模拟卷05（联赛一试）高中数学全国通用

2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2026年全国高中数学联合竞赛 一试模拟试题5 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1、设集合，则的元素个数为_____。 2、有4道选择题，每题有4个选项，其中恰有一个选项正确．某同学对每道选择题都随机选择一个选项，则该同学恰好答对两题的概率为_____． 3、设复数满足，则的实部的最小值是_____。 4、已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则三棱锥的体积为_____。 5、已知双曲线的左、右焦点分别为，分别是的左支和右支上的点，若三点共线，且，则的离心率是_____。 6、在锐角中，，为平面内一点，满足，则_____。 7、设为正实数，满足：对任意正实数，长度分别为、的三条线段可以构成某个三角形的三条边，则的取值范围为_____。 8、将1~10000的整数依自然次序填入100×100的表格，各行从左到右分别为：第一行1~100，第二行101~200，…，第一百行9901~10000。若数A所在的行及列中都没有完全平方数，则称A为自由数。则表格中自由数的个数为_____。 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9、已知满足，求边的长。 10、记，已知，求的取值范围。 11．在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，已知椭圆上有三个点满足四边形为平行四边形，关于的对称点为．若四点共圆，且直线过，求实数的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2026年全国高中数学联合竞赛 一试模拟试题5 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1、设集合，则的元素个数为_____。 答案：225。 解答：，故的元素个数为225。 2、有4道选择题，每题有4个选项，其中恰有一个选项正确．某同学对每道选择题都随机选择一个选项，则该同学恰好答对两题的概率为_____． 答案：。 解答：设“该同学恰好答对两题”，由于该同学答对一题的概率为，所以。 3、设复数满足，则的实部的最小值是_____。 答案：。 解答：根据条件知。而，故或有，或有R。 若，因为，故只可能，也即；若，则，故。当时，即满足条件，且。 4、已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为1的正三角形，为球的直径，且，则三棱锥的体积为_____。 答案：。 解答：如图，根据条件知在面上的投影为的外心。 因为，故，进而知。 于是知。 5、已知双曲线的左、右焦点分别为，分别是的左支和右支上的点，若三点共线，且，则的离心率是_____。 答案：。 解答：取中点，则。 设，由双曲线的第一定义知，从而。 由知，可得。 又由及可得，解得．于是，可得离心率。 6、在锐角中，，为平面内一点，满足，则_____。 答案：。 解答：如图，作交于，则根据条件知，，故，故 综上所述，。 7、设为正实数，满足：对任意正实数，长度分别为、的三条线段可以构成某个三角形的三条边，则的取值范围为_____。 答案：。 解答：根据齐次性，不妨设，则对任意正实数、可以构成一个三角形的三条边。注意到，故条件等价于：对任意，有 故所求的取值范围为。 8、将1~10000的整数依自然次序填入100×100的表格，各行从左到右分别为：第一行1~100，第二行101~200，…，第一百行9901~10000。若数A所在的行及列中都没有完全平方数，则称A为自由数。则表格中自由数的个数为_____。 答案：。 解答：我们把不含有完全平方数的行（列）称为空白行（列）。下面我们分别证明：表格中恰有25个空白行和78个空白列。 (1)当，即时，与在同一行或相邻两行，因此在到之间没有空白行。而=2500在第25行，故前25行无空白行。 后75行中共有100-50个完全平方数。由于时，，故任意两个完全平方数不同行，因此后50个完全方式恰占50行，故共有25个空白行。 (2)第列的数模100余，故其中有完全平方数，当且仅当存在，使得。注意到，，根据孙子定理，中恰有个同余于平方数，即本题的数表中恰有22列含有平方数，从而恰有78个空白列。 自由数在空白行和空白列的相交处，故共有个自由数。 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9、已知满足，求边的长。 解答：根据条件知，故，解得。进而知，故或。 根据射影定理知。 若，则，不满足条件。 若，则。 综上所述，BC的长为。 10、记，已知，求的取值范围。 解答方法一：记。注意到： 且，故 故。 解答方法二：记。 根据拉格朗日插值公式知： 比较上式两边的四次方系数知： 故。 11．在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为，已知椭圆上有三个点满足四边形为平行四边形，关于的对称点为．若四点共圆，且直线过，求实数的值． 解答：若轴，则由四边形为平行四边形及椭圆的对称性知，为椭圆长轴两端点，故若、四点共圆，则圆心必为，即圆以为直径，而又在椭圆上，显然矛盾! 设，则． 设（其中），并设． 由在椭圆上可得，从而． 解答方法一：设中点为．由相交弦定理和平行四边形性质有和，故． 于是可得①，②． 由在椭圆上可得③，于是有，代入②可得，结合可得． 联立得，由韦达定理知，进而． 注意在椭圆上，于是有，即，即，解得． 解答方法二：由于四点均满足和，故过四点的圆的方程为． 考察项的系数可知，结合可得． （下同法一） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $