专题04 基本不等式及其应用（思维导图+2大知识点+7大题型）（讲义+精练）-2026年高考艺术生数学40天提分100分冲刺计划

专题04 基本不等式及其应用 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 考点统计 4 04 知识点梳理 5 知识点一：基本不等式 5 知识点二：基本不等式的应用 5 05 题型归纳，举一反三 7 题型一：基本不等式的概念与应用 7 题型二：直接法求函数最值 8 题型三：配凑法求最值 9 题型四：换元消元法求最值 11 题型五：常数 “1” 的代换求最值 13 题型六：基本不等式的实际应用 14 题型七：基本不等式与恒成立、能成立问题 15 06 模拟题精练 18 近3年（2023—2025年）高考中，基本不等式作为高中数学高频工具性考点，考查形式、分值及难度保持稳定，核心围绕公式应用与综合能力展开，适配新高考与全国卷命题趋势。考查形式以选择、填空题为主，偶见解答题第一问，分值稳定在5—8分，难度集中在基础至中档，侧重考查学生的运算求解与逻辑推理能力。 核心考点始终聚焦“一正二定三相等”的应用，高频考查配凑定值、“1”的代换、消元法求最值，同时兼顾不等式变形与条件判断。2023年多结合圆锥曲线、解三角形综合考查范围求解；2024年侧重“1”的代换变形，偶与导数结合考查函数最值；2025年新增实际应用场景，涉及生活优化问题建模，同时延续恒成立问题的考查。 整体命题重基础、重应用，避免复杂技巧，强调基本不等式的工具性，常与函数、向量、解析几何等知识交汇，突出对数学核心素养的考查，命题趋势稳定且贴合考纲要求。 知识点一：基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 知识点二：基本不等式的应用 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 题型一：基本不等式的概念与应用 【例1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 【变式1-1】下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据基本不等式即可判断选项A是否正确，对选项B化简可得，由此即可判断B是否正确；对选项C、D通过举例即可判断是否正确.A.由基本不等式可知，故A不正确； B.，即恒成立，故B正确； C.当时，不等式不成立，故C不正确； D.当时，不等式不成立，故D不正确. 故选：B. 【变式1-2】设，若，，，则下列关系式中正确的是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选C． 【变式1-3】（2026·广西柳州·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A：当时，，所以不正确； B：， 因为，，所以当时，， 当时，，当时，，因此不正确； C：因为，，所以有，正确； D：因为，，所以有， 即，所以不正确. 故选：C 题型二：直接法求函数最值 【例2】（24-25高三上·贵州·月考）若，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【解析】，解得， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 【变式2-1】若实数，满足，则的最小值是（    ） A．18 B．6 C． D． 【答案】B 【解析】由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是6 故选：B 【变式2-2】（2025·山西吕梁·模拟预测）若且，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．16 【答案】B 【解析】由基本不等式可得：， 所以，当且仅当时等号成立； 所以的最大值为； 故选：B 【变式2-3】已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】范围可直接由基本不等式得到，可先将平方再利用基本不等式关系．由，，且， ，当且仅当时取等号 而，当且仅当时取等号 . 故选：C． 题型三：配凑法求最值 【例3】（25-26高三上·北京·月考）若，则函数的最小值为 ，此时 . 【答案】 【解析】由，则， 当且仅当，即时取等号，故最小值为. 故答案为：， 【变式3-1】已知，则的最小值是 ． 【答案】2 【解析】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 【变式3-2】（25-26高三上·吉林长春·月考）已知，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得， 当且仅当时，等号成立， 令，，可得， 解得或（舍去）， 即. 故选：D 【变式3-3】函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】由，又， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以原函数的最小值为. 故答案为： 【变式3-4】（25-26高三上·河南驻马店·开学考试）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】解法一：， 当且仅当，即时等号成立． 解法二： ， 在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值． 故答案为：. 【变式3-5】已知，则函数的最小值是 ，此时 . 【答案】 7 【解析】因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值是7，此时. 故答案为：7；. 题型四：换元消元法求最值 【例4】（22-23高三上·福建泉州·期中）函数在上的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为，，令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值为． 故答案为： 【变式4-1】函数的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，令，则， 又因为，可得， 因为，当且仅当时，即，即时，等号成立， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 【变式4-2】已知，满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得， 由，可得且，解得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 故选：B 【变式4-3】（2026·福建泉州·二模）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，为正数，且，则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最大值为. 故选：A 题型五：常数 “1” 的代换求最值 【例5】（2026·湖北孝感·一模）已知正实数x，y满足，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【解析】因为，所以，所以，即， 所以， 当且仅当时取等． 故选：B 【变式5-1】（2026·湖北十堰·一模）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解析】因为正数，满足，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故选：D. 【变式5-2】（25-26高三上·甘肃张掖·期末）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】因为正实数满足，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：C 【变式5-3】（25-26高三上·河北保定·期中）设，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【解析】由题设， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为9. 故选：B 题型六：基本不等式的实际应用 【例6】设计用的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通法规定厢宽为2m，则车厢的最大容积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设长方体车厢（无盖）的长为，高为，， 则由题得，即， 所以， 即，当且仅当时等号成立， 由，解，得，即， 因为车厢的容积为且，仅当时等号成立，所以车厢的最大容积是. 故选：D. 【变式6-1】若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（   ） A． B．8 C．16 D． 【答案】C 【解析】设直角三角的两条直角边分别为， 因为直角三角形的面积为32， 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以两条直角边的和的最小值是. 故选：C 【变式6-2】如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解析】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 【变式6-3】某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意且， 则由基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号，故. 故选：B 题型七：基本不等式与恒成立、能成立问题 【例7】已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】， 当且仅当，即，时等号成立， 故，解得. 故答案为：. 【变式7-1】已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】 【解析】因为正实数，满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以； 故答案为： 【变式7-2】（25-26高三上·北京西城·月考）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为不等式，当时恒成立， 所以. 当时，， 当且仅当时取等号. 所以. 故选：C 【变式7-3】若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【解析】，使得成立是真命题， 所以,恒成立. 所以在上恒成立， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 1．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）若，则的最小值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】因为，所以. 所以，当且仅当，即时等号成立. 故选：C. 2．（25-26高三上·安徽马鞍山·月考）若，且，则的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由且，则， 当且仅当时，即时，等号成立，即， 所以，即的最大值为. 故选：A. 3．（2025高三上·江苏·学业考试）函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. 故选：B. 4．（25-26高三上·山东烟台·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于C，因为，所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于A ，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于D，由题干无法判断，故D错误. 故选：C. 6．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末），，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，， 则，，即， 当时，由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以， 所以的取值范围是. 故选：A. 7．已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解析】因为均为正数，且， 所以，当且仅当即时取等号. 故选：D 8．已知，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，， 则 ， 当且仅当，即，时等号成立， 故的最小值是. 故选:D. 9．（24-25高三上·福建厦门·期中）已知实数满足，则最小值为（　　） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【解析】由，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以最小值为8. 故选：B 10．下列说法正确的是（    ） ①不等式的解集为． ②若，则函数的最小值为2 ③不等式的解集是． ④当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．③④ 【答案】D 【解析】对于①：由可解得或，故①错误； 对于②：由基本不等式可知，当且仅当时，即时，等号成立，显然不可能，故②错误； 对于③：解，即解，可解得，故③正确； 对于④：若，即恒成立，满足题意；若，则须满足，解得.综上所述，，故④正确. 故选：D. 11．已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于，则. 故选：C. 12．（多选题）（25-26高三上·江苏盐城·期末）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为所以，即，故A正确； 因为，所以， 即，故B正确； 因为，不能确定指数函数是增函数，即不一定成立，故C错误； 因为，所以， 当且仅当时取等号，即，故D正确； 故选：ABD 13．（25-26高三上·上海·期末）已知正实数满足，则的最小值为 ． 【答案】16 【解析】已知， 化简得，， 整理为， 由对数运算法则，得， 由题意， 已知. 由基本不等式：， 当且仅当，即时取等号. 将代入，得， . 故答案为：16 14．（25-26高三上·全国·月考）已知，，且，则xy的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由基本不等式，得，解得，当且仅当时，等号成立， 所以的取值范围是． 故答案为：. 15．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数，满足，则的最大值为 . 【答案】8 【解析】因为，为正数，所以， 根据基本不等式可得，(当且仅当16，即时等号成立)； 则，即16， 因为16，所以，可得. 即的最大值为8. 故答案为：8 16．若，则的最小值为 ． 【答案】12 【解析】因为，所以， 所以. 因为，所以根据基本不等式的性质可得 ，当且仅当即时等号成立， 此时取最小值为12. 故答案为：12. 17．（25-26高三上·河南·月考）设a，b为正数，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为． 故答案为：. 18．（25-26高三上·天津河西·月考）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】， 当且仅当且，即时等号成立， 故答案为：. 19．已知正数满足，则的最小值为 ． 【答案】24 【解析】由题意，， 所以. 所以. 当且仅当即时等号成立，此时的最小值为24. 故答案为：24. 20．做一个体积为，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长为 m时，用纸最少． 【答案】4 【解析】设长方体的长为m，宽为m， 则，即， 设共用纸的面积为，则， 当且仅当时，等号成立， 故当底面的边长为4m时，用纸最少. 故答案为：4 21．（2025·上海黄浦·一模）若正数满足，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为是正数，所以， 又，所以，即， 所以，当且仅当，即时，取得最小值； 故答案为： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 基本不等式及其应用 目录 01 题型归纳目录 2 02 思维导图 3 03 考点统计 4 04 知识点梳理 5 知识点一：基本不等式 5 知识点二：基本不等式的应用 5 05 题型归纳，举一反三 7 题型一：基本不等式的概念与应用 7 题型二：直接法求函数最值 7 题型三：配凑法求最值 7 题型四：换元消元法求最值 8 题型五：常数 “1” 的代换求最值 8 题型六：基本不等式的实际应用 8 题型七：基本不等式与恒成立、能成立问题 9 06 模拟题精练 11 近3年（2023—2025年）高考中，基本不等式作为高中数学高频工具性考点，考查形式、分值及难度保持稳定，核心围绕公式应用与综合能力展开，适配新高考与全国卷命题趋势。考查形式以选择、填空题为主，偶见解答题第一问，分值稳定在5—8分，难度集中在基础至中档，侧重考查学生的运算求解与逻辑推理能力。 核心考点始终聚焦“一正二定三相等”的应用，高频考查配凑定值、“1”的代换、消元法求最值，同时兼顾不等式变形与条件判断。2023年多结合圆锥曲线、解三角形综合考查范围求解；2024年侧重“1”的代换变形，偶与导数结合考查函数最值；2025年新增实际应用场景，涉及生活优化问题建模，同时延续恒成立问题的考查。 整体命题重基础、重应用，避免复杂技巧，强调基本不等式的工具性，常与函数、向量、解析几何等知识交汇，突出对数学核心素养的考查，命题趋势稳定且贴合考纲要求。 知识点一：基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 知识点二：基本不等式的应用 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 题型一：基本不等式的概念与应用 【例1】已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】设，若，，，则下列关系式中正确的是 A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·广西柳州·二模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型二：直接法求函数最值 【例2】（24-25高三上·贵州·月考）若，且，则的最大值为（    ） A．6 B． C．7 D． 【变式2-1】若实数，满足，则的最小值是（    ） A．18 B．6 C． D． 【变式2-2】（2025·山西吕梁·模拟预测）若且，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．16 【变式2-3】已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 题型三：配凑法求最值 【例3】（25-26高三上·北京·月考）若，则函数的最小值为 ，此时 . 【变式3-1】已知，则的最小值是 ． 【变式3-2】（25-26高三上·吉林长春·月考）已知，，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】函数的最小值为 ． 【变式3-4】（25-26高三上·河南驻马店·开学考试）已知，则的最大值为 ． 【变式3-5】已知，则函数的最小值是 ，此时 . 题型四：换元消元法求最值 【例4】（22-23高三上·福建泉州·期中）函数在上的最大值为 ． 【变式4-1】函数的最小值为 ． 【变式4-2】已知，满足，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2026·福建泉州·二模）已知正数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型五：常数 “1” 的代换求最值 【例5】（2026·湖北孝感·一模）已知正实数x，y满足，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【变式5-1】（2026·湖北十堰·一模）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式5-2】（25-26高三上·甘肃张掖·期末）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式5-3】（25-26高三上·河北保定·期中）设，则的最小值为（    ） A．10 B．9 C．8 D．7 题型六：基本不等式的实际应用 【例6】设计用的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通法规定厢宽为2m，则车厢的最大容积是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（   ） A． B．8 C．16 D． 【变式6-2】如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【变式6-3】某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 题型七：基本不等式与恒成立、能成立问题 【例7】已知实数，，，且恒成立，则实数的取值范围为 . 【变式7-1】已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是 【变式7-2】（25-26高三上·北京西城·月考）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 1．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）若，则的最小值等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高三上·安徽马鞍山·月考）若，且，则的最大值（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三上·江苏·学业考试）函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·山东烟台·期末）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末），，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知正数a，b满足，则的最小值为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．已知，且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·福建厦门·期中）已知实数满足，则最小值为（　　） A．4 B．8 C． D． 10．下列说法正确的是（    ） ①不等式的解集为． ②若，则函数的最小值为2 ③不等式的解集是． ④当时，不等式恒成立，则k的取值范围是 A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．③④ 11．已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 12．（多选题）（25-26高三上·江苏盐城·期末）已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·上海·期末）已知正实数满足，则的最小值为 ． 14．（25-26高三上·全国·月考）已知，，且，则xy的取值范围是 ． 15．（2026·河南南阳·模拟预测）已知正数，满足，则的最大值为 . 16．若，则的最小值为 ． 17．（25-26高三上·河南·月考）设a，b为正数，且，则的最小值为 ． 18．（25-26高三上·天津河西·月考）已知正实数满足，则的最小值为 . 19．已知正数满足，则的最小值为 ． 20．做一个体积为，高为2 m的长方体纸盒，当底面的边长为 m时，用纸最少． 21．（2025·上海黄浦·一模）若正数满足，则的最小值为 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $