专题05 一元二次不等式与其他常见不等式的解法（思维导图+3大知识点+7大题型）（讲义+精练）-2026年高考艺术生数学40天提分100分冲刺计划

专题05一元二次不等式与其他常见不等式的解法 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 考点统计 4 04 知识点梳理 5 知识点1、一元二次不等式 5 知识点2、分式不等式 5 知识点3、绝对值不等式 5 05 题型归纳，举一反三 6 题型一：不含参数的一元二次不等式求解 6 题型二：含参数的一元二次不等式分类求解 7 题型三：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的综合应用 8 题型四：分式不等式与高次不等式的解法 10 题型五：绝对值不等式的求解方法 11 题型六：一元二次方程实根的分布问题 12 题型七：一元二次不等式恒成立与能成立问题 14 06 模拟题精练 17 2023~2025年高考中，一元二次不等式与常见不等式解法为高频基础考点，分值稳定在5~12分，多以选择、填空或解答题第一问呈现。 一元二次不等式：核心考查不含/含参数求解、“三个二次”转化、恒/能成立问题。全国卷、新高考卷每年必考，常与集合运算、函数单调性结合；2025天津卷、上海卷聚焦恒成立求参，2024上海卷、2023全国乙卷侧重解集求解与参数范围。 分式/高次不等式：以转化为整式不等式、穿根法为核心，2025新高考二卷、2023全国卷均有考查，常与数列、函数综合，强调定义域限制。 绝对值不等式：高频考查零点分段、几何意义与平方法，2023全国乙卷文/理第23题、2022新高考Ⅱ卷均有涉及，常与分段函数结合。 根分布与恒成立：为难点，常结合二次函数图像，考查区间根条件与分离参数法，2025天津卷、2024多套试卷均有体现。 整体命题重基础、重转化，强调数形结合与分类讨论，是函数、数列、导数等模块的基础工具。 知识点1、一元二次不等式 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1）当时，二次函数图象开口向上. （2）①若，解集为. ②若，解集为. ③若，解集为. (2) 当时，二次函数图象开口向下. ①若，解集为 ②若，解集为 知识点2、分式不等式 （1） （2） （3） （4） 知识点3、绝对值不等式 （1） （2）； ； （3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解. 题型一：不含参数的一元二次不等式求解 【例1】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】真数或. 所以函数的定义域为. 故选：B. 【变式1-1】的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】不等式的解集为：或，而充分不必要条件对应的集合需是该解集的真子集. 对于A，因不是或的真子集，故A不符合； 对于B，因是或的真子集，故B符合； 对于C，因不是或的真子集，故C不符合； 对于D，因或，但或， 即或不是或的真子集，故D不符合. 故选：B 【变式1-2】人工智能的某神经元输出函数可表示为（为权重参数，为输入特征值），当输出值时会触发过滤机制.若对任意权重参数，该神经元都会触发过滤机制，则输入特征值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，是关于的一次函数， 且有时恒成立，则有，解得， 取交集得，因此输入特征值的取值范围是. 故选：B. 【变式1-3】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，二次函数图象开口向下，可知解集为， 故选：D. 题型二：含参数的一元二次不等式分类求解 【例2】关于的不等式：，当时，不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由得， 由，得， 解得，或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【变式2-1】关于的不等式：，当时，不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由得， 由，得， 解得，或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【变式2-2】关于的不等式的解集中恰有两个正整数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】对于不等式，可得不等式， 若，解得，无正整数解，不合题意； 若，不等式无解，不合题意； 若，解得，由题意可得； 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式2-3】已知，不等式的解集为 （用含的式子表示）. 【答案】 【解析】由， 又，所以. 故不等式的解集为：. 故答案为： 题型三：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的综合应用 【例3】（多选题）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．方程的两根为或 D．不等式的解集为 【答案】AD 【解析】对于AC，不等式的解集为， 且方程的两根分别为和，A正确，C错误； 对于B，由韦达定理可知：，， ，，，B错误； 对于D，， ，，解得：或， 不等式的解集为，D正确. 故选：AD. 【变式3-1】（多选题）已知关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】AC 【解析】由不等式的解集为，可知是不等式的两个实数根，所以且，则且，故A正确， 对于B,不等式为，解得，故解集是，故B错误， 对于C, ，C正确， 对于D, 化为，即，解得，故不等式的解为，D错误， 故选：AC 【变式3-2】（多选题）关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A．且 B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】AD 【解析】因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以，则， 对于A，所以且，故A正确； 对于B，不等式， 又，可得，所以或，故B错误； 对于C，， 故C错误； 对于D，不等式，故D正确； 故选：AD. 【变式3-3】（多选题）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】由题设及函数图象知：且， 所以，则，，，A错，B、C对； ，则，D对. 故选：BCD 题型四：分式不等式与高次不等式的解法 【例4】（25-26高三上·上海·期末）不等式的解集为 . 【答案】或 【解析】由题意得不等式可以转化为且， 则解得或， 则不等式的解集为或. 故答案为：或. 【变式4-1】不等式的解集为 . 【答案】 【解析】依题意，由，得，所以，解得， 故答案为：. 【变式4-2】（25-26高三上·上海·期中）不等式的解集是 . 【答案】 【解析】等价于且，得， 故不等式的解集是. 故答案为： 【变式4-3】（25-26高三上·上海徐汇·期中）分式不等式的解集为 【答案】或或 【解析】∵，∴， ∴或或. 故答案为：或或. 题型五：绝对值不等式的求解方法 【例5】不等式的解集可用区间表示为 . 【答案】 【解析】由，得到，解得. 故答案为： 【变式5-1】不等式组的解集为 . 【答案】 【解析】对于，即，可得，解得； 对于，即，可得，解得； 综上所述：不等式组的解集为. 故答案为：. 【变式5-2】不等式的解集 . 【答案】 【解析】， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【变式5-3】关于的不等式的解集为 . 【答案】 【解析】当时，原不等式化简为，解得，又因为，则无实数解； 当时，原不等式化简为，解得，又因为，所以； 当时，原不等式化简为，解得，又因为，所以. 综上原不等式解集为. 故答案为：. 题型六：一元二次方程实根的分布问题 【例6】若方程有两个正根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由方程有两个正根，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【变式6-1】（25-26高三上·北京·月考）已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 . 【答案】 【解析】方程，可得， 故方程的两个根分别为或. 由于两根一个比2大另一个比2小， 故,解得， 故答案为：. 【变式6-2】关于x的方程的两个不等根都在之内，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由可得， 依题意，，解得. 故答案为：. 【变式6-3】若关于的方程的两个根都在区间上，则a的值范围为 ． 【答案】 【解析】设，由题可知，若都在区间内， 则需满足，所以解得． 故答案为：. 【变式6-4】若方程在上有实数根，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为，，所以， 设，，则在上单调递减，在上单调递增. 且，. 所以函数，的值域为：. 所以． 故答案为： 【变式6-5】若一元二次方程一个根大于1，另一个根小于1，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】设，如图所示， 要使方程的一个根大于1，另一个根小于1，需使，解得， 所以实数的取值范围为． 故答案为：. 题型七：一元二次不等式恒成立与能成立问题 【例7】已知函数. (1)若的解集为，求实数，的值； (2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为的解集为， 所以， 解得，经检验知符合题意. （2）当时，显然不合题意； 当时，因为对一切实数恒成立， 所以， 解得. 【变式7-1】已知函数． (1)若对，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【解析】（1），不等式恒成立，则，解得， 所以实数的取值范围是. （2）不等式， 当时，，解得或； 当时，，解得或， 所以当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 【变式7-2】已知函数． (1)若函数满足且的最小值为，求的解析式； (2)当时，对一切实数都成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为， 所以，解得. 又因为的最小值为 所以，代入得，解得， 故. （2）当时，对一切实数都成立 即对一切实数都成立， 则，解得. 所以实数的取值范围为. 【变式7-3】已知函数 . (1)当时，解不等式； (2)求在上的最小值； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，， 则，解得：或， 即不等式的解集为：； （2）因为二次函数的对称轴为， 当，即时，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以 当，即时，在上单调递减， 所以. 综上可得：； （3）由不等式可得： (*)， 因为，所以， 则(*)等价于，， 再令，则，令函数， 因为在单调递减，在单调递增， 且， 所以， 由对任意的都恒成立，则， 所以实数的取值范围是. 1．已知集合，则（） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】解不等式，可得，即. 已知. 求交集=. 故选：C 2．设不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 得，，，． 故选：A. 3．不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】由可得, 则可得且, 故不等式的解集为或. 故选：C. 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为集合， 或， 所以. 故选：D. 5．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意， 或， 所以. 故选：D. 6．“”是“关于的不等式的解集为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若不等式的解集为， 等价于不等式的解集为， 则可得，解得， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 7．已知集合，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数的解析式可得， 由， 因此， 又因为， 所以，于是有， 故选：B 8．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式等价于，即， 则，解得， 所以不等式的解集是. 故选：C 9．关于的不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由可得:， 解得:， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 10．关于的方程的解集为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， 当且仅当时取等号， 即当时，成立， 所以关于的方程的解集为， 故答案为： 11．若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则的范围是 ； 【答案】 【解析】当时，显然不合题意； 当时，原不等式可化为，即，所以， 因为解集中恰有两个整数，所以，即； 当时，原不等式可化为，即， 所以若时，则或，不合题意；若时，则或，不合题意；若时，则，不合题意. 综上可得，； 故答案为： 12．已知集合，集合，若集合内恰有两个整数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】不等式可化为，解得或， 所以， 若集合内恰有两个整数，则这两个整数为，所以. 故答案为：. 13．已知关于的一元二次不等式的解集为，则 ． 【答案】1 【解析】因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以，所以， 则. 故答案为：1. 14．在上定义运算，若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据定义，不等式即为：， 整理得：对一切实数x恒成立， 则只需，整理得：， 解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 15．设；.若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由可得， 由可得， 当时，解得，符合题意； 当时，解得， 若是的充分条件，可知， 所以，即，成立， 综上，的取值范围是. 故答案为：. 16．若命题“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题得命题的否定“，不等式有解”为真命题， 所以，即在内有解. 令，则， 所以，当且仅当即，即时取等号， 所以. 故答案为：. 17．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由题意得，是方程的两个根，故，即， 则不等式，即为，则其解集为， 故答案为：. 18．已知函数，对任意，恒成立，则实数 a 的取值范围为 【答案】 【解析】对任意恒成立，即 对任意恒成立， 则， 令，则在上单调递增， 所以，故， 则实数 a 的取值范围为. 故答案为： 19．已知，为实数，关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】关于的不等式的解集为，所以， 则不等式. 不等式的解集为. 故答案为： 20．已知关于x的不等式. (1)若不等式的解集为，求k和m的值； (2)若不等式的解集为，求实数k的取值范围． 【解析】（1）的解集为， 的根为或，且， ，， （2）不等式的解集为， 当时，不等式转化为，满足题意； 当时，不等式的解集为， ，解得， 综上可知实数k的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05一元二次不等式与其他常见不等式的解法 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 考点统计 4 04 知识点梳理 5 知识点1、一元二次不等式 5 知识点2、分式不等式 5 知识点3、绝对值不等式 5 05 题型归纳，举一反三 6 题型一：不含参数的一元二次不等式求解 6 题型二：含参数的一元二次不等式分类求解 6 题型三：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的综合应用 6 题型四：分式不等式与高次不等式的解法 7 题型五：绝对值不等式的求解方法 7 题型六：一元二次方程实根的分布问题 8 题型七：一元二次不等式恒成立与能成立问题 8 06 模拟题精练 10 2023~2025年高考中，一元二次不等式与常见不等式解法为高频基础考点，分值稳定在5~12分，多以选择、填空或解答题第一问呈现。 一元二次不等式：核心考查不含/含参数求解、“三个二次”转化、恒/能成立问题。全国卷、新高考卷每年必考，常与集合运算、函数单调性结合；2025天津卷、上海卷聚焦恒成立求参，2024上海卷、2023全国乙卷侧重解集求解与参数范围。 分式/高次不等式：以转化为整式不等式、穿根法为核心，2025新高考二卷、2023全国卷均有考查，常与数列、函数综合，强调定义域限制。 绝对值不等式：高频考查零点分段、几何意义与平方法，2023全国乙卷文/理第23题、2022新高考Ⅱ卷均有涉及，常与分段函数结合。 根分布与恒成立：为难点，常结合二次函数图像，考查区间根条件与分离参数法，2025天津卷、2024多套试卷均有体现。 整体命题重基础、重转化，强调数形结合与分类讨论，是函数、数列、导数等模块的基础工具。 知识点1、一元二次不等式 一元二次不等式，其中，是方程的两个根，且 （1）当时，二次函数图象开口向上. （2）①若，解集为. ②若，解集为. ③若，解集为. (2) 当时，二次函数图象开口向下. ①若，解集为 ②若，解集为 知识点2、分式不等式 （1） （2） （3） （4） 知识点3、绝对值不等式 （1） （2）； ； （3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解. 题型一：不含参数的一元二次不等式求解 【例1】函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D．或 【变式1-2】人工智能的某神经元输出函数可表示为（为权重参数，为输入特征值），当输出值时会触发过滤机制.若对任意权重参数，该神经元都会触发过滤机制，则输入特征值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型二：含参数的一元二次不等式分类求解 【例2】关于的不等式：，当时，不等式的解集为 . 【变式2-1】关于的不等式：，当时，不等式的解集为 ． 【变式2-2】关于的不等式的解集中恰有两个正整数，则实数的取值范围是 . 【变式2-3】已知，不等式的解集为 （用含的式子表示）. 题型三：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的综合应用 【例3】（多选题）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．方程的两根为或 D．不等式的解集为 【变式3-1】（多选题）已知关于的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【变式3-2】（多选题）关于的一元二次不等式的解集为或，则（ ） A．且 B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【变式3-3】（多选题）已知二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． C． D．不等式的解集为 题型四：分式不等式与高次不等式的解法 【例4】（25-26高三上·上海·期末）不等式的解集为 . 【变式4-1】不等式的解集为 . 【变式4-2】（25-26高三上·上海·期中）不等式的解集是 . 【变式4-3】（25-26高三上·上海徐汇·期中）分式不等式的解集为 题型五：绝对值不等式的求解方法 【例5】不等式的解集可用区间表示为 . 【变式5-1】不等式组的解集为 . 【变式5-2】不等式的解集 . 【变式5-3】关于的不等式的解集为 . 题型六：一元二次方程实根的分布问题 【例6】若方程有两个正根，则实数的取值范围是 . 【变式6-1】（25-26高三上·北京·月考）已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 . 【变式6-2】关于x的方程的两个不等根都在之内，则实数a的取值范围为 ． 【变式6-3】若关于的方程的两个根都在区间上，则a的值范围为 ． 【变式6-4】若方程在上有实数根，则实数的取值范围为 ． 【变式6-5】若一元二次方程一个根大于1，另一个根小于1，则实数的取值范围为 ． 题型七：一元二次不等式恒成立与能成立问题 【例7】已知函数. (1)若的解集为，求实数，的值； (2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【变式7-1】已知函数． (1)若对，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【变式7-2】已知函数． (1)若函数满足且的最小值为，求的解析式； (2)当时，对一切实数都成立，求实数的取值范围． 【变式7-3】已知函数 . (1)当时，解不等式； (2)求在上的最小值； (3)若时，恒成立，求实数的取值范围. 1．已知集合，则（） A． B．或 C． D．或 2．设不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 3．不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D．或 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 6．“”是“关于的不等式的解集为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知集合，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 9．关于的不等式的解集为 . 10．关于的方程的解集为 ． 11．若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则的范围是 ； 12．已知集合，集合，若集合内恰有两个整数，则实数的取值范围是 . 13．已知关于的一元二次不等式的解集为，则 ． 14．在上定义运算，若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是 . 15．设；.若是的充分条件，则实数的取值范围是 . 16．若命题“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围为 . 17．已知关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 . 18．已知函数，对任意，恒成立，则实数 a 的取值范围为 19．已知，为实数，关于的不等式的解集为，则不等式的解集为 ． 20．已知关于x的不等式. (1)若不等式的解集为，求k和m的值； (2)若不等式的解集为，求实数k的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $