专题三：解三角形（5大知识点7大题型1解题策略）讲义-2026届高三数学二轮复习

专题三：解三角形（5大知识点7大题型1解题策略） 【知识、题型清单】 【知识梳理】 1、正弦定理：，其中为外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行。 例如：（1） （2）（恒等式） （3） 例如:非齐次式：（1） ,还要借助其它条件才能化简 2、余弦定理： ，， 变式： 此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值 3、三角形面积公式（1） （2）；（3），（内切圆半径）； 4、角平分线定理、中线定理 （1)角平分线定理： ①(从面积比上用）为的角平分线，则。 ②还可以从面积和用； （注意D点，涉及两个角互补） （2）中线定理（用向量或补图为平行四边形）：为的中线，则 5、三角形中的性质:在中，内角的对边分别为， (1)内角和定理：。 (2)三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边， 即：，，，，， 任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由 于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少[来源:学科网ZXXK] (3)在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：[来源:Z_xx_k.Com] 其中由利用的是余弦函数单调性，而仅在一个三角形内有效. （4）， （5）三角形内的诱导公式： （6）对任意三角形，都有。 【解题策略】 画图、化角、化边 题型一：边角互化、切弦互化、判断三角形形状 例1-1．（24-25高一下·北京石景山·期末）在中，，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 例1-2．（24-25高一下·江苏南京·期末）中，，则（    ） A．是等腰三角形 B．是直角三角形 C．是等腰三角形或直角三角形 D．是等腰直角三角形 练习1-1．（24-25高一下·江苏南通·期末）在中，若，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 练习1-2．（23-24高一下·广东广州·期中）已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 题型二：三角形个数问题 例2-1．（25-26高三上·河北保定·月考）在中，若，，，则解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 例2-2．（24-25高一下·四川成都·期末）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，如果有两解，则a的值可能为（    ） A．9 B． C．11 D．12 例2-3．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）在中，内角所对边分别为，已知，且三角形有两解，则角A的取值范围是（   ） A． B． C． D． 练习2-1．（25-26高三上·安徽·期中）在中，内角的对边分别为，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A． B． C． D． 练习2-2．（24-25高一下·河北·期末）已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：求值（边、角、周长、面积、外接圆半径） 例3-1．（2019·全国I卷·高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则= A．6 B．5 C．4 D．3 例3-2．（2023·北京·高考真题）在中，，则（    ） A． B． C． D． 例3-3．（2019·全国I卷·高考真题）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设． （1）求A； （2）若，求sinC． 例3-4．（2022·全国乙卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)证明：； (2)若，求的周长． 例3-5．（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 例3-6．（24-25高二下·云南昆明·期中）在中，，则的外接圆面积为__________. 练习3-1．（2016·全国II卷·高考真题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A=，cos C=，a=1，则b= . 练习3-2．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（    ） A． B． C． D． 练习3-3．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 练习3-4．（2022·北京·高考真题）在中，． (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长． 练习3-5．（2019·全国II卷·高考真题）的内角的对边分别为.若，则的面积为 . 练习3-6．（25-26高一上·四川绵阳·期中）设的三个内角，，所对的边分别为，，，如果，且，那么外接圆的半径为（   ） A．1 B．2 C． D．4 题型四：求范围（边、角、周长、面积） 例4-1．（24-25高一下·福建福州·月考）已知在锐角中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，. (1)求角； (2)若，D为中点，，求b； (3)若，求的取值范围. 例4-2．（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （I）求角B的大小； （II）求cosA+cosB+cosC的取值范围． 例4-3．（2020·全国II卷·高考真题）中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC． （1）求A； （2）若BC=3，求周长的最大值. 例4-4．（2019·全国III卷·高考真题）的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． 练习4-1．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 练习4-2．（24-25高一下·贵州贵阳·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，． (1)求角A和边a； (2)求的取值范围． 练习4-3．（24-25高一下·四川眉山·期中）在锐角中，角、、的对边分别为、、，且． (1)求角的大小； (2)若，求周长的取值范围． 练习4-4．（24-25高一下·四川成都·期末）在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知. (1)求B的值； (2)若b=2，求面积的取值范围. 题型五：多三角形问题（角平分线、中线、高，等） 例5-1．（2023·全国甲卷·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ． 例5-2．在中，，边上的中线，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 例5-3．（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 练习5-1．（2018·江苏·高考真题）在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为 ． 练习5-2．（2021·北京·高考真题）在中，，． （1）求； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①：； 条件②：的周长为； 条件③：的面积为； 练习5-3．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 题型六：解三角形实际问题（距离、角度、高度） 例6-1．（25-26高一上·四川绵阳·期中）某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西，然后沿着新的方向行驶了，此时发现离出发点恰好30km，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．40或60 D．30或60 例6-2．（23-24高一下·广东茂名·月考）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 例6-3．（25-26高三上·甘肃·月考）小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 练习6-1．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中MA、NB均与水平面ABC垂直.并已测得可直接到达的两点间距离，在C处观测M的仰角为观测N的仰角为60°，且，则M与N之间的距离为（    ） A． B． C． D． 练习6-2．（23-24高三上·广东广州·月考）在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东方向，相距12公里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的速度沿南偏东方向前进，若侦察艇以每小时14公里的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为 小时，角的正弦值为 ．    练习6-3．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 题型七：三角形与三角函数、向量综合问题 例7-1．（2017·上海·高考真题）设，. (1)求函数的单调增区间； (2)设为锐角三角形，角所对的边，角所对的边.若，求的面积. 例7-2．（24-25高一下·山东聊城·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 练习7-1．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．    练习7-2．（24-25高一下·重庆渝北·期中）在中，角所对的边为，若，则BD长为（    ） A． B． C． D． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $专题三:解三角形(5大知识点7大题型1解题策略) 【知识、题型清单】 【知识梳理】 1、正弦定理:,其中为外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边,或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边,否则不可行。 例如:(1) (2)(恒等式) (3) 例如:非齐次式:(1) ,还要借助其它条件才能化简 2、余弦定理: ,, 变式: 此公式在已知的情况下,配合均值不等式可得到和的最值 3、三角形面积公式(1) (2);(3),(内切圆半径); 4、角平分线定理、中线定理 (1)角平分线定理: ①(从面积比上用)为的角平分线,则。 ②还可以从面积和用; (注意D点,涉及两个角互补) (2)中线定理(用向量或补图为平行四边形):为的中线,则 5、三角形中的性质:在中,内角的对边分别为, (1)内角和定理:。 (2)三边关系:任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边, 即:,,,,, 任意两边之和大于第三边:在判定是否构成三角形时,只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由 于不存在等号成立的条件,在求最值时使用较少[来源:学科网ZXXK] (3)在三角形中,边角以及角的三角函数值存在等价关系:[来源:Z_xx_k.Com] 其中由利用的是余弦函数单调性,而仅在一个三角形内有效. (4), (5)三角形内的诱导公式: (6)对任意三角形,都有。 【解题策略】 画图、化角、化边 题型一:边角互化、切弦互化、判断三角形形状 例1-1.(24-25高一下 北京石景山 期末)在中,,则的形状为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解:由题意,,化简整理得, 根据正弦定理,可得,即, 因为,所以, 则, 又,, 则. 所以的形状为直角三角形. 故选:B. 例1-2.(24-25高一下 江苏南京 期末)中,,则( ) A.是等腰三角形 B.是直角三角形 C.是等腰三角形或直角三角形 D.是等腰直角三角形 解 由,得, 由正弦定理,得,因为, 所以,则,又, 或,即或, 所以是等腰或直角三角形. 故选:C. 练习1-1.(24-25高一下 江苏南通 期末)在中,若,则的形状是( ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解:在中,因为, 所以结合正弦定理可得, 则,可得, 由两角差的正弦公式得, 因为,,所以, 可得,解得, 即的形状是等腰三角形,故A正确. 故选:A 练习1-2.(23-24高一下 广东广州 期中)已知的内角,,所对的边分别是,,,若,,则的值为( ). A. B. C. D. 解:由正弦定理可得, 则、, 则. 故选:C. 题型二:三角形个数问题 例2-1.(25-26高三上 河北保定 月考)在中,若,,,则解的个数为( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.不确定 解:由正弦定理,得,所以,即,又, 所以,或, 所以解的个数为2. 故选:C. 例2-2.(24-25高一下 四川成都 期末)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,如果有两解,则a的值可能为( ) A.9 B. C.11 D.12 解:由正弦定理得:,且有两解,所以,且,所以,故符合题意的有A. 故选:A 例2-3.(25-26高三上 黑龙江 开学考试)在中,内角所对边分别为,已知,且三角形有两解,则角A的取值范围是( ) A. B. C. D. 解:由正弦定理可得, ,可得, 由 ABC有两解知,有两个解, 故,即 , 或, 又, ∴ A为锐角,所以, 故选: . 练习2-1.(25-26高三上 安徽 期中)在中,内角的对边分别为,根据下列条件解三角形,其中有两解的是( ) A. B. C. D. 解:A选项,三角形的三个角确定,一条边确定,则三角形只有一个解,故A错; B选项,,所以三角形无解,故B错; C选项,,所以三角形有两个解,故C正确; D选项,,所以,三角形只有一个解,故D错. 故选:C. 练习2-2.(24-25高一下 河北 期末)已知的内角的对边分别为,若有两解,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 解:如图,在中,,则有两解的充要条件为:, 即. 故选:B. 题型三:求值(边、角、周长、面积、外接圆半径) 例3-1.(2019 全国I卷 高考真题) ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-,则= A.6 B.5 C.4 D.3 解:由已知及正弦定理可得,由余弦定理推论可得 ,故选A. 例3-2.(2023 北京 高考真题)在中,,则( ) A. B. C. D. 解:因为, 所以由正弦定理得,即, 则,故, 又,所以. 故选:B. 例3-3.(2019 全国I卷 高考真题)的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设. (1)求A; (2)若,求sinC. 解:(1), 即:, 由正弦定理可得:, , ,. (2)[方法一]正弦定理+两角和差正余弦 由(1)知,,所以由, 得, 整理得,即. 又,所以,即, 则. [方法二]正弦定理+方程思想 由,得 , 代入, 得, 整理得,则. 由,得, 所以. [方法三]余弦定理 令.由,得. 将代入中,可得, 即,解得或(舍去). 所以, 从而. 例3-4.(2022 全国乙卷 高考真题)记的内角的对边分别为,已知. (1)证明:; (2)若,求的周长. 解:(1)证明:因为, 所以, 所以, 即, 所以; (2)解:因为, 由(1)得, 由余弦定理可得, 则, 所以, 故, 所以, 所以的周长为. 例3-5.(2023 全国甲卷 高考真题)记的内角的对边分别为,已知. (1)求; (2)若,求面积. 解:(1)因为,所以,解得:. (2)由正弦定理可得 , 变形可得:,即, 而,所以,又,所以, 故的面积为. 例3-6.(24-25高二下 云南昆明 期中)在中,,则的外接圆面积为_. 解:根据题意,, 由余弦定理得, 因为,则, 由正弦定理得,即, 所以的外接圆面积为. 故答案为:. 练习3-1.(2016 全国II卷 高考真题) ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b= . 解:试题分析:因为,且为三角形的内角,所以,,又因为,所以. 练习3-2.(2023 全国乙卷 高考真题)在中,内角的对边分别是,若,且,则( ) A. B. C. D. 解:由题意结合正弦定理可得, 即, 整理可得,由于,故, 据此可得, 则. 故选:C. 练习3-3.(2025 天津 高考真题)在中,角的对边分别为.已知,,. (1)求A的值; (2)求c的值; (3)求的值. 解:(1)已知,由正弦定理, 得,显然, 得,由, 故; (2)由(1)知,且,, 由余弦定理, 则, 解得(舍去), 故; (3)由正弦定理,且, 得,且,则为锐角, 故,故, 且; 故. 练习3-4.(2022 北京 高考真题)在中,. (1)求; (2)若,且的面积为,求的周长. 解:(1)解:因为,则,由已知可得, 可得,因此,. (2)由三角形的面积公式可得,解得. 由余弦定理可得,, 所以,的周长为. 练习3-5.(2019 全国II卷 高考真题)的内角的对边分别为.若,则的面积为 . 解:由余弦定理得, 所以, 即 解得(舍去) 所以, 练习3-6.(25-26高一上 四川绵阳 期中)设的三个内角,,所对的边分别为,,,如果,且,那么外接圆的半径为( ) A.1 B.2 C. D.4 解:因为, 所以,即, 则,又,则, 又,由正弦定理可得, 解得,即外接圆的半径为. 故选:A. 题型四:求范围(边、角、周长、面积) 例4-1.(24-25高一下 福建福州 月考)已知在锐角中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,. (1)求角; (2)若,D为中点,,求b; (3)若,求的取值范围. 解:(1)因为, 根据正弦定理,得, 所以, 所以, 即, 因为,所以, 又,所以; (2)因为D为中点,所以, 所以, 所以, 所以,解得或(舍去), 故; (3)由正弦定理:, 所以,, 因为,所以,所以, 所以 , 因为为锐角三角形,所以, 所以,, 所以,所以, 所以的取值范围为. 例4-2.(2020 浙江 高考真题)在锐角 ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且. (I)求角B的大小; (II)求cosA+cosB+cosC的取值范围. 解:(I)[方法一]:余弦定理 由,得,即. 结合余弦定, ∴, 即, 即, 即, 即, ∵为锐角三角形,∴, ∴, 所以, 又B为的一个内角,故. [方法二]【最优解】:正弦定理边化角 由,结合正弦定理可得: 为锐角三角形,故. (II) [方法一]:余弦定理基本不等式 因为,并利用余弦定理整理得, 即. 结合,得. 由临界状态(不妨取)可知. 而为锐角三角形,所以. 由余弦定理得, ,代入化简得 故的取值范围是. 例4-3.(2020 全国II卷 高考真题)中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC. (1)求A; (2)若BC=3,求周长的最大值. 解:(1)由正弦定理可得:, , ,. (2)[方法一]【最优解】:余弦+不等式 由余弦定理得: , 即. (当且仅当时取等号), , 解得:(当且仅当时取等号), 周长,周长的最大值为. [方法二]:正弦化角(通性通法) 设,则,根据正弦定理可知,所以 ,当且仅当,即时,等号成立.此时周长的最大值为. [方法三]:余弦与三角换元结合 在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由余弦定理得,即.令,得 ,易知当时,, 所以周长的最大值为. 例4-4.(2019 全国III卷 高考真题)的内角的对边分别为,已知. (1)求; (2)若为锐角三角形,且,求面积的取值范围. 解:(1)[方法一]【最优解:利用三角形内角和为结合正弦定理求角度】 由三角形的内角和定理得, 此时就变为. 由诱导公式得,所以. 在中,由正弦定理知, 此时就有,即, 再由二倍角的正弦公式得,解得. [方法二]【利用正弦定理解方程求得的值可得的值】 由解法1得, 两边平方得,即. 又,即,所以, 进一步整理得, 解得,因此. [方法三]【利用正弦定理结合三角形内角和为求得的比例关系】 根据题意,由正弦定理得, 因为,故, 消去得. ,,因为故或者, 而根据题意,故不成立,所以, 又因为,代入得,所以. (2) [方法一]【最优解:利用锐角三角形求得C的范围,然后由面积函数求面积的取值范围】 因为是锐角三角形,又,所以, 则 . 因为,所以,则, 从而,故面积的取值范围是. [方法二]【由题意求得边的取值范围,然后结合面积公式求面积的取值范围】 由题设及(1)知的面积. 因为为锐角三角形,且, 所以即 又由余弦定理得,所以即, 所以,故面积的取值范围是. [方法三]【数形结合,利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】 如图,在中,过点A作,垂足为,作与交于点. 由题设及(1)知的面积,因为为锐角三角形,且, 所以点C位于在线段上且不含端点,从而, 即,即,所以, 故面积的取值范围是. 【整体点评】(1)方法一:正弦定理是解三角形的核心定理,与三角形内角和相结合是常用的方法; 方法二:方程思想是解题的关键,解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值; 方法三:由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系,从而确定角的大小. (2)方法一:由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法; 方法二:将面积问题转化为边长的问题,然后求解边长的范围可得面积的范围; 方法三:极限思想和数形结合体现了思维的灵活性,要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用. 练习4-1.(2022 新高考全国 卷 高考真题)记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知. (1)若,求B; (2)求的最小值. 解:(1)方法一:直接法 可得, 则,即, 注意到,于是, 展开可得,则, 又,. 方法二:二倍角公式处理+直接法 因为, 即, 而,所以; 方法三:导数同构法 根据可知,, 设,, 则在上单调递减,, 故,结合,解得. 方法四:恒等变换化简 , 结合正切函数的单调性,,则, 结合,解得. (2)由(1)知,,所以, 而, 所以,即有,所以 所以由正弦定理得 . 当且仅当时取等号,所以的最小值为. 练习4-2.(24-25高一下 贵州贵阳 月考)在中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,,. (1)求角A和边a; (2)求的取值范围. 解:(1)由和正弦定理可得, 化简得, 即 因,则,即, 因,故. 又由且, 可得. (2)由正弦定理,, 可得,, 则,(*) 因,将其代入(*),可得: . 因,则,故, 则的取值范围是. 练习4-3.(24-25高一下 四川眉山 期中)在锐角中,角、、的对边分别为、、,且. (1)求角的大小; (2)若,求周长的取值范围. 解:(1)由及正弦定理得, 所以, 因为,则, 所以,故. (2)由正弦定理可得, 所以,, 所以 , 因为为锐角三角形,则,可得, 所以,,则, 故, 因此,周长的取值范围是. 练习4-4.(24-25高一下 四川成都 期末)在锐角中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知. (1)求B的值; (2)若b=2,求面积的取值范围. 解:(1)因为,由正弦定理得, 即,由余弦定理得, 因为,所以. (2)在锐角中,,记的面积为. 由正弦定理得,即. 所以 . 因为在锐角中,,所以,, 解得,则,所以, 所以,所以面积的. 题型五:多三角形问题(角平分线、中线、高,等) 例5-1.(2023 全国甲卷 高考真题)在中,,的角平分线交BC于D,则 . 解:如图所示:记, 方法一:由余弦定理可得,, 因为,解得:, 由可得, , 解得:. 故答案为:. 方法二:由余弦定理可得,,因为,解得:, 由正弦定理可得,,解得:,, 因为,所以,, 又,所以,即. 故答案为:. 例5-2.在中,,边上的中线,则面积的最大值为( ) A. B. C. D. 解:为中线,则,两边平方得, 所以, 所以,所以, 当且仅当时取等号, 则. 故选:B. 例5-3.(2025 北京 高考真题)在中,. (1)求c的值; (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得存在,求BC边上的高. 条件①:;条件②:;条件③:的面积为. 解:(1)因为,所以, 由正弦定理有,解得; (2)如图所示,若存在,则设其边上的高为, 若选①,,因为,所以,因为,这表明此时三角形有两个钝角, 而这是不可能的,所以此时三角形不存在,故边上的高也不存在; 若选②,,由有,由正弦定理得,所以, 所以由余弦定理得, 此时三角形是存在的,且唯一确定, 所以,即, 所以边上的高; 若选③,的面积是,则, 解得,由余弦定理可得可以唯一确定, 进一步由余弦定理可得也可以唯一确定,即可以唯一确定, 这表明此时三角形是存在的,且边上的高满足:,即. 练习5-1.(2018 江苏 高考真题)在中,角所对的边分别为,,的平分线交于点D,且,则的最小值为 . 解:[方法一]:【最优解】角平分线定义+三角形面积公式+基本不等式 由题意可知,,由角平分线定义和三角形面积公式得,化简得,即, 因此 当且仅当时取等号,则的最小值为. 故答案为:. [方法二]: 角平分线性质+向量的数量积+基本不等式 由三角形内角平分线性质得向量式. 因为,所以,化简得,即,亦即, 所以, 当且仅当,即时取等号. [方法三]:解析法+基本不等式 如图5,以B为坐标原点,所在直线为x轴建立平面直角坐标系.设,.因为A,D,C三点共线,则,即,则有,所以. 下同方法一. [方法四]:角平分线定理+基本不等式 在中,,同理.根据内角平分线性质定理知,即,两边平方,并利用比例性质得,整理得,当时,可解得.当时,下同方法一. [方法五]:正弦定理+基本不等式 在与中,由正弦定理得. 在中,由正弦定理得. 所以,由正弦定理得,即,下同方法一. [方法六]: 相似+基本不等式 如图6,作,交的延长线于E.易得为正三角形,则. 由,得,即,从而.下同方法一. 【整体点评】方法一:利用角平分线定义和三角形面积公式建立等量关系,再根据基本不等式“1”的代换求出最小值,思路常规也简洁,是本题的最优解; 方法二:利用角平分线的性质构建向量的等量关系,再利用数量积得到的关系,最后利用基本不等式求出最值,关系构建过程运算量较大; 方法三:通过建立直角坐标系,由三点共线得等量关系,由基本不等式求最值; 方法四:通过解三角形和角平分线定理构建等式关系,再由基本不等式求最值,计算量较大; 方法五:多次使用正弦定理构建等量关系,再由基本不等式求最值,中间转换较多; 方法六:由平面几何知识中的相似得等量关系,再由基本不等式求最值,求解较为简单. 练习5-2.(2021 北京 高考真题)在中,,. (1)求; (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使存在且唯一确定,求边上中线的长. 条件①:; 条件②:的周长为; 条件③:的面积为; 解:(1),则由正弦定理可得, ,,,, ,解得; (2)若选择①:由正弦定理结合(1)可得, 与矛盾,故这样的不存在; 若选择②:由(1)可得, 设的外接圆半径为, 则由正弦定理可得, , 则周长, 解得,则, 由余弦定理可得边上的中线的长度为: ; 若选择③:由(1)可得,即, 则,解得, 则由余弦定理可得边上的中线的长度为: . 练习5-3.(2023 新课标 卷 高考真题)已知在中,. (1)求; (2)设,求边上的高. 解:(1), ,即, 又, , , , 即,所以, . (2)由(1)知,, 由 , 由正弦定理,,可得, , . 题型六:解三角形实际问题(距离、角度、高度) 例6-1.(25-26高一上 四川绵阳 期中)某船只在海面上向正东方向行驶了迅速将航向调整为南偏西,然后沿着新的方向行驶了,此时发现离出发点恰好30km,那么的值为( ) A.30 B.60 C.40或60 D.30或60 解:设出发点为,向东航行到处后改变航向到达, 则,,,, 由正弦定理可得:,即, . 或, (1)若,则,为直角三角形, ; (2)若,则,为等腰三角形, 综上,的值为30或60. 故选:D. 例6-2.(23-24高一下 广东茂名 月考)一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东,距离为海里,灯塔在的北偏东,距离为海里,该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向,则此时灯塔位于渔船的( ) A.南偏东方向 B.南偏西方向 C.北偏西方向 D.北偏西方向 解:如图, 由题意,在中,,,, 由正弦定理得, 所以, 在中,因为,, 由余弦定理得, 所以, 由正弦定理得, 所以, 因为,故为锐角, 故,此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选:D. 例6-3.(25-26高三上 甘肃 月考)小河的对岸有一棵树,设树底为,树顶为.如图,为了测量这棵树的高度,在河的另一侧选取两点,使得在同一水平面上,且三点共线,米.若在处测得树顶的仰角为,在处测得树顶的仰角为,则这棵树的高度( ) A.米 B.米 C.米 D.米 解:在中,,,米, 在中,由正弦定理可得,所以, 又因为, 所以,解得米, 在中,,米, 所以米, 故选:D. 练习6-1.(24-25高一下 贵州贵阳 期末)某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中,抽象并构建了如图所示的几何模型,该模型中MA、NB均与水平面ABC垂直.并已测得可直接到达的两点间距离,在C处观测M的仰角为观测N的仰角为60 ,且,则M与N之间的距离为( ) A. B. C. D. 解:由题意知,,所以. 因为,在中,. 故选:D 练习6-2.(23-24高三上 广东广州 月考)在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东方向,相距12公里的水面上,有蓝方一艘小艇正以每小时10公里的速度沿南偏东方向前进,若侦察艇以每小时14公里的速度,沿北偏东方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,则红方侦察艇所需的时间为 小时,角的正弦值为 . 解:设红方侦查艇经过x小时后在处追上蓝方的小艇,则,,. 根据余弦定理得,解得, 故,. 根据正弦定理得,解得, 故答案为:2;. 练习6-3.(24-25高一下 福建福州 期末)如图,为了测量河对岸塔的高度,甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向,顶部的仰角为,往正东方向前进到达处,测得该塔在北偏西方向,底部和在同一水平面内,则该建筑物的高为( ) A. B. C. D. 解:由题设及图知:,则, 在中,可得, 又,可得. 故选:A 题型七:三角形与三角函数、向量综合问题 例7-1.(2017 上海 高考真题)设,. (1)求函数的单调增区间; (2)设为锐角三角形,角所对的边,角所对的边.若,求的面积. 解:(1)解:,, 令,解得, 所以其单调增区间为. (2)由即, 因为是锐角,所以,得,即. 由余弦定理,,整理得,解得或. 当时,,最大角是钝角,为钝角三角形,舍去; 当时,,最大角是锐角,为锐角三角形,符合题意. . 例7-2.(24-25高一下 山东聊城 月考)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量,,,若,,则AC边上的中线BD为( ) A. B.3 C. D. 解:由题意得,,结合正弦定理得, 因,则,则, 若,则,与上式矛盾,故,则, 因,则, 因为AC边上的中线,则, 则 , 则. 故选:C 练习7-1.(2023 天津 高考真题)在中,,,记,用表示 ;若,则的最大值为 . 解:空1:因为为的中点,则,可得, 两式相加,可得到, 即,则; 空2:因为,则,可得, 得到, 即,即. 于是. 记, 则, 在中,根据余弦定理:, 于是, 由和基本不等式,, 故,当且仅当取得等号, 则时,有最大值. 故答案为:;. 练习7-2.(24-25高一下 重庆渝北 期中)在中,角所对的边为,若,则BD长为( ) A. B. C. D. 解:由,可得,由余弦定理,, 由, 因,则, 所以. 故选:C. 第 1 页 共 5 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $