1.2.2平行四边形的判定同步练习2025-2026学年湘教版八年级数学下册

湘教版八年级下册第一章四边形1.2.2平行四边形的判定同步练习 班级： 姓名： 一、单选题 1．下面给出的是四边形中，，，的度数比．其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2 C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1 2．在四边形中，若，，，要使该四边形为平行四边形，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知点E、F、G、H分别是四边形各边的中点，则四边形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 5．如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A． B．4 C．5 D．8 6．如图，在中，对角线，交于点O，，，分别作，，则四边形的周长为（    ） A．16 B．14 C．12 D．7 7．如图，将沿着的方向平移得到，其中与交于，连接，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 9．如图，在中，，平分交于点D，交于点E，交于点F，有以下结论： ①四边形一定是平行四边形； ②保持的大小不变，改变的长度可使成立； ③保持的长度不变，改变的大小可使成立． 其中所有的正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 10．如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点、分别是，的中点．若，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的面积为 C．周长的最小值为16 D．的最小值为 二、填空题 11．顺次连接平面上，，，四点得到一个四边形，从①，②，③，④，⑤，⑥六个条件中选取其中两个，在①②、③④、①③、⑤⑥、③⑥组合中不能得出“四边形是平行四边形”这一结论的是 （填序号）． 12．如图，在四边形中，，，，则当 时，四边形是平行四边形． 13．如图，四边形的对角线，交于点，，．当 时，四边形是平行四边形． 14．如图，在中，．若，则的度数是 ． 15．如图，在中，，将沿向右平移得到，若四边形的面积等于8，则平移的距离等于 ． 16．如图，，．把，剪下来，用它们拼图，使边BC与边重合，点A与点不重合，连接．所有拼图中，与的关系：①；②与互相平分；③与互相垂直；④，存在的是 ． 17．图1的放缩尺是利用“平行四边形的不稳定性”来进行绘图的工具，它由四把直尺用螺栓在点A，B，C，D处连接而成．在绘图过程中，O的位置固定不变，O，A，E始终位于同一水平面，且，．当由（如图2）缩小为（如图3）时，O，E两点的距离减小了，则点C的竖直高度上升了 ． 18．已知 中，，D为斜边上的中点，E是直角边上的一点，连接，将沿折叠至，交于点F，若的面积是面积的一半，则 ． 三、解答题 19．如图，在四边形中，，，求证：． 20．如图，在中，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且．求证：四边形EBFD为平行四边形． 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 ，AD∥ ． 因为， 所以 + ， 即 ． 又因为DE∥ ， 所以四边形EBFD为平行四边形． 21．如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 22．如图，在四边形中，的平分线交于点E，已知， (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，四边形周长为32，求的长度． 23．图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点B，C，D，E的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B，C，D，E都在滑轨上．当窗户开到最大时，． (1)若，则支点P与支点A的距离为______cm； (2)窗户从关闭状态到开到最大的过程中，求支点P移动的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘教版八年级下册第一章四边形1.2.2平行四边形的判定同步练习 班级： 姓名： 一、单选题 1．下面给出的是四边形中，，，的度数比．其中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．4∶3∶2∶1 B．3∶2∶3∶2 C．3∶3∶2∶2 D．3∶2∶2∶1 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定，运用了两组对角分别相等的四边形是平行四边形这一判定方法． 由“两组对角对边相等的四边形是平行四边形”进行判断即可． 【详解】解：∵对角相等的四边形是平行四边形， ∴能判定四边形是平行四边形的是． 故选：B． 2．在四边形中，若，，，要使该四边形为平行四边形，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，掌握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 根据平行四边形的判定，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，已知，故当时，四边形为平行四边形． 【详解】要使四边形为平行四边形，根据判定定理，需两组对边分别相等， 即且 已知，满足； ∵， ∴． 故选：C． 3．如图，在四边形中，与相交于点E，点E是的中点，要判定四边形是平行四边形，能添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了平行四边形的判定定理，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形进行判断即可，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故A正确； 选项B，C，D均不能证明四边形是平行四边形， 故选：A． 4．如图，已知点E、F、G、H分别是四边形各边的中点，则四边形是（    ） A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，三角形的中位线定理，熟悉平行四边形的判定是解题的关键．先借助三角形的中位线定理推出，，可证四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：连接， E、F、G、H分别是四边形各边的中点 ∴，， ，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故选：D. 5．如图，在中，点D是斜边的中点，过点D作于点E，连接，过点E作的平行线，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A． B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边的中线，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解题的关键； 由直角三角形斜边中线的性质推出，判定四边形是平行四边形，得到． 【详解】中，点D是斜边的中点， ， ， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ． 故选：C． 6．如图，在中，对角线，交于点O，，，分别作，，则四边形的周长为（    ） A．16 B．14 C．12 D．7 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质，先由平行四边形的性质得到，，再由得到四边形是平行四边形，即可得到，最后求周长即可 【详解】解：∵在中，对角线，交于点，，， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长， 故选：B． 7．如图，将沿着的方向平移得到，其中与交于，连接，则下列结论一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，由平移的性质得出，，进而可得出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵将沿着的方向平移得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故D正确，无法判断A，B，C是否正确． 故选：D 8．如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形， ∵在边上运动， ∴， ∵以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴， 分以下情况：①点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不符合题意． ②点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；符合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；不合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不合题意． 故选：B． 9．如图，在中，，平分交于点D，交于点E，交于点F，有以下结论： ①四边形一定是平行四边形； ②保持的大小不变，改变的长度可使成立； ③保持的长度不变，改变的大小可使成立． 其中所有的正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键． ①根据平行四边形的判定方法即可证明；②保持的大小不变，改变的长度，当时，可使成立．由平分和得到，从而，由平行四边形得到，从而．当时可得到，进而，从而．即可判断②．③改变的大小，保持的长度不变，由于，得到，从而，即可判断③． 【详解】解：①∵，， ∴四边形是平行四边形．故①正确． ②保持的大小不变，改变的长度，当时，可使成立． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 当时，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴．故②正确． ③改变的大小，保持的长度不变，由于，则， 由②可得， ∴， ∵ ∴．故③错误． 故选：A． 10．如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，点、分别是，的中点．若，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的面积为 C．周长的最小值为16 D．的最小值为 【答案】D 【分析】延长、交于点，过点作直线，由等边三角形的性质可得，，证明四边形为平行四边形，得出为中点，从而可得在直线上运动，证明为等边三角形，得出，连接，则，，求出，从而可得点到直线的距离都为，再由三角形的面积公式即可判断B错误；作点关于直线的对称点，连接，当点运动到与直线的交点，即、、共线时，最小，由勾股定理即可判断D正确；由得出当、、共线时，最小，最小值为的长度，即可判断A错误；过点作于，过点作于，由等边三角形的性质可得，，求出，即可判断C错误． 【详解】解：如图，延长、交于点，过点作直线， ∵和是位于直线同侧的两个等边三角形， ∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵为中点， ∴为中点， ∵在线段上运动， ∴在直线上运动， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 连接， ∵点是的中点， ∴，， ∴， ∴点到直线的距离都为， ∴的面积为，故B错误； 作点关于直线的对称点，连接，当点运动到与直线的交点，即、、共线时，最小，此时最小值为，故D正确； ∵， ∴， ∴当、、共线时，最小，最小值为的长度， ∴的最小值为，故A错误； 如图，过点作于，过点作于， ∵和是位于直线同侧的两个等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴周长的最小值为，故C错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 二、填空题 11．顺次连接平面上，，，四点得到一个四边形，从①，②，③，④，⑤，⑥六个条件中选取其中两个，在①②、③④、①③、⑤⑥、③⑥组合中不能得出“四边形是平行四边形”这一结论的是 （填序号）． 【答案】③⑥/⑥③ 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟悉平行四边形的判定是解题的关键；根据平行四边形的判定逐一进行判断即可． 【详解】解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形知，①②组合可判定四边形是平行四边形； 由两组对边分别相等的四边形是平行四边形知，③④组合可判定四边形是平行四边形； 由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形知，①③组合可判定四边形是平行四边形； 由两组对角相等的四边形是平行四边形知，⑤⑥组合可判定四边形是平行四边形； 一组对边相等，一组对角相等的四边形不能判定为平行四边形，即③⑥组合不能得出四边形是平行四边形； 故答案为：③⑥． 12．如图，在四边形中，，，，则当 时，四边形是平行四边形． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 已知，根据平行四边形判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，只需让即可列方程求解． 【详解】解：∵在四边形中，，要使其成为平行四边形，必须满足， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 13．如图，四边形的对角线，交于点，，．当 时，四边形是平行四边形． 【答案】8 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 已知对角线互相平分，根据平行四边形判定定理，需对角线也互相平分，从而计算的长度． 【详解】解：∵已知 ，即对角线被点平分． ∴要使四边形是平行四边形，对角线也必须被点平分，即 ∵，且 ∴ 当时，四边形是平行四边形． 故答案为：． 14．如图，在中，．若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 利用平行四边形性质，结合推出且，判定四边形为平行四边形，再由平行四边形对角相等得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴ ， ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∵且 ∴ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ ． 故答案为：． 15．如图，在中，，将沿向右平移得到，若四边形的面积等于8，则平移的距离等于 ． 【答案】2 【分析】本题考查平移的性质，平行四边形的判定和性质，根据平移的性质推出四边形为平行四边形，利用平行四边形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵平移， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积， ∴，即平移距离为2； 故答案为：2 16．如图，，．把，剪下来，用它们拼图，使边BC与边重合，点A与点不重合，连接．所有拼图中，与的关系：①；②与互相平分；③与互相垂直；④，存在的是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，分情况讨论求解即可得出正确的结论． 【详解】解：无法判断；故①错误； 当点A与点在异侧时，如图， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分；故②正确； 当点A与点在异侧时，如图， ∵， ∴ 又， ∴， ∴即， ∴与互相垂直；故③正确； 当点A与点在同侧时，如图， ∵， ∴ ∴， ， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的结论是②③④， 故答案为：②③④． 17．图1的放缩尺是利用“平行四边形的不稳定性”来进行绘图的工具，它由四把直尺用螺栓在点A，B，C，D处连接而成．在绘图过程中，O的位置固定不变，O，A，E始终位于同一水平面，且，．当由（如图2）缩小为（如图3）时，O，E两点的距离减小了，则点C的竖直高度上升了 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键． 设，，则，判定四边形是平行四边形，得到．当时，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质与勾股定理求得，．当时，过点作于点，根据等腰三角形的性质与勾股定理求得，．根据O，E两点的距离减小了，得到，求得，进而点C的竖直高度上升即可求解． 【详解】解：设，， 则，， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 当时，如图， 则， 过点C作于点H， ∴，则， ∴在中，， ， ∵，， ∴． 当时，如图， 则， 过点作于点， ∴，则， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴． ∵O，E两点的距离减小了， 即， ∴， ∴， ∴点C的竖直高度上升． 故答案为： 18．已知 中，，D为斜边上的中点，E是直角边上的一点，连接，将沿折叠至，交于点F，若的面积是面积的一半，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查直角三角形中的折叠问题，及“斜中半”定理的应用，灵活利用面积转化边长关系是解题关键． 根据等高的两个三角形的面积比等于边长比可得，，通过勾股定理可得的长度，可求的长度，可得，可证是平行四边形，可得，根据勾股定理可得的长度 【详解】解：如图连接， ∵， ∴． ∵D是中点， ∴． ∵折叠， ∴，． ∵， ∴，． ∴． ∴，且． ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴根据勾股定理得：． 故答案为：2． 三、解答题 19．如图，在四边形中，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质进行证明即可． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形， . 20．如图，在中，点E，F分别在DA，BC的延长线上，且．求证：四边形EBFD为平行四边形． 证明：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 ，AD∥ ． 因为， 所以 + ， 即 ． 又因为DE∥ ， 所以四边形EBFD为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法． 根据一组对边平行且相等判断四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，． ， ， 即． 又， ∴四边形为平行四边形． 21．如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)的度数为． 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定，平行四边形的判定和性质． （1）由直角三角形的两个锐角互余，结合已知可得，即可证得结论； （2）由（1）得，结合已知可证四边形是平行四边形，从而可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的度数为． 22．如图，在四边形中，的平分线交于点E，已知， (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，四边形周长为32，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明可得结论； （2）证明，可得结论． 本题考查平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，     四边形是平行四边形； （2）解：平行四边形的周长为32， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 23．图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点B，C，D，E的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B，C，D，E都在滑轨上．当窗户开到最大时，． (1)若，则支点P与支点A的距离为______cm； (2)窗户从关闭状态到开到最大的过程中，求支点P移动的距离． 【答案】(1) (2)支点P移动的距离为 【分析】本题考查平行四边形的实际应用、勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形的性质，根据实际情况构建数学模型． （1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可； （2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，，由此可解． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； （2）解：∵当窗户开到最大时，， ∴， ∴， ∵， ∴； 当关闭状态下，， ∴窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为． 学科网（北京）股份有限公司 $