模拟卷03（联赛一试）高中数学全国通用

2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2026年全国高中数学联合竞赛 一试模拟试题3 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1、若正数满足，则的值为_____。 2、已知集合，且A，则a的取值范围为_____。 3、若复数满足：为负实数（为虚数单位），为纯虚数，则的值为_____。 4、在正四棱锥中，、分别为、的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为，则异面直线与所成角的余弦值为_____。 5、若平面向量、、满足，则的最大值为_____。 6、设为正方形边的中点，分别在边、上任取两点、，则为锐角的概率是_____。 7、给定，已知是椭圆上的动点，为左焦点，则当取最小值时，点的坐标是_____。 8、在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位。为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，则配备新式武器的方案总数为_____。 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9、已知中，，，求面积的最小值。 10、设函数定义在上，满足：，且对任意有。试求最小的实数，对任意满足上述条件的及任意，均有。 11、已知双曲线，分别为的左、右焦点，为右支上一点，且使得，又的面积为。 (1) 求的离心率； (2) 设为的左顶点，为第一象限内上的任意一点，问是否存在常数，使得恒成立。若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2026年全国高中数学联合竞赛 一试模拟试题3 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1、若正数满足，则的值为_____。 答案：。 解答：根据换底公式知，故，即得。 2、已知集合，且A，则a的取值范围为_____。 答案：。 解答：当时，，显然满足条件。当，即时，记，则满足条件当且仅当 综上所述，满足条件的a的取值范围为。 3、若复数满足：为负实数（为虚数单位），为纯虚数，则的值为_____。 答案：。 解答：设，这里，则，于是知，故，。 4、在正四棱锥中，、分别为、的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为，则异面直线与所成角的余弦值为_____。 答案：。 解答方法一：如图，设底面ABCD中心为0，取CD中点为K，则MN平行且等于DK，故四边形MNKD为平行四边形，故异面直线DM与AN所成角即为ANK。 设，则，故，故的正三角形，故 解答方法二：以正四棱锥底面中心0为坐标原点，OP为轴建立空间直角坐标系，使得，则，， 于是。 故异面直线DM与AN所成角的余弦值为。 5、若平面向量、、满足，则的最大值为_____。 答案：。 解答：根据条件知：。令，则，且。于是知 当且仅当，且、方向相同时等号成立。 6、设为正方形边的中点，分别在边、上任取两点、，则为锐角的概率是_____。 答案：。 解答：不妨设正方形ABCD边长为1。以E为原点，为x轴正方向，为轴正方向，建立直角坐标系。设点。则为锐角等价于：。又，所以。于是知为锐角的概率为：。 7、给定，已知是椭圆上的动点，为左焦点，则当取最小值时，点的坐标是_____。 答案：。 解答：记椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为、、，离心率为，则，左准线为。 过作左准线的垂线，垂足为，则根据椭圆的第二定义知。于是 ， 等号成立当且仅当，且在与之间，此时，点的坐标为。 8、在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位。为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，则配备新式武器的方案总数为_____。 答案：。 解答：设20个岗位按先后排序为，且设第种新式武器设直的序号为。令，则有 其中。 现求解有约束条件的不定方程(1)的解的个数。 记为的正整数解的集合，为中使得的子集。注意到没有同时满足的正整数解，因而。由筛法公式知，所求解的个数为： 因为5种新式武器各不相同，互换位置得到不同的排列，所以配备新式武器的方案数等于。 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9、已知中，，，求面积的最小值。 解答：如图，不妨设在上方，在的右侧。设在上的垂足为0，以0为原点，为y轴正方向建立直角坐标系。设，则。此时。根据条件知： 故，当，，时，等号成立。 10、设函数定义在上，满足：，且对任意有。试求最小的实数，对任意满足上述条件的及任意，均有。 解答：我们先证明：对任意满足条件的及任意，均有。 不失一般性，假设。 若，则； 若，则。 另一方面，我们取，这里。容易验证这个函数满足题设条件，且。我们取，则。 综上所述，所求的最小值为。 11、已知双曲线，分别为的左、右焦点，为右支上一点，且使得，又的面积为。 (1) 求的离心率； (2) 设为的左顶点，为第一象限内上的任意一点，问是否存在常数，使得恒成立。若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 解答：(1) 设，则由焦半径公式知。根据条件知： (2) 根据(1)的分析知双曲线C：。且。 若存在满足条件的，使得对在第一象限上的任意一点，均有。 先取，则，，故。因此。 进而，一般地对任意，有。故 这表明即满足条件。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $