2.1《不等式及其基本性质》重点题型同步练（作业）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

2025~2026北师大版八下数学2.1《不等式及其基本性质》重点题型同步练（作业）原卷版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若，则下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法一定正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 4．下面各数中，是不等式的解的是（　　） A． B．0 C．1 D．2 5．如果，下列不等式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 6．若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 7．在一场虚拟寻宝游戏中，玩家当前位置的横坐标满足．游戏设定有一个危险区域，若玩家横坐标进入特定范围就会触发警报．下列关于危险区域横坐标范围的设定中，会使玩家永远不会进入危险区域的是（   ） A． B． C． D． 8．在①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式的有（   ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 9．若a，b，c，d都是正实数，，，则①，②，③，在这3个结论中，正确的个数为（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．若，则______（填“”或“”）． 12．如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是______． 13．用不等式表示：“不大于”是________． 14．某校女子跑的记录是14秒．在今年的校春季运动会上，很遗憾，没有人能打破该项记录，若参加运动会的女生小丽的成绩为t秒，则用不等式表示为__________． 15．小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是： 停车时长（单位：小时） 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是；每小时2元（不足1小时按1小时收费）． （1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是______元； （2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为______小时， 三、解答题 16．运用不等式的性质，将下列不等式化为x＞a或x＜a的形式． （1）x-1＜5                       （2）x＜3x-12 17．表示和的点在数轴上的位置如图所示，请确定a的取值范围． 18．用不等式表示下列数量之间的关系： (1)哥哥存款x元，弟弟存款y元，兄弟二人的存款总数少于2000元； (2)长为，宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积； (3)一列动车有n节车厢，每节车厢有100个座位．在五一期间，这列动车上有m个人，其中有一些人没有座位． 19．用不等式表示下列数量之间的关系： (1)一罐饮料净重为，其中，蛋白质含量为，且不低于净重的； (2)某校七年级学生有m人，八年级学生有n人，七年级学生人数比八年级的2倍还要多． 20．关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 21．一座小水电站的水库水位在（包括，）时，发电机能正常工作．设水库水位为． (1)用不等式表示发电机正常工作的水位范围，并把它表示在数轴上． (2)当水位在下列位置时，发电机能正常工作吗？ ①；②；③；④． 用不等式和数轴给出解释． 22．某超市在春节期间搞促销活动，促销方式如下： 一次性购物的金额 促销方式 不超过200元 全部九折 超过200元 不超过200元的部分九折，超过200元的部分八折 某顾客在该超市一次性购得标价为x元的商品． (1)该顾客得到的优惠不超过18元．请列出不等式． (2)该顾客得到的优惠超过30元．请列出不等式． 23．如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为 个单位长度，x的值为 ； (2)当时，求点M表示的数； (3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长； (4)当机器人M，N和点C中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026北师大版八下数学2.1《不等式及其基本性质》重点题型同步练（作业）解析版 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若，则下列不等式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查不等式的基本性质，关键是熟练掌握不等式的三条基本性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：已知， 对于选项A：取特殊值，，则，， ，，故A错误； 对于选项B：根据不等式的基本性质3，不等式两边同时乘，不等号方向改变， ，，故B错误； 对于选项C：根据不等式的基本性质1，不等式两边同时加，不等号方向不变， ，，即，故C正确； 对于选项D：根据不等式的基本性质3，不等式两边同时除以(即乘)，不等号方向改变， ，，故D错误； 故选：C． 2．下列说法一定正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的基本性质．本题可依据数的大小关系与不等式的基本性质，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：，若，根据大于较大数的数必然大于较小数，，故A选项正确． 时，一定大于，不可能小于，B选项错误． 当时，但，不满足，C选项错误． 当时，但，不满足，D选项错误． 故选：A． 3．下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】不等式的定义 【分析】根据不等式的定义，含有不等号的表达式是不等式．选项A含有“”，因此是不等式；其他选项不符合定义． 本题考查了不等式的定义，熟练掌握不等式的概念是解题的关键． 【详解】解：A、表达式中含有，是不等式，符合题意； B、是代数表达式，无不等号，不符合题意； C、是等式，有等号但无不等号，不是不等式，不符合题意； D、是等式，有等号但无不等号，不是不等式，不符合题意； 故选：A． 4．下面各数中，是不等式的解的是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】不等式的解集 【分析】本题主要考查了不等式的解，解题的关键是熟练掌握不等式解的定义，根据解的定义进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是不等式的解的， 故选：A． 5．如果，下列不等式中不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】不等式的性质 【分析】本题根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴A．不等式两边同时减3，不等号方向不变，可得，A正确，不符合题意； B．不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变，可得，B正确，不符合题意． C．不等式两边同时乘负数﹣2，不等号方向改变，可得，C正确，不符合题意． D．由不等式性质得，两边同时加1，不等号方向不变，可得，因此D错误，符合题意． 6．若，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】不等式的性质 【分析】利用不等式两边加（或减）同一个整式，不等号方向不变的性质判断各选项即可． 【详解】解：选项，左右加减不同的数，不满足性质，举反例，可得，，，选项错误； 选项，不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，选项错误； 选项，不等式两边同时减，不等号方向不变，可得，选项正确； 选项，不等式两边同时减，不等号方向不变，可得，选项错误． 7．在一场虚拟寻宝游戏中，玩家当前位置的横坐标满足．游戏设定有一个危险区域，若玩家横坐标进入特定范围就会触发警报．下列关于危险区域横坐标范围的设定中，会使玩家永远不会进入危险区域的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】不等式的解集 【分析】本题考查了不等式的解集，掌握不等式的解集的运算方法是解题的关键． 根据玩家位置范围和危险区域范围，得出是否有共同的解集，判断即可． 【详解】解：A． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者没有共同区域，所以玩家永远不会进入危险区域； B． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者有共同区域，所以玩家可能会进入危险区域； C． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者有共同区域，所以玩家可能会进入危险区域； D． 玩家位置范围为，危险区域范围为，两者有共同区域，所以玩家可能会进入危险区域； 故选：A． 8．在①；②；③；④；⑤；⑥中，属于不等式的有（   ） A．1个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】不等式的定义 【分析】本题主要考查了不等式的定义，掌握含有不等号（如＞、＜、≠、≥、≤）的式子是不等式成为解题的关键． 根据不等式的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：①，含“＞”号，属于不等式； ②，含“＞”号，属于不等式； ③，含“=”号，属于等式，不是不等式； ④是代数式，不属于不等式； ⑤，含“≠”号，属于不等式； ⑥，含“＞”号，属于不等式． 综上，属于不等式的有①、②、⑤、⑥，共4个． 故选C． 9．若a，b，c，d都是正实数，，，则①，②，③，在这3个结论中，正确的个数为（   ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、不等式的性质 【分析】本题考查不等式的性质，完全平方公式和非负数的性质，熟练掌握相关知识的关键． 由，可得，．利用不等式的性质和完全平方公式，在左边配方成，此时右边为，运用非负数的性质判断的范围，同理②③也可以判断出范围． 【详解】解： ∵，， ∴， 两边同时加上，得， 利用完全平方公式合并，得， ∵，， ∴， ∴， ∵a，b，c，d都是正实数， ∴， ∴，故①正确； 两边同时加上，得， 利用完全平方公式合并，得， ∵，， ∴， ∴， ∵a，b，c，d都是正实数， ∴， ∴，故②正确； 同理可得，③也正确，共3个． 故选：D． 10．设实数，，满足条件，且．设，，，则，，之间的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】实数的大小比较、不等式的性质 【分析】本题考查实数的大小比较，不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质． 先化简，根据不等式的基本性质比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∵实数，，满足条件， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 11．若，则______（填“”或“”）． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变；不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．由关于的不等式的解集为，知，解之即可． 【详解】解：∵关于的不等式的解集为， ∴， 则， 故答案：． 13．用不等式表示：“不大于”是________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查了列不等式，解题的关键是理解“不大于”对应“”，即可列出不等式． 【详解】解：根据不大于， 列不等式为：， 故答案为：． 14．某校女子跑的记录是14秒．在今年的校春季运动会上，很遗憾，没有人能打破该项记录，若参加运动会的女生小丽的成绩为t秒，则用不等式表示为__________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】不等式的定义 【分析】根据没有人能打破该项记录列不等式即可． 【详解】解：∵没有人能打破该项记录， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列不等式表示数量关系，与列代数式问题相类似，首先要注意其中的运算及运算顺序，再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的区别． 15．小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是： 停车时长（单位：小时） 收费标准（单位：元） 免费 5 10 15 18 24 乙停车场收费标准是；每小时2元（不足1小时按1小时收费）． （1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是______元； （2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为______小时， 【答案】 15 7 【难度】0.65 【知识点】有理数乘法的实际应用、不等式的定义 【分析】本题考查了有理数的运算，不等式，正确理解题意是解题的关键． （1）由小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，即可求出停车时间，再根据表格即可求解； （2）根据表格分析每一个时间段，在乙停车场最多停车时间及费用，即可求解． 【详解】解：（1）∵小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出， ∴， ∴在甲停车场停了8小时20分钟， ∴由表格得收费15元， 故答案为：15； （2）若时，知甲免费，乙至少花费2元，不合题意； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多2小时4元； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多4小时8元； 若时，要使得乙停车费少，则乙最多7小时14元； 若时，乙至少花费20元，不合题意； 若时，乙至少26元，不合题意， ∴小林停车时间最长为7小时， 故答案为：7． 三、解答题 16．运用不等式的性质，将下列不等式化为x＞a或x＜a的形式． （1）x-1＜5                       （2）x＜3x-12 【答案】（1）x＜12；（2）x＞6． 【难度】0.85 【知识点】不等式的性质、不等式的解集 【分析】（1）根据不等式的性质1和不等式的性质2即可求解； （2）根据不等式的性质1和不等式的性质3即可求解． 【详解】解：（1） （2） 【点睛】主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 17．表示和的点在数轴上的位置如图所示，请确定a的取值范围． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】不等式的性质、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了不等式的性质，解决本题的关键是能准确分析数轴上点的位置特征． 由数轴可得，进而求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴． 18．用不等式表示下列数量之间的关系： (1)哥哥存款x元，弟弟存款y元，兄弟二人的存款总数少于2000元； (2)长为，宽为的长方形的面积小于边长为的正方形的面积； (3)一列动车有n节车厢，每节车厢有100个座位．在五一期间，这列动车上有m个人，其中有一些人没有座位． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】不等式的定义 【分析】本题重点考查根据实际问题列不等关系 （1）根据题意直接列出不等式即可． （2）根据长方形以及正方形的面积列出不等式即可． （3）根据总座位数为，以及有一些人没有座位即人数大于座位上列出不等式即可． 【详解】（1）解：根据题意可知： （2）解：根据题意可知： （3）解：根据题意可知： 19．用不等式表示下列数量之间的关系： (1)一罐饮料净重为，其中，蛋白质含量为，且不低于净重的； (2)某校七年级学生有m人，八年级学生有n人，七年级学生人数比八年级的2倍还要多． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】不等式的定义 【分析】本题主要考查了列不等式． （1）根据蛋白质含量不低于净重的列出不等式即可． （2）根据七年级学生人数比八年级的2倍还要多列出不等式即可 【详解】（1）解：根据题意可知蛋白质含量 （2）解：根据题意可知： 20．关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 【答案】(1)a=1； (2)a≥1． 【难度】0.85 【知识点】不等式的解集 【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可； （2）根据不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求出a的范围即可． 【详解】（1）解：由x+1<7−2x得：x＜2， 由−1+x<a得：x＜a+1， 由两个不等式的解集相同，得到a+1=2， 解得：a=1； （2）解：由不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解， 得到2≤a+1， 解得：a≥1． 【点睛】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解． 21．一座小水电站的水库水位在（包括，）时，发电机能正常工作．设水库水位为． (1)用不等式表示发电机正常工作的水位范围，并把它表示在数轴上． (2)当水位在下列位置时，发电机能正常工作吗？ ①；②；③；④． 用不等式和数轴给出解释． 【答案】(1)，见解析 (2)当水位在，时，发电机能正常工作；当水位在，时，发电机不能正常工作 【难度】0.85 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、不等式的解集 【分析】（1）直接写出不等式，再在数轴表示出来即可； （2）把把，，，表示在数轴上，进而即可得到答案． 【详解】（1）解  用不等式表示发电机能正常工作的水位范围是，在数轴上表示如图． （2）解：把，，，表示在数轴上，如图． 显然，满足不等式，而，不满足．也就是说，当水位在，时，发电机能正常工作；当水位在，时，发电机不能正常工作． 【点睛】本题主要考查不等式的应用，理解不等式的意义，在数轴上表示不等式是关键． 22．某超市在春节期间搞促销活动，促销方式如下： 一次性购物的金额 促销方式 不超过200元 全部九折 超过200元 不超过200元的部分九折，超过200元的部分八折 某顾客在该超市一次性购得标价为x元的商品． (1)该顾客得到的优惠不超过18元．请列出不等式． (2)该顾客得到的优惠超过30元．请列出不等式． 【答案】(1)当时，；当时， (2) 【难度】0.85 【知识点】不等式的定义 【分析】本题考查列不等式，理解题意，根据数量关系列出不等式是解题的关键． （1）分和两种情况，根据不同的促销方式分别列出不等式即可； （2）该顾客得到的优惠超过30元时，，根据对应的促销方式列出不等式即可． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，，即． （2）解：当时，得到优惠为（元）， ∵该顾客得到的优惠超过30元， ∴， ∴， 即． 23．如图，嘉淇设计了一动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为 个单位长度，x的值为 ； (2)当时，求点M表示的数； (3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长； (4)当机器人M，N和点C中有一个点到其他两点的距离相等时，直接写出t的值． 【答案】(1)8，6 (2)点M表示的数是 (3)机器人M变成彩色的总时长为8秒 (4)t的值为4或10.4或8或20或 【难度】0.4 【知识点】数轴上两点之间的距离、线段中点的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用)、不等式的解集 【分析】此题考查了数轴的动点问题和一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意和分类讨论． （1）本问考查数轴上两点之间的距离，根据点，表示的数，即可算出的长，再利用是的中点，得到，即可解得的值． （2）本问根据线段的和差，得到点只能在点的右边，推出的长，即可解题； （3）分情况讨论，然后综合各种情况得到机器人变成彩色的总时长； （4）分情况进行讨论，然后综合各种情况得到的值； 【详解】（1）解：∵数轴上点A，B表示的数分别为，， ∴， ∵ 是的中点， ∴， ∴表示的数分别为，即的值为， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴点只能在点的右边，位置如图所示： ∴，即，整理得，解得， ∴点表示的数为； （3）解：由（）可知，从运动到需秒， ∴，， ∴， 当追上时， ， 解得， 当追上之前， ∵， ∴ 解得， ∴， 当追上之后， ， ∵， ∴ 解得， ∴， 综上可知，， （秒） ∴机器人变成彩色的总时长为秒； （4）解：当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，设机器人的运动时间为秒，则机器人的运动时间为秒， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人到达点，此时点与点重合，即， 当机器人过点时，即， 解得或， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人到达点时，即， 当机器人超过机器人时，， 解得或（舍去）， 当时，即点到点和点到点距离相等时， 当机器人未到达点时，即， 当机器人与机器人相遇时，即， 解得或， 综上可知，的值为或或或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $