技巧03 放缩法在数列、导数等解题中的技巧（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

技巧03 放缩法在数列、导数等解题中的技巧 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 3 考点一 数列放缩 3 必备知识 知识1数列放缩思路 知识2数列放缩公式 知识3经典放缩类型与适配场景 知识4标准解题四步法 命题预测 考向1先求和再放缩 考向2裂项放缩 考向3等比放缩 考向4数列的前n项和与函数 考点二 导数放缩 19 必备知识 知识1导数放缩思路 知识2导数放缩公式 知识3高考解题六步法 命题预测 考向1与ex有关的放缩. 考向2与lnx有关的放缩， 考向3与sinx，cosx，tanx有关的放缩 命题轨迹透视 近三年全国卷中，放缩法是导数、数列模块的核心考查技巧，属拉分考点且区分度高。导数放缩为解答题压轴必考点，常出现在最后1-2问，分值12-14分，命题降低纯构造难度，将放缩作为常规解题工具。数列放缩多在解答题中后段呈现，分值不低，得分率常低于40%。二者均侧重考查逻辑推理、数学运算等核心素养，突出模块融合，常考“数列+导数”“数列+不等式”综合题，通过把控放缩的尺度与方向设置解题门槛，成为筛选考生思维能力的重要载体。 考点一 数列放缩 知识1 数列放缩思路 从数列通项公式入手变形，向可求和数列靠拢（优先裂项相消数列、等比数列），通过放缩将复杂数列转化为易求和的简单数列，再通过求和推导不等式。 知识2 数列放缩公式 （1）裂项放缩：；； （2）糖水不等式：若，，则；若，，则 （3）二项式放缩：； （4）指数放缩：； 知识3 经典放缩类型与适配场景 放缩类型 核心公式 适配通项特征 求和方法 裂项放缩 ； 分式型、根式型通项 裂项相消 等比放缩 ； 指数型通项、递推数列 等比数列求和 糖水放缩 分式递推型通项 累加/累乘后求和 函数放缩 ； 含对数/根式通项 累加后结合对数性质化简 知识4 标准解题四步法 1．判结构，定方向：观察通项形式（分式/指数/对数），确定放大/缩小方向 2．选模型，找依据：匹配上述放缩类型，明确放缩公式及理论依据 3．控尺度，防过度：若放缩过度，从第2/3项开始放缩（前几项单独计算），或优化放缩公式 4．求其和，证结论：对放缩后的数列求和，结合求和结果推导目标不等式 考向1先求和再放缩 1．（2025·四川广元·模拟预测）已知数列满足：是公差为6的等差数列，是公差为9的等差数列，且. (1)证明：是等差数列； (2)设是方程的根，数列的前项和为，证明：. 2．（2025·浙江宁波·二模）在各项均为正数的数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 3．（2024·广西柳州·二模）设数列的前项和为，且；数列为等差数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）若为数列的前项和，求证：. 4．（2025·广西来宾·一模）设数列的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”． (1)若，判断数列是否是“数列”； (2)设是等差数列，其首项，公差，且是“数列”， ①求的值； ②设为数列的前项和，证明： 考向2裂项放缩 5．（2025·浙江嘉兴·一模）已知数列满足，（） (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围； (3)记，，数列的前项和为，求证：． 6．（2025·四川泸州·一模）已知数列是等差数列，记其前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列． ①求的前20项和； ②证明：． 7．（2025·山东滨州·模拟预测）已知各项均为正数的数列的前项和为. (1)求证；数列是等差数列，并求的通项公式； (2)若表示不超过的最大整数，如，求的值. 8．（2025·陕西安康·三模）已知数列满足，， （1）求; （2）若数列满足，，求证：． 考向3等比放缩 9．（2025·广东佛山·模拟预测）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)证明：. 10．（2025·黑龙江伊春·三模）已知数列的首项为1，为数列的前n项和，，其中． (1)若成等差数列，求的通项公式； (2)设数列满足，且，数列的前n项和为，证明：． 11．（2025·云南普洱·一模）已知数列中，，其前项的和为，且当时，满足． （1）求证：数列是等差数列； （2）证明：． 12．（2025·河南三门峡·一模）已知函数，数列中，若，且. （1）求证：数列是等比数列； （2）设数列的前项和为，求证：. 考向4数列的前n项和与函数 13．（2024·广东惠州·二模）设数列的前项和为，，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)证明：对一切正整数，有. 14．（2024·河北保定·二模）已知公差不为0的等差数列满足：且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式和前项和； (2)证明不等式且 15．（2024·黑龙江鸡西·模拟预测）数列的前项和为， 满足 且首项 . (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)令讨论（为的导数）与 的大小关系. 16．（2025·黑龙江黑河·二模）已知函数在点处的切线与轴重合． (1)求函数的单调区间与极值； (2)已知正项数列满足，，，记数列的前项和为，求证：． 考点二 导数放缩 知识1 导数放缩思路 依托函数放缩结论（切线放缩为主），将复杂函数（含、、三角）放缩为简单函数（一次/二次/反比例函数），简化导数综合题的求导、最值求解过程，突破不等式证明、恒成立求参等难点。 知识2 导数放缩公式（指对三角为主，切线放缩是基础） （1）对数放缩：；； （2）指数放缩：；； （3）三角放缩：； （4）常用变式：；； 知识3 高考解题六步法 1．先定定义域：重点关注（）、分式（分母≠0）、三角（定义域限制） 2．观察结构定模型：找、、三角等特征项，匹配对应放缩公式 3．确定放缩方向：证则放小，证则放大；优先用等号可验证的切线型放缩 4．构造辅助函数：放缩后构造简单函数，求导判断单调性 5．求最值证结论：求辅助函数的最值，推导原不等式成立 6．验证等号条件：明确等号成立的值，不同时取等则为严格不等 考向1与ex有关的放缩. 1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的单调性并求其最值； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 2．（2024·湖南邵阳·模拟预测）设函数，. (1)若，求a的值 (2)证明：. 3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数． （1）求函数图象在处的切线方程． （2）证明：． 4．（2024·湖南张家界·模拟预测）已知，当时，若关于的方程有两个实数根，求证：． 考向2与lnx有关的放缩， 5．（2025·河南商丘·模拟预测）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个实数根，且，求证：． 6．（2025·山西临汾·三模）已知函数f（x）=lnx-x+1. （1）求函数f（x）的单调区间； （2）证明：当a≥1时，ax2+3x-lnx>0. 7．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调区间． (2)，证明：． 8．（2025·甘肃平凉·一模）已知函数. （Ⅰ）设是的极值点，求的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，在定义域内恒成立，求的取值范围； （Ⅲ）当时，证明：. 考向3与sinx，cosx，tanx有关的放缩 9．（2025·广东深圳·一模）已知函数. (1)已知直线是曲线的切线，求实数a的值； (2)求函数的单调区间； (3)求证：恒成立. 10．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数，. (1)求证：； (2)若，求的取值范围. 11．（2025·江西抚州·一模）已知函数，，． (1)求的最大值； (2)若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)证明不等式（其中是自然对数的底数）． 12．（2025·湖南益阳·一模）已知函数． （1）求函数的单调区间及最值； （2）证明：，． 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $ 技巧03 放缩法在数列、导数等解题中的技巧 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 3 考点一 数列放缩 3 必备知识 知识1数列放缩思路 知识2数列放缩公式 知识3经典放缩类型与适配场景 知识4标准解题四步法 命题预测 考向1先求和再放缩 考向2裂项放缩 考向3等比放缩 考向4数列的前n项和与函数 考点二 导数放缩 19 必备知识 知识1导数放缩思路 知识2导数放缩公式 知识3高考解题六步法 命题预测 考向1与ex有关的放缩. 考向2与lnx有关的放缩， 考向3与sinx，cosx，tanx有关的放缩 命题轨迹透视 近三年全国卷中，放缩法是导数、数列模块的核心考查技巧，属拉分考点且区分度高。导数放缩为解答题压轴必考点，常出现在最后1-2问，分值12-14分，命题降低纯构造难度，将放缩作为常规解题工具。数列放缩多在解答题中后段呈现，分值不低，得分率常低于40%。二者均侧重考查逻辑推理、数学运算等核心素养，突出模块融合，常考“数列+导数”“数列+不等式”综合题，通过把控放缩的尺度与方向设置解题门槛，成为筛选考生思维能力的重要载体。 考点一 数列放缩 知识1 数列放缩思路 从数列通项公式入手变形，向可求和数列靠拢（优先裂项相消数列、等比数列），通过放缩将复杂数列转化为易求和的简单数列，再通过求和推导不等式。 知识2 数列放缩公式 （1）裂项放缩：；； （2）糖水不等式：若，，则；若，，则 （3）二项式放缩：； （4）指数放缩：； 知识3 经典放缩类型与适配场景 放缩类型 核心公式 适配通项特征 求和方法 裂项放缩 ； 分式型、根式型通项 裂项相消 等比放缩 ； 指数型通项、递推数列 等比数列求和 糖水放缩 分式递推型通项 累加/累乘后求和 函数放缩 ； 含对数/根式通项 累加后结合对数性质化简 知识4 标准解题四步法 1．判结构，定方向：观察通项形式（分式/指数/对数），确定放大/缩小方向 2．选模型，找依据：匹配上述放缩类型，明确放缩公式及理论依据 3．控尺度，防过度：若放缩过度，从第2/3项开始放缩（前几项单独计算），或优化放缩公式 4．求其和，证结论：对放缩后的数列求和，结合求和结果推导目标不等式 考向1先求和再放缩 1．（2025·四川广元·模拟预测）已知数列满足：是公差为6的等差数列，是公差为9的等差数列，且. (1)证明：是等差数列； (2)设是方程的根，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】 【详解】（1）因为是公差为6的等差数列，则， 设，可得，， 又因为是公差为9的等差数列， 则， 可得，即， 且，解得， 即，，可得， 综上所述：，所以是等差数列. （2）构建，则是函数的零点 因为，则在上单调递增， 且，可知有且仅有一个零点， 又因为， 可知数列是以首项，公比为的等比数列， 则， 又因为，可得， 所以. 2．（2025·浙江宁波·二模）在各项均为正数的数列中，，且． (1)求的通项公式； (2)若，数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为各项为正数，， 所以上式两边同时除以，得， 令，则，即，解得（负值舍去）， 所以， 又， 所以是以，的等比数列， 故. （2）由（1）得， 所以， 因为，则，所以. 3．（2024·广西柳州·二模）设数列的前项和为，且；数列为等差数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）若为数列的前项和，求证：. 【答案】（1）；（2）见解析. 【分析】 【详解】（1）由，令，则， 又，所以，当时，由， 所以，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列，于是. （2）数列为等差数列，公差可得， 从而， ， ， . 【点睛】本题考查等比数列通项公式、错位相减法求数列前项和，求和后要注意验证是否成立. 4．（2025·广西来宾·一模）设数列的前项和为．若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”． (1)若，判断数列是否是“数列”； (2)设是等差数列，其首项，公差，且是“数列”， ①求的值； ②设为数列的前项和，证明： 【答案】(1)是“数列” (2)①；②证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为， 当时，， 当时，， 又，即也满足， 综上可得， 当时存在或使得（即或）， 对于任意的正整数，总存在正整数，此时， 综上可得对于任意的正整数，总存在正整数，此时， 故是“数列”； （2）①因为是等差数列，其首项，公差，设的前项和为， 故，， 对任意的正整数，总存在正整数，使得， 即， 当时，，此时只需， 当时，，解得， 又，故,又为正整数，故,此时； 当时，， 下面证明恒为正偶数， 当时，，满足要求， 假设当时，为正偶数， 则当时，， 由于和均为正偶数，故为正偶数，满足要求， 所以恒为正偶数，证毕， 所以. ②由①可得，所以， 所以 ， 因为， 所以单调递减且，所以， 所以. 考向2裂项放缩 5．（2025·浙江嘉兴·一模）已知数列满足，（） (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求的取值范围； (3)记，，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为， 当时，， 两式作商，， 时，也符合上式， . （2）由（1）可知 不等式对恒成立，且， ． 令，在上单调递减，在上单调递增 ，当时，， 当时，， 的取值范围为 （3）因为， 所以是递减数列， 所以，所以， 所以原不等式成立． 6．（2025·四川泸州·一模）已知数列是等差数列，记其前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)将数列与的所有项从小到大排列得到数列． ①求的前20项和； ②证明：． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，得，即， 由，取，得，即， 解得，，所以； （2）①由（1）知，，所以， 因为， 所以，所以的前20项和为； ②证明：因为，所以， 所以当时，； 当时， ， 综上可得. 7．（2025·山东滨州·模拟预测）已知各项均为正数的数列的前项和为. (1)求证；数列是等差数列，并求的通项公式； (2)若表示不超过的最大整数，如，求的值. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】 【详解】（1）因为，所以当时，，即，而，有，所以 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列； ，则 当时，，又满足上式， 所以的通项公式为. （2），当时，， 故， 当时，，所以对任意的，都有， 又，所以.所以. 8．（2025·陕西安康·三模）已知数列满足，， （1）求; （2）若数列满足，，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】 【详解】（1）由题意（）， ∴，也适合． 所以（）； （2）由已知，，， 当时，， 因此， 则 综上，． 【点睛】本题考查累乘法和累加法求数列的通项公式．本题还考查了用放缩法证明数列不等式．对一些特殊的递推公式，求通项公式的方法可能采用累乘法和累加法，如已知 ，可用累加法求通项公式，如已知，可用累乘法求通项公式． 考向3等比放缩 9．（2025·广东佛山·模拟预测）记为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列. (1)求的通项公式； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1），，即； 当且时，， 即，，又， 数列是以为首项，为公比的等比数列， ，则. （2）由（1）得：， ，， . 10．（2025·黑龙江伊春·三模）已知数列的首项为1，为数列的前n项和，，其中． (1)若成等差数列，求的通项公式； (2)设数列满足，且，数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）解：由得，两式相减得， 由可得，故对所有都成立， 所以数列是首项为1，公比为q的等比数列，从而， 由成等差数列可得，化简得， 又，解得（舍去）， 所以． （2）由题意可知， 由可得，解得（舍去）， 又，则，即， 则， 即． 11．（2025·云南普洱·一模）已知数列中，，其前项的和为，且当时，满足． （1）求证：数列是等差数列； （2）证明：． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）当n≥2时，Sn﹣Sn﹣1⇒Sn﹣Sn﹣1＝Sn•Sn﹣1（n≥2），取倒数，可得1，利用等差数列的定义即可证得：数列{}是等差数列； （2）利用进行放缩并裂项求和即可证明 【详解】（1）当时，， ，即 从而构成以1为首项，1为公差的等差数列． （2）由（1）可知，，． 则当时． 故当时 又当时，满足题意，故． 法二：则当时， 那么 又当时，，当时，满足题意， 【点睛】本题考查数列递推式的应用，考查等差数列的判定，考查等价转化思想，突出裂项法、放缩法应用的考查，属于难题． 12．（2025·河南三门峡·一模）已知函数，数列中，若，且. （1）求证：数列是等比数列； （2）设数列的前项和为，求证：. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】 【详解】（1）由函数，在数列中，若，得：， 上式两边都倒过来，可得：＝＝﹣2， ∴﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3＝3（﹣1）．∵﹣1＝3． ∴数列是以3为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1），可知：＝3n，∴an＝，n∈N*． ∵当n∈N*时，不等式＜成立． ∴Sn＝a1+a2+…+an＝＝＝﹣•＜． ∴． 【点睛】本题主要考查数列与函数的综合应用，根据条件推出数列的递推公式，由递推公式推出通项公式与放缩法的应用是解决本题的两个关键点，属于中档题． 考向4数列的前n项和与函数 13．（2024·广东惠州·二模）设数列的前项和为，，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)证明：对一切正整数，有. 【答案】(1)，； (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）当时，，，两式相减得：， 整理可得：，而， 所以是首项为2，公比为1的等比数列，故，即，. （2）， . . 14．（2024·河北保定·二模）已知公差不为0的等差数列满足：且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式和前项和； (2)证明不等式且 【答案】(1)（） (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）解：设数列公差为，     因为，，成等比数列. 所以，即, 得,又，所以. 故 （）, （2）证明：由（1）得  ， 因为当时，.， 即.， 所以 , 即. 15．（2024·黑龙江鸡西·模拟预测）数列的前项和为， 满足 且首项 . (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)令讨论（为的导数）与 的大小关系. 【答案】(1)证明见解析， (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）由已知可得时，， 两式相减得，即， ∴， 当时，，∴， ∵，∴，∴， 故有，∴， ∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴，故. （2）∵，∴， ∴ ， ∴， ①-②得， ， ∴， ∴， 当时，，∴. 当时，，∴. 当时， ，∵， ∴ ，∴ ， 综上，当时，； 当时，； 当时，. 16．（2025·黑龙江黑河·二模）已知函数在点处的切线与轴重合． (1)求函数的单调区间与极值； (2)已知正项数列满足，，，记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)答案见详解 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为，且， 由题意可得，即，可得， 可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以有极大值，无极小值． （2）由（1）可得，当且仅当时取等号， 可得，当且仅当时取等号， 等价变形为，即，当且仅当时取等号， 代入题干中可得， 则，即， 当时，，即， 且符合上式，所以，，则， 由，令得，即， 所以. 考点二 导数放缩 知识1 导数放缩思路 依托函数放缩结论（切线放缩为主），将复杂函数（含、、三角）放缩为简单函数（一次/二次/反比例函数），简化导数综合题的求导、最值求解过程，突破不等式证明、恒成立求参等难点。 知识2 导数放缩公式（指对三角为主，切线放缩是基础） （1）对数放缩：；； （2）指数放缩：；； （3）三角放缩：； （4）常用变式：；； 知识3 高考解题六步法 1．先定定义域：重点关注（）、分式（分母≠0）、三角（定义域限制） 2．观察结构定模型：找、、三角等特征项，匹配对应放缩公式 3．确定放缩方向：证则放小，证则放大；优先用等号可验证的切线型放缩 4．构造辅助函数：放缩后构造简单函数，求导判断单调性 5．求最值证结论：求辅助函数的最值，推导原不等式成立 6．验证等号条件：明确等号成立的值，不同时取等则为严格不等 考向1与ex有关的放缩. 1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断函数的单调性并求其最值； (3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；最小值是0，没有最大值 (3) 【分析】 【详解】（1）因为，，所以． 因为，， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）由（1）知，． 当时，，所以函数在区间上单调递减； 当时，，所以函数在区间上单调递增． 所以当时，函数取得极小值，也是最小值． 因为，所以函数的最小值是0，没有最大值． （3）设， 则，． 当时，在上恒成立，当且仅当时，等号成立， 所以函数在上单调递增，所以，满足题意． 当时，设函数，则，． 解得，解得． 当，即时，在上恒成立， 函数在上单调递增，所以， 即在上恒成立，所以函数在上单调递增， 所以，满足题意． 当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在区间上单调递减． 因为，所以在区间上恒成立，与已知矛盾，不合题意． 综上，实数的取值范围是． 2．（2024·湖南邵阳·模拟预测）设函数，. (1)若，求a的值 (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）设，则. 当时，在R上单调递增，且，当时，不符合题意，舍去. 当时，令，则；令，则.故在上单调递减，在上单调递增， 故. 若，则只需，设， 则，所以在上单调递增，在上单调递减，故， 因此，只有当时满足题意，即. （2）由（1）知，，，当且仅当时，等号成立. 令，代入可得，即. 由（1）知，，即，故， 因此，即. 3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知函数． （1）求函数图象在处的切线方程． （2）证明：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】 【详解】（1）解：因为， 所以， 则． 因为， 所以所求切线方程为， 即． （2）证明：设，则． 由，得；由，得． 所以在上单调递减，在上单调递增， 故，即，当且仅当时取等号． 因为，所以， 所以，所以． 当时，， 所以， 则，即． 4．（2024·湖南张家界·模拟预测）已知，当时，若关于的方程有两个实数根，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】当时，，所以. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以. 因为方程有两个不相等的实根，所以. 且，（，）. 作函数在处的切线： ，，所以切线方程为，即. 设， 则，由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增，且. 所以恒成立. 所以恒成立，所以. 再设. 则，由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以恒成立，即恒成立， 所以. 所以. 考向2与lnx有关的放缩， 5．（2025·河南商丘·模拟预测）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若方程有两个实数根，且，求证：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）函数，则， ， 故函数在处的切线斜率为，切点坐标为， 所以切线方程为，即. （2）依题意，恒成立， 则恒成立. 令， 则， 所以，当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以， 所以. （3）函数，定义域为， ，解得，解得. 函数在上递减，在上递增， 故. 所要证的不等式左边是割线放缩，这两条割线为函数的最低点与及的连线，即与. 设两割线与直线交点的横坐标分别为. 解方程可得，， 当时，，； 当时，， 令，， 解得，解得， 在上单调递减，在上单调递增， 而，所以，． ， 根据单调性，可得， 所以，不等式左侧证明完毕. 不等式右侧是切线放缩，这两条切线分别是和时的两条切线， 由（1）可知，曲线在处的切线方程为， 时，， 曲线在处的切线斜率为1，切点坐标为，切线方程为， 切线和与的交点分别为． 同理可得， 综上可知，． 6．（2025·山西临汾·三模）已知函数f（x）=lnx-x+1. （1）求函数f（x）的单调区间； （2）证明：当a≥1时，ax2+3x-lnx>0. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）证明见解析. 【分析】 【详解】（1）由题意，函数的定义域为，且， 当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，即的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）证明：由（1）得在）上单调递增，在上单调递减， 所以，即，所以， 因为，所以则， 即,即. 7．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调区间． (2)，证明：． 【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）当时，，定义域为， ， 由可得；由可得． 所以的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）设，则， 由可得；由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故，即，即①， 当且仅当时，等号成立． 要证，即，只需证． 因为，，所以，所以②， 当且仅当时，等号成立． 因为①②取得等号的条件不同，所以当时，． 8．（2025·甘肃平凉·一模）已知函数. （Ⅰ）设是的极值点，求的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，在定义域内恒成立，求的取值范围； （Ⅲ）当时，证明：. 【答案】(Ⅰ)1(Ⅱ)2（Ⅲ）详见解析 【分析】（Ⅰ）对函数求导，由题意知，可求出的值，经检验m=1符合题意；（Ⅱ）求出函数的单调性，进而求出最小值，令即可得到答案；（Ⅲ）由题意，当m≤2，x∈（-m，+∞）时，，故只需证明当m=2时，，进而分析函数单调性，求得，即可． 【详解】解：（Ⅰ）∵，x=0是f（x）的极值点，∴，解得m=1． 经检验m=1符合题意. （Ⅱ）由（ Ι）可知，函数f（x）=ex-ln（x+1）+1，其定义域为（-1，+∞）． ∵       设g（x）=ex（x+1）-1，则g′（x）=ex（x+1）+ex＞0，所以g（x）在（-1，+∞）上为增函数， 又∵g（0）=0，所以当x＞0时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当-1＜x＜0时，g（x）＜0，f′（x）＜0． 所以f（x）在（-1，0）上为减函数；在（0，+∞）上为增函数；因此，的最小值为 ∵在定义域内恒成立,即              （Ⅲ）证明：要证，即. 设,即证 当m≤2，x∈（-m，+∞）时，，故只需证明当m=2时，. 当m=2时，函数在（－2，+∞）上为增函数，且． 故在（－2，+∞）上有唯一实数根，且∈（－1，0）． 当时，，当时，, 从而当时，取得最小值．     由，得，即，故． 综上，当m≤2时， 即＞m． 【点睛】本题考查了函数的求导，及函数的单调性的运用，属于难题． 考向3与sinx，cosx，tanx有关的放缩 9．（2025·广东深圳·一模）已知函数. (1)已知直线是曲线的切线，求实数a的值； (2)求函数的单调区间； (3)求证：恒成立. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）， ，解得切点为， . （2）， 当时，单调递减， 当时，， 单调递增，单调递递增. 综上所述，在上单调递减，在上单调递增. （3）恒成立， 恒成立恒成立. 令， 则， 令，则单调递增， 又，当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增； 恒成立. 【点睛】方法点睛：切点与切线的关系：在小问1中，利用导数求出曲线在给定直线为切线时的斜率，再通过求解切点的方法确定参数的值，这是典型的求切线与曲线关系的方法. 多次求导法：在小问2中，通过对函数进行多次求导，判断导数的符号变化来确定单调区间，是分析函数单调性的常用手段. 构造函数法求证不等式：在小问3中，通过将不等式转化为关于某变量的函数问题，利用构造函数并结合单调性分析来证明恒成立，是一种常用的不等式证明方法. 10．（2025·河南驻马店·模拟预测）已知函数，. (1)求证：； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）令，， 则， 令，， 则， 所以在上单调递增，则，即， 所以在上单调递增. 故，即. （2）方法1：由（1）知，所以当时， 先证明：当时，，因为，， 导函数，故为减函数，则， 即当时，. 又当时，取，满足， 所以 综上，的取值范围是. 方法2：若，则. 下设，当时，. 因为当时，，所以当时，有 设，.则.所以在上单调递减，.则当时，的取值范围是，故. 必要性已得，下面讨论充分性. 当时，， 令，则 今，，则 所以在上单调递增，则，故.因此， 综上，的取值范围是. 【点睛】方法点睛： （1）求导分析函数单调性时，可设导数中需要讨论正负的部分为新函数，再求导分析单调性与特殊值，从而确定正负区间，进而确定原函数的单调性； （2）第二问可注意使用前问的结论，遇到三角函数时，注意运用三角函数公式化简，同时注意三角函数的值域进行不等式放缩. 11．（2025·江西抚州·一模）已知函数，，． (1)求的最大值； (2)若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)证明不等式（其中是自然对数的底数）． 【答案】(1)0 (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1），，， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以当时，取得最大值，即． （2）对，总存在使得成立， 等价于存在使得成立， 由（1）可知，问题转化为存在，使得， ，，当时， ①当时，若，，函数单调递减，，不符合题意； ②当时，，使得， 时，，函数单调递增；时，，函数单调递减， 即，则，使得，符合题意； ③当时，若，，函数单调递增，， 则，使得，符合题意； 综上可知，所求实数的取值范围是 （3）由（2）可得当时，若，，令，，有； 再由（1）可得：，则， 即，也即，∴， ． 则 所以． 【点睛】本题考查了利用导数求最值，根据函数不等式求参数范围，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，分类讨论求单调区间进而求最值是解题的关键，利用不等式放缩证明不等式是本题的难点. 12．（2025·湖南益阳·一模）已知函数． （1）求函数的单调区间及最值； （2）证明：，． 【答案】（1）函数的单调递增区间是，单调递减区间是，函数的最小值是，无最大值；（2）证明见解析． 【详解】（1）解：， 当时，， 所以，单调递减； 当时，， 所以单调递增， ， 所以， 所以单调递增． 所以． 综上，函数的单调递增区间是， 单调递减区间是， 函数的最小值是，无最大值． （2）证明：由第（1）问知，当时，， 取，，，，…，，， 有 故， ， ， …… 所以 ． 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $