模拟卷07（联赛一试）高中数学全国通用

2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2026年全国高中数学联合竞赛 一试模拟试题7 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．已知集合，则中所有元素之和为_____． 2．在平面四边形中，，则的值为_____． 3．已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为_____． 4．设椭圆的左、右焦点分别为是上的一点，满足，则的面积为_____． 5．已知虚数使得和都是实数，则_____． 6．在长方体中，，若二面角的大小为，则该长方体体积的最大值为_____． 7．记的内角的对边分别为，边上的高为．已知，则的取值范围是_____． 8．有8块不同的积木，每块积木的形状为方形或者圆形，颜色为红色或者黄色，印有城市名为南昌或北京．从8块不同的积木中按顺序任取块积木表示后一次与前一次取出的积木在形状、颜色、城市名三个方面恰好有两个相同的所有不同取法总数，则_____． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．已知函数在区间上恰有20个零点，求的值及这20个零点之和． 10．在平面直角坐标系中，为曲线上异于的一点，在处的切线交轴于点，直线与相交于两点．若平分，求直线的方程． 11．设正整数是个非负实数，．已知对于任意，都有，其中． (1) 证明：； (2) 当时，求的最大值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2026年全国高中数学联合竞赛 一试模拟试题7 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．已知集合，则中所有元素之和为_____． 答案：． 解：由得，故中所有元素之和为． 2．在平面四边形中，，则的值为_____． 答案： 解：设，则 3．已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为_____． 答案： 解：，显然是偶函数，则． 所以原不等式的解集为． 4．设椭圆的左、右焦点分别为是上的一点，满足，则的面积为_____． 答案：． 解：设，则． 在中，由余弦定理得 解得．所以． 5．已知虚数使得和都是实数，则_____． 答案：． 解：． 由为实数，为虚数可知． 于是．故．因此，或． 6．在长方体中，，若二面角的大小为，则该长方体体积的最大值为_____． 答案：． 解：设，则． 由二面角的大小为知，从而可得． 长方体的体积．求导可知当时，取最大值． 7．记的内角的对边分别为，边上的高为．已知，则的取值范围是_____． 答案：． 解：在中，由余弦定理和可得 注意到，故．因此，又，故． 如图，在中，过作的垂线，使得，则，由于，即，得，故． 因此． 8．有8块不同的积木，每块积木的形状为方形或者圆形，颜色为红色或者黄色，印有城市名为南昌或北京．从8块不同的积木中按顺序任取块积木表示后一次与前一次取出的积木在形状、颜色、城市名三个方面恰好有两个相同的所有不同取法总数，则_____． 答案：240 解：如图，，其中第一个坐标表示方形或者圆形的积木，第二个坐标表示红色或者黄色的积木，第三个坐标表示印有南昌或北京的积木． 显然从中任取一点沿正方体的棱走步的不同走法，即为． 则， （前四个点共面）（前四个点不共面）， （前四个点共面）（前四个点不共面）， （前四个点共面）（前四个点不共面）， （前四个点共面）（前四个点不共面）． 所以． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．已知函数在区间上恰有20个零点，求的值及这20个零点之和． 解：． 令，得或． 显然是以为周期的周期函数，先考虑的情况． 若，则在内，或． 若，则，由于，所以，该方程在内有2个实根．又因为在内的图象关于直线对称，所以这两根之和为． 因此在内有4个零点，记为，其中，，这4个零点之和． 故，解得，这20个零点之和为． 10．在平面直角坐标系中，为曲线上异于的一点，在处的切线交轴于点，直线与相交于两点．若平分，求直线的方程． 解：设，因为，所以直线的方程为，即． 令，得，可得直线的方程为，因此． 联立得．设，则是的根，所以，故． 由于平分，故． 又．因此． 从而，所以，故，故，因此，故直线的方程为． 11．设正整数是个非负实数，．已知对于任意，都有，其中． (1) 证明：； (2) 当时，求的最大值． 解：(1) 考虑如下常见引理，证明略去． ①当正偶数时，设，有 ②当正奇数时，设，有 注意到．由引理，若为正偶数，有 由基本不等式，得．当且仅当时等号成立． 所以，因为，解得； 同理，当为正奇数，解得． (2) 当时，等号需要全部成立． 在引理中，左边的项在右边全部出现，若等号成立，则其余项均需为0． 若，则等号直接成立． 不妨设，则． 当为正奇数时，；当为正偶数时，若，则，不妨使，则此时仅，其余项均为0． 故． 所以．因此的最大值为4． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $