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系是正确列出分式方程的关键．设原计划每天种植x万棵树，则实际每天种植万棵树，根据计划今年春季植树40万棵，由于志愿者的加入，结果提前5天完成任务，列出分式方程即可． 【详解】解：设原计划每天植树万棵，则实际每天植树万棵， 根据题意得：． 故选：B． 4．（2025·湖北·三模）小华一家自驾车去某地旅游，手机导航系统推荐了两条线路，线路①全程90千米，线路②全程110千米，汽车在线路②上行驶的平均时速比线路①上行驶的平均时速快50千米/时，线路②的用时预计比线路①用时少半小时．设汽车在线路①上行驶的平均速度为x千米/时，则可列出正确方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、弄清量之间的关系成为解题的关键． 设线路①的平均速度为千米/时，则线路②的平均速度为千米/时．根据线路①的时间减去线路②的时间等于半小时列出方程即可． 【详解】解：设线路①的平均速度为千米/时，则线路②的平均速度为千米/时，则线路①的时间为小时，线路②的时间为小时． 由题意可得： ． 故选A． 题型08 分式方程实际应用之行程问题（★★★） 1．（2025·云南大理·一模）某校组织学生从学校到红军村参加研学活动，已知从学校到红军村的路程为200千米，乘坐A型车比乘坐B型车少用2小时，A型车的平均速度是B型车的平均速度的2倍，求B型车的平均速度． 【答案】B型车的平均速度是50千米/小时 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是找准等量关系． 设B型车的平均速度是x千米/小时，则A型车的平均速度是千米/小时，根据题意列出分式方程求解即可． 【详解】解：设B型车的平均速度是x千米/小时，则A型车的平均速度是千米/小时， 根据题意得： 解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：B型车的平均速度是50千米/小时． 2．（2025·北京·模拟预测）北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统的巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线临近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航道比走巴拿马运河航线每天多走200公里．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？ 【答案】1000公里 【分析】本题考查了分式方程在行程问题中的应用，涉及路程，速度和时间这三个行程问题的基本量，解决本题的关键是由“节省10天”这一条件建立分式方程． 先设出巴拿马运河航线每天能走的公里数为未知数，根据“时间=路程速度”这一关系分别表示出巴拿马运河航线和北极航道所需的时间，然后由时间差列方程求解即可． 【详解】解：设集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走x公里， ， 解得，（舍）， 经检验，是原方程的解， 答：集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走1000公里． 3．（2025·云南昆明·模拟预测）“歼－10”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼－10”战机的总设计师，被誉为中国“歼－10之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博JAS-39”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼－10”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的1.2倍，已知巴基斯坦与印度首都新德里的直线距离300公里，若“阵风”战机在印度首都新德里先1分钟起飞飞往巴基斯坦，“歼－10”战机才开始从巴基斯坦起飞飞往印度首都新德里，则它们同时到达各自的目的地，求“歼－10”战机的速度是每小时多少公里？ 【答案】“歼－10”战机的速度是3600公里/时 【分析】设“阵风”战机的速度是公里/时，则“歼－10”战机的速度是公里/时，根据题意“阵风”战机在印度首都新德里先1分钟起飞飞往巴基斯坦，“歼－10”战机才开始从巴基斯坦起飞飞往印度首都新德里，列出分式方程，解方程即可． 本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 【详解】解：设“阵风”战机的速度是公里/时，则“歼－10”战机的速度是公里/时． 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：“歼－10”战机的速度是3600公里/时． 4．（2025·广东珠海·三模）2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校、科研机构、企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造、物流分拣、特种作业、家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少小时，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是，根据这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人用时比松延动力机器人少小时建立方程求解即可． 【详解】解：设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是， 由题意得，， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：松延动力机器人的平均速度是． 题型09 分式方程实际应用之工程问题（★★★） 1．（2025·云南·模拟预测）随着“碳中和”理念普及，校园旧物回收活动愈发火热．某校初三（1）班学生利用课余时间整理可回收废品，发现改进分类方法后，工作效率大幅提高．已知该班同学改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品．请问该班同学改进前每小时整理多少千克废品？ 【答案】该班同学改进前每小时整理千克废品 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品，进行列分式方程，再解得，即可作答． 【详解】解：依题意，设该班同学改进前每小时整理千克废品， ∵改进后每小时比改进前多整理15千克废品． ∴改进后每小时整理千克废品， 依题意，得 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴该班同学改进前每小时整理千克废品． 2．（2025·江苏扬州·三模）宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人每小时分拣快递件数是B型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ 【答案】A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件． 【分析】设B型数控机器人每小时分拣x件快递，先用x表示出A型数控机器人每小时分拣快递的数量，再根据“一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成”列出分式方程求解，并检验根． 本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是正确列出方程． 【详解】解：设一台B型数控机器人每小时分拣x件快递，则一台A型数控机器人每小时分拣件快递，根据题意，得 ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件． 3．（2025·贵州贵阳·一模）为响应国家“双碳”目标，某市加快新能源汽车充电桩布局．现有甲、乙两支专业安装队参与充电桩铺设，信息如下： 信息一 安装队 每天安装个数（台） 每天安装成本（元） 甲 5000 乙 x 3000 信息二 甲队完成某区域600个充电桩的安装所需天数，与乙队完成同区域400个充电桩的安装所需天数相等． (1)求x的值； (2)某项目要求甲队先单独施工若干天，再由乙队单独继续施工，总工期为20天，且安装总量不少于1000个，求该项目安装成本的最小值． 【答案】(1)40 (2)80000元 【分析】本题考查了分式方程的应用与一次函数的最值问题，解题的关键是根据天数相等的等量关系列出分式方程求解未知数，再通过建立成本与施工天数的函数关系，结合安装总量的不等式确定自变量范围，进而求出成本最小值． （1）根据甲队完成个与乙队完成个所需天数相等，结合每天安装个数列出分式方程，求解并检验得x的值； （2）设甲队施工天数，用总工期表示乙队施工天数，根据安装总量不少于个列出不等式确定甲队施工天数的范围；建立成本关于甲队施工天数的一次函数，根据函数增减性求最小值． 【详解】（1）由题意可知，甲队每天安装台，乙队每天安装x台． ∵甲队完成个所需天数与乙队完成个所需天数相等， ． 交叉相乘得： 展开得： 移项化简得： 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴x的值为 （2）由（1）得，甲队每天安装台，乙队每天安装台． 设甲队单独施工a天，则乙队单独施工天． 根据安装总量不少于个，可得：， 展开得： 化简得：， 解得． 设该项目安装成本为W元，则：． ∵， ∴W随a的增大而增大． 当时，W取得最小值，最小值为元． 答：该项目安装成本的最小值为元． 4．（2025·河南周口·三模）2025年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的5倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少3小时． (1)分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：TB/小时）； (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用9小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 【答案】(1)甲数据中心的数据迁移速度为，乙数据中心的数据迁移速度为 (2)甲数据中心至少需要工作 【分析】本题主要考查了分式方程和不等式的应用，解题的关键是根据不等关系列出不等式，根据等量关系列出方程． （1）设乙数据中心的数据迁移速度为，甲数据中心的数据迁移速度为，根据甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少，列出方程，解方程即可； （2）设甲数据中心需要工作，则乙数据中心工作，根据共用至少完成的数据迁移，列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设乙数据中心的数据迁移速度为，甲数据中心的数据迁移速度为，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴， 答：甲数据中心的数据迁移速度为，乙数据中心的数据迁移速度为； （2）解：设甲数据中心需要工作，则乙数据中心工作，根据题意得： ， 解得：， 答：甲数据中心至少需要工作． 题型10 分式方程实际应用之经济问题（★★★） 1．（2025·云南·模拟预测）为完善全球生态治理提供中国方案，习近平总书记指出：“建设生态文明关乎人类未来，国际社会应该携手同行、共谋全球生态文明建设之路，牢固树立尊重自然、顺应自然、保护自然的意识，坚持走绿色、低碳、循环、可持续发展之路”．进入新时代，中国坚定不移走生产发展、生活富裕、生态良好的文明发展道路，建设人与自然和谐共生的现代化，保护森林资源是每个公民义不容辞的责任，加大废纸的回收再利用可以有效减少人类对森林资源的破坏．据统计，生产一吨优质纸张，所用木材的质量比用废纸的质量多0.15吨．已知用750吨废纸生产的优质纸张的质量是用700吨木材生产的优质纸张质量的1.2倍，求生产一吨优质纸张需要的木材质量． 【答案】1.4吨 【分析】本题考查了分式方程的应用，先设生产一吨优质纸张需要的木材质量为x吨，则废纸质量为吨，再结合题干条件进行列方程，解得，再验根，即可作答． 【详解】解：设生产一吨优质纸张需要的木材质量为x吨，则废纸质量为吨． 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：生产一吨优质纸张需要的木材质量为1.4吨． 2．（2025·云南丽江·一模）国家卫生健康委宣布将实施“体重管理年”3年行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．某体育商城用2400元购入一批智能跳绳，因销量火爆供不应求，商城又追加投资6400元购入第二批同款跳绳．已知第二批的购入数量是第一批数量的2倍，且第二批购入的单价比第一批贵10元．问第一批智能跳绳的单价是多少元？ 【答案】30元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据题意、正确列出分式方程是解答本题的关键． 设第一批跳绳进货单价x元，则第二批进价为元，再根据等量关系“第二批跳绳的数量是第一批的2倍”列分式方程求解即可． 【详解】解：设第一批跳绳进货单价x元，则第二批进价为元， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 答：第一批跳绳进货单价30元． 3．（2025·辽宁盘锦·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 【答案】(1)A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元 (2)此次购进至少要花元钱 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设购进A种哪吒玩偶的单价是x元，则购进B种哪吒玩偶的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合购进两种玩偶的数量共15个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即购进A种哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出购进B种哪吒玩偶的单价； （2）设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个，根据购进A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元，利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设A种哪吒玩偶的单价为元，则B种哪吒玩偶的单价为元． 根据题意，得： 解得： 经检验：是原分式方程的解 B种：元 答：A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元． （2）解：设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个 根据题意，得： 解得： 设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元， 花费 整理，得： ∵，当时，随的增大而减小 ∴当时，取得最小值，最小值元 答：此次购进至少要花元钱． 4．（2025·山西长治·一模）随着2025春晚的广泛传播，2025春晚吉祥物和相关产品迅速走红．某商店购进的2025蛇年吉祥物——“巳升升”树脂小摆件和“春碗”套装——如意春晚骨瓷碗销量大增．已知一套“春碗”套装比一件吉祥物贵150元，商店第一次购进“春碗”套装的数量是吉祥物数量的，且商店购买“春碗”套装和吉祥物的费用都是4000元． (1)分别求每件吉祥物和每套“春碗”套装的进价． (2)为满足市场需求，商店准备第二次购入“春碗”套装和吉祥物共500件，且购入“春碗”套装的数量不超过吉祥物数量的2倍．若进价不变，每件吉祥物与每套“春碗”套装的售价分别为65元，220元，则分别购入吉祥物和“春碗”套装多少件时，商店获得利润最高？ 【答案】(1)每件吉祥物的进价为50元，每套“春碗”套装的进价为200元 (2)购入吉祥物167件，春碗套装333套时，商店获得利润最高 【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一次函数，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． （1）设每件吉祥物的进价为元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设商店购入吉祥物件，则“春碗”套装件，利润为元，根据题意得到，再求得．进而利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件吉祥物的进价为元，则每套“春碗”套装的进价为元， 根据题意，得， 解得． 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， （元）． 答：每件吉祥物的进价为50元，每套“春碗”套装的进价为200元． （2）解：设商店购入吉祥物件，则“春碗”套装套，利润为元， ， 购入“春碗”套装的数量不超过吉祥物数量的2倍， ，解得． 为正整数， 的最小值为167， ， 当时，有最大值， 此时，． 答：购入吉祥物167件，“春碗”套装333套时，商店获得利润最高． 5．（2025·四川成都·模拟预测）龙年春节期间，全国各地形式多样的龙年文创产品火热上新．某文创店准备购进甲、乙两种“龙形”印章，每个印章的 进价和利润如表（单位：元） 甲种印章 乙种印章 单个进价 单个利润 2 3 (1)已知花费400元购进甲种印章的数量和花费800元购进乙种印章的数量相等，求的值； (2)该店准备拿出2000元全部用来购进这两种“龙形”印章，且购进甲种印章的数量不超过乙种印章数量的4倍，若印章能全部售完，问该店如何进货能使利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)该文创店购进甲种印章266个，乙种印章67个时，能使利润最大，最大利润是733元 【分析】（1）根据花费400元购进甲种印章的数量和花费800元购进乙种印章的数量相等，列出相应的分式方程，求解即可得到答案； （2）由（1）知，甲种印章单个进价为元，乙种印章单个进价为元，设利润为元，甲种印章购进个，则乙种印章购进个，根据题意，可以得到利润的函数关系，然后根据购进甲种印章的数量不超过乙种印章数量的4倍，列不等式求出，再由一次函数的图象与性质，可得该文创店最大利润情况． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 则的值为； （2）解：由（1）知，甲种印章单个进价为元，乙种印章单个进价为元， 设利润为元，甲种印章购进个，则乙种印章购进个， ， ∵， ∴随的增大而增大， ∵购进甲种印章的数量不超过乙种印章数量的4倍， ∴， 解得， ∵为正整数， ∴当时，取得最大值，最大值， 此时，乙种印章有个， 答：该文创店购进甲种印章266个，乙种印章67个时，能使利润最大，最大利润是733元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，涉及解分式方程、求一次函数表达式、解一元一次不等式等知识，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 题型11 分式方程实际应用之和差倍问题（★★★） 1．（2025·山东济宁·模拟预测）贝壳粘贴画作为一种工艺品，它巧妙的将人与海结合起来，无不显示着人们欣赏美的情趣和想象力．小颖是一位贝壳粘贴画的爱好者，她和朋友第一次用600元购买了若干种贝壳粘贴画，第二次又用600元购买了若干种贝壳粘贴画．已知种贝壳粘贴画的单价比种贝壳粘贴画高出一半，且第二次购买的种贝壳粘贴画的数量比第一次购买的种贝壳粘贴画少2幅． (1)求两种贝壳粘贴画的单价各是多少元？ (2)某艺术品收藏协会计划团购两种贝壳粘贴画共20幅，且种粘贴画的数量不低于种粘贴画的数量，和供应商商定后达成一致，种贝壳粘贴画每幅降价10元，种贝壳粘贴画在原价的基础上优惠，那么应该怎样购买花费最少，最少费用是多少元． 【答案】(1)种贝壳粘贴画的单价为元，种贝壳粘贴画的单价为元 (2)购买10幅种贝壳粘贴画，10幅种贝壳粘贴画，花费最小，为元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程，不等式和一次函数是解题的关键： （1）设种贝壳粘贴画的单价为元，根据种贝壳粘贴画的单价比种贝壳粘贴画高出一半，且第二次购买的种贝壳粘贴画的数量比第一次购买的种贝壳粘贴画少2幅，列出分式方程进行求解即可； （2）设购买幅种贝壳粘贴画，购买费用为元，根据种粘贴画的数量不低于种粘贴画的数量，列出不等式求出的范围，根据总费用为两种粘贴画的费用之和，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设种贝壳粘贴画的单价为元，由题意，得： ， 解得：， 经检验是原方程的解，并符合题意； ∴； 答：种贝壳粘贴画的单价为元，种贝壳粘贴画的单价为元； （2）设购买幅种贝壳粘贴画，则购买幅种贝壳粘贴画，由题意，得：，解得：， 设购买费用为元，由题意，得： ， ∴随着的增大而减小， ∴当时，最小为， 答：购买10幅种贝壳粘贴画，10幅种贝壳粘贴画，花费最小，为元． 2．（2025·重庆巴南·二模）某食品加工厂根据订单的需求会不定期采购A，B两种食材（单位：件），而两种食材的单价会根据市场变化波动． (1)第一周，该食品加工厂花费6650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是50元、80元，求食品加工厂采购了A，B两种食材各多少件？ (2)第二周，由于采购价格发生了变化，食品加工厂分别花费1800元、3600元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的1.5倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，求食品加工厂第二周采购A种食材多少件？ 【答案】(1)食品加工厂采购了A种食材45件，B种食材55件 (2)食品加工厂第二周采购A种食材30件 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程． （1）设食品加工厂采购了A种食材x件，B种食材y件，根据该食品加工厂花费6650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是50元、80元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设食品加工厂第二周采购A种食材m件，则B种食材采购件，根据食品加工厂分别花费1800元、3600元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的1.5倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设食品加工厂采购了A种食材x件，B种食材y件 解得： 答：食品加工厂采购了A种食材45件，B种食材55件． （2）解：设食品加工厂第二周采购A种食材m件，则B种食材采购件，则 解得， 经检验，是原分式方程的解． 答：食品加工厂第二周采购A种食材30件． 3．（2025·广东东莞·三模）近年来中国潮玩与动漫产业蓬勃发展，有分析人士预计2026年中国潮玩市场总价值将达到1101亿元．某小店老板非常看好这个用情绪价值撬动的千亿市场，购进了A型和B型两种潮玩玩具，每套A型玩具的进价比每套B型玩具的进价多2.5元，已知用200元购进A型玩具的套数与用150元购进B型玩具的套数是相同的． (1)求A型、B型玩具的进价分别是多少元； (2)老板以原进价再次购进这两种型号的玩具共100套，恰好用了950元，则购进A型玩具多少套？ 【答案】(1)A型玩具的进价是10元，B型玩具的进价是7.5元 (2)购进A型玩具80套 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设A型玩具的进价是x元，则B型玩具的进价是元，根据用200元购进A型玩具的套数与用150元购进B型玩具的套数是相同的，列出分式方程，解方程即可； （2）设购进A型玩具a套，则购进B型玩具套，根据恰好用了950元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设A型玩具的进价是x元，则B型玩具的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：A型玩具的进价是10元，B型玩具的进价是7.5元； （2）解：设购进A型玩具a套，则购进B型玩具套， 由题意得：， 解得：， 答：购进A型玩具80套． 4．（2025·山东聊城·二模）清明过后就是春茶的采摘季节．已知熟练采茶工人每天采茶的数量是新手采茶工人的2倍，每个熟练采茶工人采摘400斤鲜叶比新手采茶工人采摘320斤鲜叶少用15天． (1)求熟练采茶工人和新手采茶工人一天分别能采摘鲜叶的斤数； (2)某茶厂计划一天采摘鲜叶400斤，该茶厂有20名熟练采茶工人和16名新手采茶工人，熟练采茶工人每人每天的工资为300元，新手采茶工人每人每天的工资为80元，应如何安排熟练采茶工人和新手采茶工人能使费用最少？ 【答案】(1)熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶16斤，新手采茶工人一天能采摘鲜叶8斤 (2)茶厂一天应安排17名熟练采茶工人采摘鲜叶，16名新手采茶工人采摘鲜叶能使费用最少 【分析】本题主要考查了分式方程的应用及利用一次函数模型解决实际问题的能力，解题的关键是要分析题意根据实际意义求解，注意要根据自变量的实际范围确定函数的最值． （1）设每位新手采茶工人一天能采摘鲜叶x斤，根据每个熟练采茶工人采摘400斤鲜叶比新手采茶工人采摘320斤鲜叶少用15天可得等量关系列出分式方程解出． （2）设一天安排m名新手采茶工人采摘鲜叶，该茶厂需要支付工资为y元，根据题意构造出y与x的一次函数关系，根据一次函数的性质确定x的取值，即可得出答案． 【详解】（1）解：设新手采茶工人一天能采摘鲜叶x斤，则熟练采茶工人一天能采摘鲜叶2x斤． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：熟练的采茶工人一天能采摘鲜叶16斤，新手采茶工人一天能采摘鲜叶8斤． （2）解：设一天安排m名新手采茶工人采摘鲜叶，该茶厂需要支付工资为y元， 则每天安排名熟练的采茶工人采摘鲜叶． 根据题意，得． ∵， ∴y随m的增大而减小． ∵是整数，，且m为整数， ∴当时，y有最小值， 此时． 答：茶厂一天应安排17名熟练采茶工人采摘鲜叶，16名新手采茶工人采摘鲜叶能使费用最少． 题型12 分式方程实际应用之跨学科问题（★★★） 1．（2025·广东广州·二模）某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块不知规格的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长决定带领小组成员测量它的最大电阻．他们将两节的干电池（总电压为3V），一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路（电池和电流表的内阻忽略不计）．若滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值减小了． 知识小链接：①导体两端的电压U（），导体的电阻，通过导体的电流I（A），满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． (1)求滑动变阻器的最大电阻； (2)由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？ 【答案】(1)． (2)学校买这批仪器至少要花费670元． 【分析】本题主要考查欧姆定律、分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的性质．解题关键在于理解电路中电阻与电流的关系，利用条件准确列出分式方程求解电阻值；通过设未知数建立函数和不等式模型，结合函数性质求出费用最小值． （1）设滑动变阻器最大电阻为，分别表示出滑动变阻器滑片在不同位置时的电阻，再结合两种情况下电流的差值为列出分式方程，求解并检验得到滑动变阻器的最大电阻． （2）通过设未知数建立函数关系来求解费用最小值．设购买电流表个，总花费为元，则购买滑动变阻器个．根据滑动变阻器数量不少于电流表数量的倍列出不等式，确定的取值范围．再根据单价列出总费用关于的一次函数表达式，利用一次函数的性质（当时，随的增大而减小 ），在的取值范围内找到使最小的值，进而求出最小花费． 【详解】（1）解：设滑动变阻器的最大电阻是． 由题意可列方程：， 解得：， 经检验，是原方程的根． 答：滑动变阻器的最大电阻为． （2）解：设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个． 由题意知：，解得：， 总费用，即， ∵，∴y随m的增大而减小． ∵m是整数，∴当时，y最小，此时，（元）， 答：学校买这批仪器至少要花费670元． 2．（2025·河南安阳·二模）19世纪20年代，德国物理学家欧姆通过大量实验，归纳得出了著名的欧姆定律：导体中的电流，跟导体两端的电压成正比，跟导体的电阻成反比，即．某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块没有刻度的滑动变阻器，为了方便以后使用，组长小彬决定带领小组成员给它重新制作刻度尺．他们将电压为的电源、一个开关、一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路．若滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值比滑动变阻器的滑片滑动到距离端处时电流表的数值减小了． (1)你能帮小组成员计算出这块滑动变阻器的最大电阻是多少吗？（请列分式方程进行计算） (2)由于实验室器材损耗，学校拟购买电流表和滑动变阻器共45个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个8元，若电流表的数量不少于滑动变阻器数量的，则学校购买这批器材至少要花多少钱？ 【答案】(1)滑动变阻器的最大电阻为 (2)学校购买这批仪器至少要花396元 【分析】（1）设滑动变阻器的最大电阻是，根据分式方程的解法求解； （2）设购买电流表个，则购买滑动变阻器个，总花费为元，根据题意列出不等式求解． 【详解】（1）解：（1）设滑动变阻器的最大电阻是． 由题意得 解得 经检验，是原方程的根． 答：滑动变阻器的最大电阻为． （2）解：设购买电流表个，则购买滑动变阻器个，总花费为元． 由题意得 解得 ． ， 随的增大而增大， 当时，最小，此时，396（元）． 答：学校购买这批仪器至少要花396元． 【点晴】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，列出分式方程和一元一次不等式方程是解答关键． 3．（2025·福建厦门·二模）在某年厦门市的中考体育考试中，球类项目通过抽考确定为篮球运球绕杆往返．为了有效提升学生的篮球专项技能，某校为学生们制定了以下训练计划：首先，要求每位学生完成活动一和活动二的训练，随后进行活动三． 活动一：篮球单手运球往返跑动． 活动二：篮球双手交替运球往返跑动． 活动规则如下：请参照图1，从起跑线开始运球，抵达折返线m后返回起跑线．在此过程中，若篮球不慎掉落，参与者必须捡起篮球并返回至掉落点继续进行运球跑． 活动三：篮球运球绕杆往返跑动． 活动规则如下：沿图2规定路线运球绕杆往返跑． (1)已知小刚在活动一中速度为，在活动二中速度为．小刚在活动一中球未掉落，但在进行活动二时，由于双手交替运球技巧不够熟练导致球掉落，平均每次掉落额外花费了4秒．若小刚想在28秒内完成两项活动，则在活动二中篮球最多能掉落几次？ (2)假设活动三路线的总长度为36米，小红和小强依次完成活动三．小强表示：“我们两个一共用了30秒．”小红则说：“如果我用和你一样多的时间，我只能跑完米．”请计算这两位同学各自用了多少秒来完成他们的跑步部分． 【答案】(1)2次 (2)小红同学跑了16秒．小强同学跑了14秒． 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出不等式和方程是解题的关键． （1）设在活动二中篮球掉落x次，根据活动一和活动二完成的时间加上因为篮球掉落额外增加的时间不超过28秒列出不等式求解即可； （2）设小红跑了秒，则小强跑了秒，根据小红的说法建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设在活动二中篮球掉落x次， 由题意得，， 解得， ∵x为整数， ∴x的最大值为2， 答：在活动二中篮球最多能掉落2次； （2）解：设小红跑了秒，则小强跑了秒， ， 方程两边同乘，得，解得， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为， ， 答：小红同学跑了16秒．小强同学跑了14秒． 1．（2025·山东德州·二模）已知分式（为常数）满足下表的信息，则下列结论错误的是（    ） 2 0 无意义 0 1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，分式值为0的条件，分式无意义的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，分式无意义的条件是分母为0，据此可求出m、n的值，再根据表格中的数据，求出对应的a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴当时，， ∴； ∵当时，， ∴当时，， ∴； ∵当时，， ∴； ∴当时，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， 故选：A． 2．（2025·山东泰安·二模）学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 现有甲、乙两种类型的客车，已知每辆甲车的载客量要比乙车多15人，在无空座的情况下，480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍． 对，你的问题我可以用列方程来解决． 若我们安排七、八年级的240名师生集体外出活动，可以租用甲、乙种客车共6辆（要求两种类型的客车都要租），一次将全部师生送到指定地点． 不过甲车的租用费用比乙车的贵120元，每辆甲种客车的租金为400元． 根据他们的对话得到以下四个结论： ①若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为270人；②共有两种租车方案； ③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多． 其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，设甲客车的载客量为x人，乙客车的载客量为人，根据480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍建立方程可求出甲客车的载客量为45人，乙客车的载客量为30人，据此可判断①；设租用甲客车m辆，则租用乙客车辆，根据所有客车的载客量要大于等于240以及两种客车都要租用建立不等式组求出m的取值范围，进而确定m可以取的值，即可确定方案，进而求出每个方案的费用，据此可判断②③④． 【详解】解：设甲客车的载客量为x人，乙客车的载客量为人， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴甲客车的载客量为45人，乙客车的载客量为30人， ∴若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为人，故①正确； 设租用甲客车m辆，则租用乙客车辆， 由题意得，， 解得， ∵m为正整数， ∴m的值可以为4或5， 当时，，此时租车费用为元， 当时，，此时租车费用为元， ∴共有2种租车方案，且两种租车方案的费用不相同，租车最低费用是2160元，故②③正确，④不正确， 故选：B． 3．（2025·山东威海·一模）一组数据（n是正整数）有这样的规律：从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面的数差的倒数．对于下列说法：①若，则；②若，则；③若，则．正确的个数有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的规律，配方法，实数的运算，利用题干的规定找出数字的规律是解题的关键． 利用题干的规定：设，则，得到，（是正整数）中，每三个为 1 循环，循环的数为，利用此规律对每个说法进行判断即可． 【详解】解：设， 则，，，，，， ∴是正整数）中，每三个为1个循环，循环的数为， ， ， 若， ， ， ， ∴说法①正确； 若，则， ， ， ， ∴说法②正确； ， ， ， ， 解得：，经检验，的值是方程的解， 即， ∴说法③正确． 故选：A． 4．（2025·山东·一模）已知方程，且关于x的不等式只有4个整数解，那么b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，代入不等式组确定出b的范围即可． 【详解】解：分式方程去分母得：，即， 分解因式得：， 解得：或， 经检验是增根， ∴分式方程的解为， 当时，由只有4个整数解，得到． 故答案为：． 5．（2025·云南·模拟预测）这是一道婚礼上的方程，新郎需要在现场把这个方程解出来，才能迎接新娘．请根据你解方程的过程完成填空：这个方程是 （类型）方程，需要 ，就像检验新郎是否是真心一样．其中的第一个根 代表着一生不辜负爱妻，第二个根 代表着否则你将一无所有． 【答案】 分式 验根 【分析】本题主要考查了解分式方程，高次方程．先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， 即， 解得：， 检验：当时，， 当时，， 所以原方程的解为； 这个方程是分式方程，需要验根，就像检验新郎是否是真心一样．其中的第一个根代表着一生不辜负爱妻，第二个根代表着否则你将一无所有． 故答案为：分式；验根；； 6．（2025·山东德州·一模）随着新能源汽车使用的日益普及，各个小区都纷纷完善新能源汽车的配套设施，其中新修源充电桩的建设成为重点工作，某小区也不例外，计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足小区内新能源汽车车主日益增长的充电需求，然而，在购置过程中，面临看不同的价格．数量以及预算限制等问题，就像下面所描述的情况一样．某小区计划购置如图所示的单枪．双枪两前新能源充电桩，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：元 花费：元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电机的数量多个，求单枪．双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购单枪新能源充电桩的数量不超过双枪新能源充电桩数量的2倍，请你求出费用最低的进货方案． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为元/个，双枪新能源充电桩的价格为元/个 (2)费用最低的进货方案是单枪新能源允电社个，双枪新能源允电社个 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． （1）利用数量总价单价，结合本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即单枪新能源充电桩的单价），再将其代入中，即可求出双枪新能源充电桩的单价； （2）设此次加购个单枪新能源充电桩，则加购个双枪新能源充电桩，根据此次加购单枪新能源充电桩的数量不超过双枪新能源充电桩数量的倍，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩的总费用为元，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：根据题意可得 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元/个） 答：单枪新能源充电桩的价格为元/个，双枪新能源充电桩的价格为元/个； （2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为 （元/个） 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为 （元/个） 设再次购进单枪新能源允电社个，则购进双枪新能源允电社个，总花费为 如果此次加购单枪新能源充电桩的数量不超过双枪新能源充电桩数量的倍 解得 随的增大而减小 答：费用最低的进货方案是单枪新能源允电社个，双枪新能源允电社个． 1．（2025·山东德州·中考真题）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（   ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据所列方程，找出被墨水污染部分的文字是解题的关键． 由表示第一次购买魔方的数量，可得出表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买 10 个，利用单价总价数量，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，进而可找出被墨水污染部分的文字． 【详解】解：∵设第一次购买了个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次比第一次少买了 10 个； ∵单价总价数量， ∴表示第一次购买魔方的单价，表示第二次购买魔方的单价， 又 ∵所列方程为， ∴第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元， ∴被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方优惠 5 元，结果比上次少买了 10 个． 故选：D． 2．（2025·湖南·中考真题）将分式方程去分母后得到的整式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． 将分式方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程． 【详解】解：． 方程两边同时乘以，得：． 故选：A． 3．（2025·北京·中考真题）方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 4．（2025·江西·中考真题）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 【答案】 【分析】本题考查分式方程的应用．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元，根据“燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同”列出分式方程即可． 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为元， 根据题意得，， 故答案为：． 5．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】见解析 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时要注意不要漏乘，解完后要检验． 先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可． 【详解】解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立； 小李的解答过程不正确，正确解答如下： ， ， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 1 / 41 学科网（北京）股份有限公司 $