模拟卷02（联赛一试）高中数学全国通用

2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2026年全国高中数学联合竞赛 一试模拟试题2 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1、正实数a、b满足，则_____。 答案：。 解答：设，则，故。 2、设集合，其中m为实数。令，。若C的所有元素之和为6，则C的所有元素之积为_____。 答案：。 解答：根据条件知：。因为，，故只可能，进而知。于是知的所有元素之积为。 3、已知，则的值为_____。 答案：。 解答：根据条件知： 解得。 4、二次函数有实根，不等式对任意满足上述条件的二次函数恒成立，则s的最大值为_____。 答案：。 解答方法一：事实上，所求的最大值即为。 注意到，当时，等号成立。故所求的最大值为。 解答方法二：设的两实根分别为，则，故 当且仅当时等号成立。故所求的最大值为。 5、在直三棱柱中，底面边长与侧棱长均为2，且为中点，则到平面的距离为_____。 答案：。 解答方法一：如图，根据条件知。设点到平面的距离为。因为，故。于是知，解得。 解答方法二：建立空间直角坐标系，设，。则平面的方程为，即。于是点到平面的距离为。 6、在平面直角坐标系中，点为直线上的动点，过点作抛物线y的两条切线，切点分别为A、B，则△PAB的面积取最小值为_____。 答案：。 解答：设，则直线的方程为。注意到，故直线的方程为：。 联立方程组，得。根据韦达定理知：，故 又到直线的距离为，故 故的面积的最小值为，当时，等号成立。 7、将个整数填入的方格表，每个方格填一个数，使得每一行、每一列各数的乘积都为30，则不同的填法种数为_____。 答案：。 解答：先考虑方格表中的整数均为正整数的情形。此时每行、每列中的数字的素因子恰包含一个2、一个3和一个5。其中n个2不同行也不同列，有n!种填法。类似地，3和5也各有!种填法。故这种情形下共有种填法。 又左上角的的子方格中的数字可任意选择正、负性，此时第行与第列的数字恰有唯一的方式选择正负性，故共有种满足条件的填法。 8、设为给定的大于2的整数，有个外表上完全相同的袋子，第)个袋子中有个红球、个白球。将这些袋子混合后，任选一个袋子，并且从中连续取出三个球（每次取出不放回），则第三次取出的球是白球的概率为_____。 答案：。 解答：设选出的是第个袋子，连续三次取球的方法数为。 第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形： (白,白,白)的取法数为； (白,红,白)的取法数为； (红,白,白)的取法数为； (红,红,白)的取法数为； 从而，第三次取出的是白球的种数为： 于是在第个袋子中第三次取出的是白球的概率为。 而选到第个袋子的概率为，故所求的概率为：。 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9、在中，角所对的边分别为，且，若的面积，求的值。 解答：根据条件知： 进而知： ① 又根据余弦定理知 ② 由①、②知： ③ 进而根据②、③知： ④ 由③、④及余弦定理知： 综上所述，所求的值为。 10、证明：存在非零复数及实数满足：对任意单位复数，若，则 。 解答：设，则 令，并令，则 因此复数在复平面上对应的曲线是一条以和为焦点，以为半实轴的双曲线，故取即满足条件。 11、定义数列，试求所有实数，使得对任意非负实数n，均有。 解答：根据条件知：，故 记，则，于是知： 记，则，于是知： 将(3)代入(2)知，再代入(1)知： 显然，满足条件的。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2026年全国高中数学联合竞赛 一试模拟试题2 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1、正实数a、b满足，则_____。 2、设集合，其中m为实数。令，。若C的所有元素之和为6，则C的所有元素之积为_____。 3、已知，则的值为_____。 4、二次函数有实根，不等式对任意满足上述条件的二次函数恒成立，则s的最大值为_____。 5、在直三棱柱中，底面边长与侧棱长均为2，且为中点，则到平面的距离为_____。 6、在平面直角坐标系中，点为直线上的动点，过点作抛物线y的两条切线，切点分别为A、B，则△PAB的面积取最小值为_____。 7、将个整数填入的方格表，每个方格填一个数，使得每一行、每一列各数的乘积都为30，则不同的填法种数为_____。 8、设为给定的大于2的整数，有个外表上完全相同的袋子，第)个袋子中有个红球、个白球。将这些袋子混合后，任选一个袋子，并且从中连续取出三个球（每次取出不放回），则第三次取出的球是白球的概率为_____。 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9、在中，角所对的边分别为，且，若的面积，求的值。 10、证明：存在非零复数及实数满足：对任意单位复数，若，则 。 11、定义数列，试求所有实数，使得对任意非负实数n，均有。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $