技巧04 数学文化、阅读材料、新定义的答题技巧及方法（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

技巧04 数学文化、阅读材料、新定义的答题技巧及方法 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 3 考点一 数学文化、阅读材料、新定义 3 必备知识 知识1三步审题转化法 命题预测 考向1与传统文化与数学史相关 考向2与其他学科知识相关 考向3与社会热点和科技前沿相关 考向4与生活实际相关 考向5新定义问题 命题轨迹透视 近三年全国卷高考数学中，数学文化、阅读材料、新定义题型为高频基础中档考点，常以选择、填空为主，偶现解答题基础问，分值约5-12分，侧重考查信息提取与知识迁移能力。数学文化多结合古代数学典籍、经典模型，融入函数、数列、几何等模块，强调文化背景与数学知识的结合；阅读材料题以文字、图表为载体，信息量大但难度低，核心考查快速理解并转化为数学问题的能力；新定义题围绕新符号、新规则展开，立足基础知识点进行延伸，侧重逻辑推理与即时应用。三类题型命题稳定，贴合课标要求，成为考查数学核心素养的重要载体，区分度适中。 考点一 数学文化、阅读材料、新定义 知识1三步审题转化法 首先通过三阶审题完成实际情境到数学问题的转化： 第一步快速扫读题干，过滤无关的文化背景、生活情境等素材，圈画新定义、新符号、关键数据与限定条件，定位核心研究对象； 第二步精准解读题干内涵，将文字、图表描述的信息转化为规范的数学语言，明确新定义、新规则的本质； 第三步结合高中数学核心知识，对接函数、数列、几何、不等式等模块，构造贴合题意的数学模型，实现复杂实际问题向可求解数学问题的转化。 随后选用适配的数学方法求解构建的模型，得出初步结果，再完成数学问题到实际结果的二次转化：将求解结果回归原题的文化/生活/新定义情境中进行检验讨论，验证答案的合理性、贴合性，确保结果符合题干的实际背景与限定要求，最终规范书写解题步骤完成作答。其中，过滤无效情境、精准构建数学模型是解题关键，是连接审题与求解的核心环节，直接决定解题方向的正确性。 考向1与传统文化与数学史相关 1．（2024·陕西汉中·二模）《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（    ） A．23岁 B．32岁 C．35岁 D．38岁 2．（2025·四川雅安·模拟预测）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“重差术”，即通过立表测量影长来计算远处目标的高度和距离的方法.测量时使用的标杆高度为h（称为“表高”），太阳天顶距为（太阳光线与垂直于地面方向的夹角，且）.根据三角学知识，标杆在地面上的影长与表高满足关系：.假设对同一表高进行两次测量，第一次测量时太阳天顶距为，影长为表高的2倍，第二次测量时太阳天顶距为，且满足，则第二次测量时影长是表高的（   ） A．1倍 B．倍 C．倍 D．倍 3．（2024·云南昭通·一模）17世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为17世纪的三大数学发明，我们知道，任何一个正实数N可以表示成的形式，两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值（如下表），则下列说法中正确的有（    ） 真数x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （近似值） 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1.000 真数x 11 12 13 14 15 16 17 （近似值） A．在区间内 B．若，则 C．是15位数 D．若是一个35位正整数，则 4．（2025·广东汕尾·模拟预测）祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家，他在实践的基础上提出了“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等，这就是“祖暅原理”．现有一个空心铁质半球壳，外半径为，内半径为（厚度均匀），放入水中后漂浮（平面朝下）．已知浸入水中部分的深度为，则浸入水中部分的体积为______． 5．（2025·山东枣庄·一模）庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（上袤下袤）广高．如图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为，广为，上袤是下袤的，和与底面所成角均为，则该刍甍的体积为________． 6．（2024·湖北鄂州·二模）伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是的双纽线C上一点，下列说法正确的是（   ） A．若直线交双纽线C于A，B，O三点（O为坐标原点），则 B．双纽线C上满足的点有1个 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围为 考向2与其他学科知识相关 7．（2025·河南开封·一模）溶液酸碱度用pH值表示，其计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且pH越大，酸度越弱，碱性越大.下列命题中，真命题是（    ） A．已知纯净水的，则纯净水中摩尔/升 B．已知胃酸中摩尔/升，则胃酸的 C．溶液中摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强 D．溶液中摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大 8．（2025·宁夏吴忠·一模）生物中DNA转录为RNA时服从碱基互补配对原则，即：，但许多化学因子能修饰碱基，使其转录出不同的产物，比如X标记处理后的碱基互补配对原则变为：，现在小明将2个A，2个C，2个G，2个T其中1个X标记组成一个DNA分子，则其转录出的RNA有（    ）种 A．8400 B．6720 C．5880 D．4200 9．（2025·广东佛山·模拟预测）惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的.负电荷中心与原子核重合，但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用.今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，原子核正电荷的电荷量为，这两个相距为的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能，其中为静电常量，，分别表示两个原子负电中心相对各自原子核的位移，且和都远小于，当远小于1时，，则的近似值为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·湖南郴州·一模）在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长的正方体），用来展示晶体中的八面体配位环境：位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八面体包围中心的，则该正八面体配位多面体模型的体积是（    ） A． B．2 C． D． 11．（2025·辽宁大连·一模）已知某星球的球心为，半径为，该星球的卫星的运行轨道是以为一个焦点的椭圆，该椭圆的离心率为，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，若当卫星处于某位置时，用卫星上的光学仪器观测该星球，把光学仪器的镜头与星球表面被观测点的连线称为视线，任意两条视线所成的最大夹角称为张角，则卫星运行过程中张角的最小值为______．（精确到0.1°） 12．（2024·辽宁锦州·三模）数学与音乐有着紧密的关联，每一个音都是由纯音合成，纯音的数学模型是函数．我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个纯音的结合，称为复合音．复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一部分、三分之一部分、四分之一部分等也同时在振动．已知刻画某声音的函数为：． (1)求函数在上的单调区间； (2)函数，若在上有三个不同的极值点，证明：为定值． 考向3与社会热点和科技前沿相关 13．（2024·四川广元·三模）（多选）随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线的左､右焦点分别为，，双曲线的光学性质是：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示. 由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.若的最小值为2，且双曲线C的渐近线为，则下列结论正确的有（    ） A．双曲线C的方程为 B．若，则的面积为24 C．若点处的切线交轴于，则轴 D．当n过点时，光由所经过的路程为13 14．（2024·湖南益阳·二模）阅读下面两则材料解决问题: 材料一: 2025 年 4 月 29 日，长征火箭再次腾空，将 “互联网低轨卫星” 成功送入预定轨道. 低轨卫星距地面一般为 160~2000 公里，与高轨卫星相比，有速度快、 回传信号质量高等特点，在半径为 6400 公里的地球上空，更像 “贴地飞行”. 材料二: 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高(如图). 当球面半径为 ，球冠高为 时，球冠表面积 .问题:若某低轨卫星位于赤道正上方 1600 公里高度的轨道，保持高度绕地球一圈 (地球相对静止)，回传信号沿直线传输(能直线观测到卫星的地面均可接收到信号)，则该卫星回传信号的地表覆盖面积百分比为_____. 15．（2025·江西萍乡·三模）上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2），风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量，因此我们需要作出一些合理的假设： 假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥； 假设2：两圆锥的轴在同一条直线上； 假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计． 截面图如下（图3），其中，，，则制作个这样的惊鸟铃的铃身至少需要______千克铜．（铜的密度为）（结果精确到个位） 16．（2024·江苏盐城·模拟预测）中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本（LCOE）也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数对计算度电成本具有重要影响．等年值系数和设备寿命周期N具有如下函数关系，r为折现率，寿命周期为10年的设备的等年值系数约为0.13，则对于寿命周期约为20年的光伏-储能微电网系统，其等年值系数约为（    ） A．0.09 B．0.08 C．0.07 D．0.05 17．（2025·湖北武汉·一模）如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为_______________.    18．（2025·山西大同·二模）（多选）现有一款制作芝士蛋糕的模具，其“模具口”呈椭圆形，并嵌于正方形网格中（如图1）.以正方形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系（如图2），得到“模具口”椭圆图形的方程，其两焦点分别为，，设为上一动点，则（    ） A．的长轴长为 B．的离心率为 C．不可能大于 D．正方形网格中单个正方形的面积为30 考向4与生活实际相关 19．（2025·广西柳州·模拟预测）如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊香”的长度为________． 20．（2025·黑龙江鹤岗·一模）体现中华传统文化的油纸伞至今已有多年的历史；如图，是一把撑开后摆放在地面上的油纸伞，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则______________.    21．威宁草海国家级自然保护区是世界十大观鸟基地，被誉为“贵州旅游皇冠上的一块蓝宝石”；有“高原明珠”、“鸟类王国”等美誉，推广旅游文化的传统工艺种类繁多，文化内涵丰富.其中有一家声名远扬的传统手工艺制作工厂，此手工艺品蕴含着丰富的文化内涵，制作工艺精细复杂.该厂近期接到一份制作传统手工艺品的重要订单.已知生产该手工艺品的固定成本为9万元.每生产x万件，额外投入成本万元，且这款手工艺品在市场上广受欢迎，出厂单价统一为12元.但由于市场需求和工艺限制，预估市场需求量最多为20万件，问题： (1)当工厂生产2万件时，求工厂的利润（利润销售收入总成本）； (2)要使工厂利润最大，应生产多少万件？并求出最大利润. 22．（2025·四川巴中·二模）2021年3月30日我国知名品牌小米公司启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Logo（如图），设计师的灵感来源于数学中的曲线C：．给出下列四个结论： ①对任意的且，曲线C总关于原点成中心对称 ②当时，曲线C上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点） ③当时，曲线C围成的图形面积可以为 ④当时，曲线C上的点到原点最近距离为 其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．（2025·广西河池·模拟预测）网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务.小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图.为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触.外包装看作长方体，如图所示，记长方体的纵截面为矩形，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够.则小金将冰箱运送入客户家中时，倾斜角的度数至少为_____.（精确到0.01） 24．（2024·海南三亚·三模）市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，，，坐垫E与点B的距离BE为15cm．    (1)求坐垫E到地面的距离； (2)小明的腿长为80cm，根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长（结果精确到0.1）（参考数据：，，） 考向5新定义问题 25．（2025·河南三门峡·二模）如图所示的曲线C被称为伯努利双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其几何性质可以描述为：平面上的动点到两定点的距离满足：，则以下结论中不正确的是（ ） A．若是曲线上一点，且在第一象限，则 B．当时，的最大值是（为坐标原点） C．曲线C的方程是： D．面积的最大值是. 26．（2025·湖北宜昌·模拟预测）对于数列，定义为数列的“优值”，现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则（   ） A．2027 B． C．2029 D． 27．（2025·浙江嘉兴·三模）在空间中，我们把点集表示的曲面T称为圆柱面，借助比利时数学家Dandelin的思想我们不难发现：任意不与z轴平行或垂直的平面截T所得封闭曲线为椭圆.设圆柱面，正四棱锥的五个顶点均在E上，且z轴与平面ABCD的夹角为，则正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 28．（2025·安徽淮北·模拟预测）如图，建立如下斜坐标系：设，是平面内相交成 角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作，则在斜坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为，则线段的长度为 B．点满足，则的轨迹与轴，轴正半轴围成的区域面积小于 C．点满足，则的最大值为 D．定义点与（多选）点坐标距离为，平面上一点，若动点（，）满足：①；②，则点运动所形成的轨迹长为2 29．（2025·吉林通化·模拟预测）设集合，满足下列性质的集合称为“TB集合”：集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则的子集中有___________个“TB集合”. 30．（2025·贵州贵阳·二模）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数个数．例如（不超过正整数3，且与3互素的正整数有1和2）．欧拉函数有很多性质，比如欧拉函数是积性函数，即如果互素，则．计算___________，数列的前项和___________． 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $ 技巧04 数学文化、阅读材料、新定义的答题技巧及方法 目录 01 析·考情精解 2 02 构·知能框架 3 03 破·题型攻坚 3 考点一 数学文化、阅读材料、新定义 3 必备知识 知识1三步审题转化法 命题预测 考向1与传统文化与数学史相关 考向2与其他学科知识相关 考向3与社会热点和科技前沿相关 考向4与生活实际相关 考向5新定义问题 命题轨迹透视 近三年全国卷高考数学中，数学文化、阅读材料、新定义题型为高频基础中档考点，常以选择、填空为主，偶现解答题基础问，分值约5-12分，侧重考查信息提取与知识迁移能力。数学文化多结合古代数学典籍、经典模型，融入函数、数列、几何等模块，强调文化背景与数学知识的结合；阅读材料题以文字、图表为载体，信息量大但难度低，核心考查快速理解并转化为数学问题的能力；新定义题围绕新符号、新规则展开，立足基础知识点进行延伸，侧重逻辑推理与即时应用。三类题型命题稳定，贴合课标要求，成为考查数学核心素养的重要载体，区分度适中。 考点一 数学文化、阅读材料、新定义 知识1三步审题转化法 首先通过三阶审题完成实际情境到数学问题的转化： 第一步快速扫读题干，过滤无关的文化背景、生活情境等素材，圈画新定义、新符号、关键数据与限定条件，定位核心研究对象； 第二步精准解读题干内涵，将文字、图表描述的信息转化为规范的数学语言，明确新定义、新规则的本质； 第三步结合高中数学核心知识，对接函数、数列、几何、不等式等模块，构造贴合题意的数学模型，实现复杂实际问题向可求解数学问题的转化。 随后选用适配的数学方法求解构建的模型，得出初步结果，再完成数学问题到实际结果的二次转化：将求解结果回归原题的文化/生活/新定义情境中进行检验讨论，验证答案的合理性、贴合性，确保结果符合题干的实际背景与限定要求，最终规范书写解题步骤完成作答。其中，过滤无效情境、精准构建数学模型是解题关键，是连接审题与求解的核心环节，直接决定解题方向的正确性。 考向1与传统文化与数学史相关 1．（2024·陕西汉中·二模）《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，如“九儿问甲歌”：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．在这个问题中，这位公公的长儿的年龄为（    ） A．23岁 B．32岁 C．35岁 D．38岁 【答案】C 【详解】设第n个儿子的年龄为岁，由题可知是等差数列，设其公差为d，前n项和为， 易得，则 ， 解得， 即这位公公的长儿的年龄为35岁． 故选：C. 2．（2025·四川雅安·模拟预测）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“重差术”，即通过立表测量影长来计算远处目标的高度和距离的方法.测量时使用的标杆高度为h（称为“表高”），太阳天顶距为（太阳光线与垂直于地面方向的夹角，且）.根据三角学知识，标杆在地面上的影长与表高满足关系：.假设对同一表高进行两次测量，第一次测量时太阳天顶距为，影长为表高的2倍，第二次测量时太阳天顶距为，且满足，则第二次测量时影长是表高的（   ） A．1倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】A 【详解】由题意，第一次测量时太阳天顶距为，影长为表高的2倍， 又标杆在地面上的影长与表高满足关系：， 所以， 又因为第二次测量时太阳天顶距为，且满足， 解得， 则第二次测量时影长， 即第二次测量时影长是表高的1倍. 故选：A. 3．（2024·云南昭通·一模）17世纪初，约翰·纳皮尔为了简化计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件，恩格斯曾经把笛卡尔的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为17世纪的三大数学发明，我们知道，任何一个正实数N可以表示成的形式，两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值（如下表），则下列说法中正确的有（    ） 真数x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （近似值） 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1.000 真数x 11 12 13 14 15 16 17 （近似值） A．在区间内 B．若，则 C．是15位数 D．若是一个35位正整数，则 【答案】ABD 【详解】对A ，令， 所以，A正确； 对B，令， 又因为，所以 则，所以，B正确； 对C，令， 所以，则是16位数， C错； 对D ，令，，因为是一个35位正整数， 所以，则，即， 所以，D正确； 故选：ABD 4．（2025·广东汕尾·模拟预测）祖暅是我国南北朝时期的伟大科学家，他在实践的基础上提出了“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等，这就是“祖暅原理”．现有一个空心铁质半球壳，外半径为，内半径为（厚度均匀），放入水中后漂浮（平面朝下）．已知浸入水中部分的深度为，则浸入水中部分的体积为______． 【答案】 【详解】以半球壳的球心为坐标原点，在高度为处作水平截面，半球壳的截面为圆环， 则圆环外半径为，内半径为， 则浸入水中部分的截面面积为，与无关， 发现浸入水中部分的截面面积与一个高度为，底面半径为的圆柱的截面面积相同， 又浸入水中部分的深度为，由祖暅原理知，浸入水中部分的体积为． 5．（2025·山东枣庄·一模）庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（上袤下袤）广高．如图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为，广为，上袤是下袤的，和与底面所成角均为，则该刍甍的体积为________． 【答案】640 【详解】如图，已知，，， 过点F作平面ABCD，垂足为O，连接OB，OC，Q为BC的中点，连接FQ， 因为，所以，，所以为平面BCF与底面所成的角，则，所以，则， 则该刍甍的体积（）． 故答案为：640 6．（2024·湖北鄂州·二模）伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线．在平面直角坐标系xOy中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线，已知点是的双纽线C上一点，下列说法正确的是（   ） A．若直线交双纽线C于A，B，O三点（O为坐标原点），则 B．双纽线C上满足的点有1个 C．的面积的最大值为 D．的周长的取值范围为 【答案】ABC 【详解】对于A，由双纽线的定义得：， 即，化简得：， 当时，点P的轨迹方程为， 令，解得或，所以，A正确； 对于B， ，由，得点P在y轴上， 在方程中，令，解得， 则满足的点P为，只有一个，B正确； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，的周长为，设， 则， 当且仅当时取等号，当时，，而点P不能在x轴上，则， 于是 即，则， ，因此的周长的取值范围为，D错误． 故选：ABC 考向2与其他学科知识相关 7．（2025·河南开封·一模）溶液酸碱度用pH值表示，其计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升，且pH越大，酸度越弱，碱性越大.下列命题中，真命题是（    ） A．已知纯净水的，则纯净水中摩尔/升 B．已知胃酸中摩尔/升，则胃酸的 C．溶液中摩尔/升时，溶液的酸性随氢离子浓度的增大而变强 D．溶液中摩尔/升时，溶液的碱性越大，氢离子浓度越大 【答案】C 【详解】对于A，令，则摩尔/升，故A错误； 对于B，胃酸的，故B错误； 对于C，当摩尔/升时， 根据可得当越大时，越小，故酸性越大，故C正确； 对于D，当摩尔/升时， 根据可得若溶液的碱性越大，则越大，故越小， 故D错误. 8．（2025·宁夏吴忠·一模）生物中DNA转录为RNA时服从碱基互补配对原则，即：，但许多化学因子能修饰碱基，使其转录出不同的产物，比如X标记处理后的碱基互补配对原则变为：，现在小明将2个A，2个C，2个G，2个T其中1个X标记组成一个DNA分子，则其转录出的RNA有（    ）种 A．8400 B．6720 C．5880 D．4200 【答案】C 【详解】由题意可知： 若标记的是A，转录出的结果为1个U，2个C，3个G，2个A，其转录出的RNA有种； 若标记的是C或T，转录出的结果均为：2个U，2个C，2个G，2个A，其转录出的RNA有种； 若标记的是G，转录出的结果为2个U，1个C，2个G，3个A，其转录出的RNA有种； 故转录出的RNA有种. 故选：C. 9．（2025·广东佛山·模拟预测）惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的.负电荷中心与原子核重合，但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用.今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，原子核正电荷的电荷量为，这两个相距为的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能，其中为静电常量，，分别表示两个原子负电中心相对各自原子核的位移，且和都远小于，当远小于1时，，则的近似值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意， ， 因为和都远小于，当远小于1时，， 所以 ， 故选：B 【点睛】本题考查的近似计算；考查运算求解能力和逻辑推理能力；对的表达式进行适当的变形，充分运用题中的数据是求解本题的关键；属于中档题. 10．（2025·湖南郴州·一模）在校园科技节的化学展区，小明的团队制作了一个立方体晶胞框架（棱长的正方体），用来展示晶体中的八面体配位环境：位于立方体的各面中心位置，它们构成一个正八面体包围中心的，则该正八面体配位多面体模型的体积是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由题意得：该正八面体是由底面边长为，高为1的两个同底的正四棱锥组成， 所以该正八面体配位多面体模型的体积为， 故选：C 11．（2025·辽宁大连·一模）已知某星球的球心为，半径为，该星球的卫星的运行轨道是以为一个焦点的椭圆，该椭圆的离心率为，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，若当卫星处于某位置时，用卫星上的光学仪器观测该星球，把光学仪器的镜头与星球表面被观测点的连线称为视线，任意两条视线所成的最大夹角称为张角，则卫星运行过程中张角的最小值为______．（精确到0.1°） 【答案】 【详解】设椭圆轨道的半长轴为，焦距为， 由题意可得，卫星运行过程中离该星球表面最近的距离为，在近日点即，又椭圆的离心率为，即， 由以上可得， 又由椭圆的光学性质可得在远日点时张角最小， 设此时张角为，则，即. 故答案为：. 12．（2024·辽宁锦州·三模）数学与音乐有着紧密的关联，每一个音都是由纯音合成，纯音的数学模型是函数．我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个纯音的结合，称为复合音．复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一部分、三分之一部分、四分之一部分等也同时在振动．已知刻画某声音的函数为：． (1)求函数在上的单调区间； (2)函数，若在上有三个不同的极值点，证明：为定值． 【答案】(1)增区间为：和，减区间为：和 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1），求导得， 又， ， 当，令，解得， 令，解得：或， 令，解得：或， 的增区间为：和，减区间为：和． （2）证明：， ， ， ， 在上有三个不同的极值点， 在上有三个不同的根，即在上有三个不同的根， 令，时，且，，方程转化为， 设方程的根为，则， 化简可得：， 则，即，即， ，即， ． 为定值，命题得证． 考向3与社会热点和科技前沿相关 13．（2024·四川广元·三模）（多选）随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，已知双曲线的左､右焦点分别为，，双曲线的光学性质是：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示. 由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.若的最小值为2，且双曲线C的渐近线为，则下列结论正确的有（    ） A．双曲线C的方程为 B．若，则的面积为24 C．若点处的切线交轴于，则轴 D．当n过点时，光由所经过的路程为13 【答案】ACD 【详解】对于A，由题意可知，因为双曲线C的渐近线方程为，所以，又，解得，所以C的方程为故A正确； 对于B，由，得， 在中，，由勾股定理及双曲线的定义知，， 即，所以，则，故B错误； 对于C，由题意可知，平分，由角平分线定理，得， 又，解得，，， 即轴，故C正确； 对于D，由题意可知，，当过点时， 由双曲线定义可得光由所经过的路程为，故D正确. 故选：ACD. 14．（2024·湖南益阳·二模）阅读下面两则材料解决问题: 材料一: 2025 年 4 月 29 日，长征火箭再次腾空，将 “互联网低轨卫星” 成功送入预定轨道. 低轨卫星距地面一般为 160~2000 公里，与高轨卫星相比，有速度快、 回传信号质量高等特点，在半径为 6400 公里的地球上空，更像 “贴地飞行”. 材料二: 球面被平面所截得的一部分叫做球冠，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高(如图). 当球面半径为 ，球冠高为 时，球冠表面积 .问题:若某低轨卫星位于赤道正上方 1600 公里高度的轨道，保持高度绕地球一圈 (地球相对静止)，回传信号沿直线传输(能直线观测到卫星的地面均可接收到信号)，则该卫星回传信号的地表覆盖面积百分比为_____. 【答案】 【详解】令地球半径，则低轨卫星到球心的距离为，过作地球的切线，切点为为， 交于，则垂直平分，，，， 低轨卫星绕赤道旋转一周没有扫到的部分为以分别为球冠底面圆心，高为的两个球冠， 没有扫到的面积为，球的表面积为， 所以该卫星回传信号的地表覆盖面积百分比为. 故答案为： 15．（2025·江西萍乡·三模）上海市奉贤区奉城镇的古建筑万佛阁（图1）的屋檐下常系挂风铃（图2），风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃，一般一个惊鸟铃由铜铸造而成，由铃身和铃舌组成，为了知道一个惊鸟铃的质量，可以通过计算该惊鸟铃的体积，然后由物理学知识计算出该惊鸟铃的质量，因此我们需要作出一些合理的假设： 假设1：铃身且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥； 假设2：两圆锥的轴在同一条直线上； 假设3：铃身内部有一个挂铃舌的部位的体积忽略不计． 截面图如下（图3），其中，，，则制作个这样的惊鸟铃的铃身至少需要______千克铜．（铜的密度为）（结果精确到个位） 【答案】 【详解】由题意可知，圆锥的底面半径为，高为， 圆锥的底面半径为，高为， 因为， 所以，制作个这样的惊鸟铃的铃身至少需要千克铜. 故答案为：. 16．（2024·江苏盐城·模拟预测）中国是全球最大的光伏制造和应用国，平准化度电成本（LCOE）也称度电成本，是一项用于分析各种发电技术成本的主要指标，其中光伏发电系统与储能设备的等年值系数对计算度电成本具有重要影响．等年值系数和设备寿命周期N具有如下函数关系，r为折现率，寿命周期为10年的设备的等年值系数约为0.13，则对于寿命周期约为20年的光伏-储能微电网系统，其等年值系数约为（    ） A．0.09 B．0.08 C．0.07 D．0.05 【答案】B 【详解】依题意，，解得， 当时，. 故选：B 17．（2025·湖北武汉·一模）如图，某水平测试场地修建了一个实体圆锥形通信屏蔽罩，其高为，底面圆直径，且点满足.现在点处固定一枚无线电信标，且在点有一微型无人机（视为一点）.点在母线上，无人机先在空中以直线航迹从点飞行到处，随后紧贴屏蔽罩表面飞行到点，设飞行路径总长度为.则的最小值为_______________.    【答案】 【详解】由题可知， 故该圆锥侧面展开图的圆心角，则连接可得， 又由题知，如图建立平面直角坐标系    则，由两点之间线段最短可得， 所以， 故答案为： 18．（2025·山西大同·二模）（多选）现有一款制作芝士蛋糕的模具，其“模具口”呈椭圆形，并嵌于正方形网格中（如图1）.以正方形的中心为坐标原点建立平面直角坐标系（如图2），得到“模具口”椭圆图形的方程，其两焦点分别为，，设为上一动点，则（    ） A．的长轴长为 B．的离心率为 C．不可能大于 D．正方形网格中单个正方形的面积为30 【答案】BCD 【详解】对于A，在图2中由对称关系易知的长轴长为直线与方程两交点的距离， 联立，解得, 因此两交点分别为，这两点间距离为，即长轴长为，因此A错误； 对于B，易知的短轴长为直线与方程两交点的距离， 联立，解得, 因此两交点分别为，这两点间距离为，即短轴长为 所以该椭圆对应的标准方程为， 则它的离心率为，即B正确； 对于C，易知， 则 ， 当且仅当时，等号成立，此时最大为，即C正确； 对于D，在平面直角坐标系由对称性可设正方形的上边所在直线方程为, 显然与曲线相切，联立，整理可得， 显然需满足，解得，所以正方形边长为； 可得正方形网格中单个正方形的面积为，即D正确. 故选：BCD 考向4与生活实际相关 19．（2025·广西柳州·模拟预测）如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”．画法如下：在水平直线上取长度为1的线段，作一个等边，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧），再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧……以此类推，当得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊香”的长度为________． 【答案】 【详解】由题意知，每段圆弧的圆心角均为， 第一段圆弧长度为， 第二段圆弧长度为， 第三段圆弧长度为， 第四段圆弧长度为， 第五段圆弧长度为， 第六段圆弧长度为， 第七段圆弧长度为， 第八段圆弧长度为， 故得到的“蚊香”恰好有8段圆弧时，“蚊香”的长度为． 故答案为：. 20．（2025·黑龙江鹤岗·一模）体现中华传统文化的油纸伞至今已有多年的历史；如图，是一把撑开后摆放在地面上的油纸伞，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则______________.    【答案】/ 【详解】设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为、、， 则，如图，为伞沿所在圆的直径，为椭圆的左右顶点，    由题意可得，则，阳光照射方向与地面的夹角为，即， 则， ， 在中，，即，即， 解得，而， 故. 故答案为： 21．（2024·河北沧州·一模）威宁草海国家级自然保护区是世界十大观鸟基地，被誉为“贵州旅游皇冠上的一块蓝宝石”；有“高原明珠”、“鸟类王国”等美誉，推广旅游文化的传统工艺种类繁多，文化内涵丰富.其中有一家声名远扬的传统手工艺制作工厂，此手工艺品蕴含着丰富的文化内涵，制作工艺精细复杂.该厂近期接到一份制作传统手工艺品的重要订单.已知生产该手工艺品的固定成本为9万元.每生产x万件，额外投入成本万元，且这款手工艺品在市场上广受欢迎，出厂单价统一为12元.但由于市场需求和工艺限制，预估市场需求量最多为20万件，问题： (1)当工厂生产2万件时，求工厂的利润（利润销售收入总成本）； (2)要使工厂利润最大，应生产多少万件？并求出最大利润. 【答案】(1)5万元 (2)应生产12万件，最大利润41万元. 【分析】 【详解】（1）设利润为万元， 当工厂生产2万件时，， 则工厂利润为：万元； （2）当时， ， 当时， ； 当时， ， ， 当且仅当 ，即时，等号成立，， 综上：要使工厂利润最大，应生产12万件，最大利润41万元. 22．（2025·四川巴中·二模）2021年3月30日我国知名品牌小米公司启用了具备“超椭圆”数学之美的全新Logo（如图），设计师的灵感来源于数学中的曲线C：．给出下列四个结论： ①对任意的且，曲线C总关于原点成中心对称 ②当时，曲线C上总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点） ③当时，曲线C围成的图形面积可以为 ④当时，曲线C上的点到原点最近距离为 其中正确结论的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】若点在曲线上，则可知点也在曲线上， 故曲线关于原点成中心对称，故①正确； 点在曲线上，故②正确； 当时，因为，所以， 从而，（当或时取等） 所以曲线围成的图形在正方形的内部，    故曲线C围成的图形面积小于正方形的面积2，故③错误； 当时，曲线， 若点在曲线上，则可知点也在曲线上， 故曲线关于轴、轴、原点对称， 故只考虑曲线在第一象限内的即可，此时曲线化为，即， 则， 令， 则， 当且仅当且，即时等号成立， 结合对称性可知，曲线上点到原点距离的最小值为，故④正确. 故选：C 23．（2025·广西河池·模拟预测）网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务.小金正在配送客户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示意图.为避免冰箱内部制冷液逆流，要求运送过程中发生倾斜时，外包装的底面与地面的倾斜角不能超过，且底面至少有两个顶点与地面接触.外包装看作长方体，如图所示，记长方体的纵截面为矩形，，而客户家门高度为米，其他过道高度足够.则小金将冰箱运送入客户家中时，倾斜角的度数至少为_____.（精确到0.01） 【答案】 【详解】过点作地面于点，作平行于地面直线使得， 则，， 则冰箱倾斜后实际高度， 则， 其中，，则， 由题意可得时才能按要求运送入客户家中， 即，由，， 故， 则 故倾斜角的度数至少为. 故答案为：. 24．（2024·海南三亚·三模）市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，，，坐垫E与点B的距离BE为15cm．    (1)求坐垫E到地面的距离； (2)小明的腿长为80cm，根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长（结果精确到0.1）（参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）如图，过点作，垂足为，    依题意，，， 在中，， 所以坐垫到地面的距离为. （2）如图，过作于，当时，人骑行最舒服， 在中，， 所以. 考向5新定义问题 25．（2025·河南三门峡·二模）如图所示的曲线C被称为伯努利双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其几何性质可以描述为：平面上的动点到两定点的距离满足：，则以下结论中不正确的是（ ） A．若是曲线上一点，且在第一象限，则 B．当时，的最大值是（为坐标原点） C．曲线C的方程是： D．面积的最大值是. 【答案】A 【详解】由题意，曲线的方程为， A，令，则，即，解得，此时，不满足，故错误， B，由时，因为， 所以， 即①， 在中，由余弦定理得②， 所以， 由，，所以， 所以，即的最大值为，故正确， C，将双纽线的方程两边平方，得， 所以，则， 所以，故正确； D，由，可得， 令，则， 因为该方程有实数根，故，解得，故， ，故正确. 故选：A 26．（2025·湖北宜昌·模拟预测）对于数列，定义为数列的“优值”，现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则（   ） A．2027 B． C．2029 D． 【答案】D 【详解】由，得，① ，② ①-②得，即，， 所以． 27．（2025·浙江嘉兴·三模）在空间中，我们把点集表示的曲面T称为圆柱面，借助比利时数学家Dandelin的思想我们不难发现：任意不与z轴平行或垂直的平面截T所得封闭曲线为椭圆.设圆柱面，正四棱锥的五个顶点均在E上，且z轴与平面ABCD的夹角为，则正四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知圆柱面的半径为1，如图，平面截圆柱面所得的截面为椭圆，记椭圆与过点的母线的交点为，该椭圆的半短轴长即为圆柱面的半径1． 因为四棱锥为正四棱锥，所以四边形为正方形， 设正方形的中心为，则平面， 因为轴与平面的夹角为，轴，所以， 因为平面，平面，所以， 所以为等腰直角三角形， 又点到直线的距离为1，所以椭圆的长轴长为， 如图建立平面直角坐标系， ， 则椭圆方程为，四边形为椭圆的内接正方形， 由对称性可得直线的方程为， 联立，消得到，故图中点的坐标为， 所以四边形的面积， 所以四棱锥的体积． 28．（2025·安徽淮北·模拟预测）如图，建立如下斜坐标系：设，是平面内相交成 角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若，则把有序实数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记作，则在斜坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．点的坐标为，则线段的长度为 B．点满足，则的轨迹与轴，轴正半轴围成的区域面积小于 C．点满足，则的最大值为 D．定义点与（多选）点坐标距离为，平面上一点，若动点（，）满足：①；②，则点运动所形成的轨迹长为2 【答案】ACD 【详解】设，分别为轴，轴正向的单位向量，， 对于A，，，故A正确； 对于B，，， ，，故B错误； 对于C，法一：，令， ， 法二：令，， ， 法三： ， 令，则， 结合，解得，所以，故C正确； 对于D，设点， ， 当且仅当，时取等号， 由得，可得， 则其轨迹如图所示，为， 由于，且，易得为等边三角形， ，故轨迹长度为2，故D正确． 故选：ACD． 29．（2025·吉林通化·模拟预测）设集合，满足下列性质的集合称为“TB集合”：集合内至少含有2个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则的子集中有___________个“TB集合”. 【答案】 【详解】解方程，解得，结合， 因此：，集合共9个元素. （1）2个元素的“集合”：设为， 当时，可取5，6，7，8，9，共5个； 当时，可取6，7，8，9，共4个； 当时，可取7，8，9，共3个； 当时，可取8，9，共2个； 当时，可取9，共1个；当时，无满足条件的. 则2个元素的“集合”总数：. （2）3个元素的“集合”：要选出3个元素，需满足任意两个元素至少相差4. 最小的3个满足条件的元素为1，5，9，则3个元素的“TB集合”仅1个：1，5，9. （3）若尝试选出4个元素，最小的4个满足条件的数为1，5，9，13，而13超出集合A的范围， 因此不存在4个及以上元素的“TB集合”. 综上，“集合”总数个元素的数量个元素的数量：. 30．（2025·贵州贵阳·二模）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数个数．例如（不超过正整数3，且与3互素的正整数有1和2）．欧拉函数有很多性质，比如欧拉函数是积性函数，即如果互素，则．计算___________，数列的前项和___________． 【答案】 4 【详解】由欧拉函数的定义可知表示不超过且与互素的正整数，有共4个， ； 利用欧拉函数的积性性质，， 对于，集合中被整除的数可表示为，且满足， ，故的取值为，共个， 集合中共有个元素，其中不互质的有， ， ， ， ， ①，②， 由①减去②得，， ， ， ． 故答案为：4；． 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司/ 学科网（北京）股份有限公司 $