模拟卷06（联赛一试）高中数学全国通用

2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2026年全国高中数学联合竞赛 一试模拟试题6 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．函数的值域为_____． 2．设数列的前项和为，若，则_____． 3．曲线和轴所围区域的面积为_____． 4．已知正整数满足，其中表示不超过实数的最大整数．若成等比数列，则的值为_____． 5．互相垂直的两平面将球分割为四个几何体，这四个几何体的体积之和为，表面积之和为．若球上的两点在的交线上，则的长为_____． 6．已知实数是虚数单位．设集合，，若，则的取值范围是_____． 7．在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，上一点满足，则的值为_____． 8．从中随机抽取一个数，编号依次为的卡片顺时针摆成一圈．从1号卡片开始，沿顺时针方向将与之相邻的卡片移走，再对下一张卡片进行相同的操作．例如：在移走与1号相邻的2号卡片后，接着移走与3号相邻的4号卡片．则最后剩下的一张卡片编号是3的概率为_____． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．记的内角的对边分别为，已知，点在边上，满足．若和外接圆的面积分别为，求的面积． 10．已知函数，其中． (1) 若是偶函数，求的所有可能值； (2) 若是常数函数，求的所有可能值． 11．平面直角坐标系中，设曲线，为斜率相同的两条直线，与交于两点，与交于两点（在的左侧，在的左侧）．设关于的对称点为，关于的对称点为，若均在上，求的最大值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2026年全国高中数学联合竞赛 一试模拟试题6 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．函数的值域为_____． 答案：． 解：显然以为周期，故只需考虑． 当时，当时， ． 因此可得的值域为． 2．设数列的前项和为，若，则_____． 答案：． 解：取，得；取，得，解得． 3．曲线和轴所围区域的面积为_____． 答案：1． 解：由于关于的对称曲线为，它与关于对称，故和所围区域的面积等于与所围区域的面积． 因此所求的面积即为轴所围三角形的面积，所以答案为1． 4．已知正整数满足，其中表示不超过实数的最大整数．若成等比数列，则的值为_____． 答案：7或13． 解：若，则．由可知．所以，不符合题意．因此只能，此时．代入验证可知和满足条件． 5．互相垂直的两平面将球分割为四个几何体，这四个几何体的体积之和为，表面积之和为．若球上的两点在的交线上，则的长为_____． 答案：． 解：设球的半径为，则，解得，故外接球的表面积为，又四个几何体的表面积之和为，所以两个截面圆面积之和的二倍为． 设球心到平面的距离分别为，则两个截面圆面积之和的二倍为，解得，如图所示，即． 设的中点为，由对称性可知，四点共面，且四边形为矩形，故，则，则的长为． 6．已知实数是虚数单位．设集合，，若，则的取值范围是_____． 答案：． 解：先考虑集合，由于，设，则． 设对应点，则，所以，其中，该方程的几何意义为表示所有椭圆的并集，即平面上除去线段的点的集合，其中． 集合表示复平面上的圆，圆心为，半径为．由题意得，则该圆与线段无公共点，结合图形可知的取值范围为． 7．在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，上一点满足，则的值为_____． 答案：． 解：设，则，由正弦定理得：，因为，所以，即． 由余弦定理得，所以，解得或． 又因为，所以，因此，即，． 所以． 因此． 8．从中随机抽取一个数，编号依次为的卡片顺时针摆成一圈．从1号卡片开始，沿顺时针方向将与之相邻的卡片移走，再对下一张卡片进行相同的操作．例如：在移走与1号相邻的2号卡片后，接着移走与3号相邻的4号卡片．则最后剩下的一张卡片编号是3的概率为_____． 答案：． 解：设最后剩下的一张卡片编号是，考虑递推，结合，可得． 由题意，是奇数．若，则矛盾；若，则，重复上述操作可得． 因此，又，故．所求概率． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．记的内角的对边分别为，已知，点在边上，满足．若和外接圆的面积分别为，求的面积． 解：由，解得． 由题意，和外接圆的半径分别为．故由正弦定理，可知，即． 由余弦定理，可知，又，故． 由正弦定理，可知，所以． 因此的面积为． 10．已知函数，其中． (1) 若是偶函数，求的所有可能值； (2) 若是常数函数，求的所有可能值． 解：(1) 由是偶函数得，可得，进而，所以为所有正奇数． (2) 因为，，所以若是常数函数，则， ①当时，不是常数函数； ②当时，，此时，， 不是常数函数． ③当时， ， 所以，是常数函数． ④当时，，不是常数函数． 综上所述：． 11．平面直角坐标系中，设曲线，为斜率相同的两条直线，与交于两点，与交于两点（在的左侧，在的左侧）．设关于的对称点为，关于的对称点为，若均在上，求的最大值． 解：对，设直线的方程为． 由得．设该方程的两根为，则． 由题意，在上，故．整理得 ． 同理，． 因此为方程的两个不同正根． 故． 注意到．整理得． 令，则．故在单调递减，在单调递增，在单调递减． 所以，在处取得最大值，故的最大值为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $