第六章 专题微课 平面向量的综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦平面向量综合问题，涵盖线性运算、共线定理应用及最值范围三大题型，通过例题导入建立已知与未知向量的联系，以“题型解析-解题策略-针对训练”为支架，衔接基础与综合应用。 其亮点在于结合几何直观培养数学眼光，如用三角形、梯形图形分析向量关系，通过转化思想发展数学思维，如共线定理转化为等式求最值，以符号与坐标表达强化数学语言。实例丰富，如共线定理结合均值不等式解题，助力学生提升解题能力，教师教学更系统高效。

平面向量的综合问题 专题微课　 CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　平面向量的线性运算 题型(二) 共线定理及其应用 题型(三) 向量线性运算中的最值 和范围问题 4 课时跟踪检测 题型(一) 平面向量的线性运算 01 [例1]　在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记=m，=n，则=(　　) A.3m-2n B.-2m+3n C.3m+2n D.2m+3n √ 解析：因为BD=2DA，所以=3， 所以=+=+3=+3(-)=-2+3=-2m+3n.故选B. |思|维|建|模| 向量线性运算的解题策略 (1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则. (2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解. (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果. 针对训练 1.如图，在△ABC中，E是BC边上一点，且BE=3EC，点F为AE的延长线上一点，写出使得=λ+μ成立的λ，μ的一组数据为____________________.  (答案不唯一) 解析：由题意知=-，而BE=3EC， 故=(-)，则=+=+(-)=+. 又点F为AE的延长线上一点， 故=t(t>1)，可取t=2， 则=2=+， 故使得=λ+μ成立的λ，μ的一组数据为. 题型(二) 共线定理及其应用 02 [例2]　已知△ABC，点D在线段BC上(不包括端点)，向量=x+y，则+的最小值为(　　) A.2 B.2+2 C.2+3 D.2+2 √ 解析：在△ABC中，点D在线段BC上(不包括端点)，故存在λ，使得=λ(0<λ<1)，即-=λ-λ，即=λ+.因为向量=x+y，所以y=λ，x=1-λ，可得x+y=1，x>0，y>0.由基本不等式得+=(x+y)=1+2++≥3+2=2+3，当且仅当y=x，即y=2-，x=-1时等号成立.故选C. 针对训练 2.已知a，b是两个不共线的向量，且向量b+ma，a-3b共线，则实数m的值为 (　　) A.3 B.-3 C. D.- √ 解析：由题意，设b+ma=k(a-3b)，即b+ma=ka-3kb， 则解得 3.设向量e1，e2是两个不共线的向量，已知=2e1-e2，=e1+3e2，=2e1-ke2，且B，C，D三点共线，则=__________ (用e1，e2表示)； 实数k=_____.  -e1+4e2　 8 解析：因为向量e1，e2是两个不共线的向量，且=2e1-e2，=e1+3e2， 所以=-=-e1+4e2. 又=2e1-ke2，且B，C，D三点共线， 所以-1×(-k)-4×2=0，解得k=8. 题型(三) 向量线性运算中的最值 和范围问题 03 [例3]　若点G是△ABC所在平面内一点，且++=0，H是直线BG上一点，=x+y，则x2+4y2的最小值是(　　) A.2 B.1 C. D. √ 解析：设G(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 因为++=0， 所以x=，y=. 所以点G是△ABC的重心. 设点D是AC的中点，则=2，B，G，D共线， 如图所示， 有=x+2y. 因为B，H，D三点共线，所以x+2y=1. 所以x2+4y2=x2+(2y)2 ≥=，当且仅当x=2y，即x=，y=时取等号，故x2+4y2的最小值是. |思|维|建|模| 　　利用向量的概念及基本运算，将所求问题转化为相应的等式关系，然后用均值不等式求最值. 针对训练 4.在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M，N分别是AB，AD上的动点，且满足2||+||=1，设=x+y，则2x+3y的最小值为(　　) A.48 B.49 C.50 D.51 √ 解析：如图，建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，C(4，3)，D(0，3).设M(m，0)，N(0，n)，因为2||+||=1， 所以2m+n=1. 因为=x+y=+，所以x=，y=， 所以2x+3y=+=(2m+n)=25++≥25+24=49， 当且仅当=， 即m=，n=时取等号，故选B. 5.在△ABO中，OA=OB=1，∠AOB=，若OC与线段AB交于点P，且满足=λ+μ，||=，则λ+μ的最大值为____.  2 解析：∵OC与线段AB交于点P， 设=x(x≥1)， 则x=λ+μ，即=+. 又P，A，B三点共线， ∴+=1，即λ+μ=x. ∵OA=OB=1， ∴当P为AB中点时，||最小，此时x最大. 又∠AOB=，故此时||=， ∴=2，即x=2，即λ+μ的最大值为2. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.在如图所示的△ABC中，AD为BC边上的中线，E为 AD的中点，则=(　　) A.- B.-+ C.+ D.-+ √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 解析：因为AD为BC边上的中线，所以=(+).因为E为AD的中点， 所以=+=+=(+)+(-)=-， 即=-+，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.已知D为△ABC所在平面内一点，AD交BC于点E，且6=2+ 3，则=(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 解析：如图，AD交BC于点E， =+，设=x=+. 由B，E，C三点共线可得+=1，解得x=. ∴=+， 则(-)=(-). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 ∴2=3.设S△CED=2y，则S△BED=3y， 又=，∴=5. ∴S△ABD=5S△BED=15y. ∴==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.如图，在▱ABCD中，M为BC的中点，=m+n，则=(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 √ 15 解析：∵=+，又m+n=m+n(-)= (m-n)+，∴m-n=1，+n=1⇒m=，n=.故=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.如图，在△ABC中，=，P是BN上的一点，若= +，则实数m的值为(　　) A. B. C.1 D.3 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：因为=，所以=-=4-. 故=+=+×=2m+. 因为P，B，N三点共线，所以2m+=1，解得m=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.已知A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若=m+n，则m+n的取值范围是(　　) A.(0，1) B.(1，+∞) C.(-∞，-1) D.(-1，0) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：因为D在圆外，所以=k，且k<-1.又=m+n， 所以=km+kn.又D，A，B三点共线， 所以km+kn=1，m+n=.而k<-1， 所以m+n∈(-1，0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.如图，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点(M，N与B，C不重合)，设=x=y，则+的最小值为(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：因为G是△ABC的重心，所以=×(+)=(x+y) (x>0，y>0).因为M，G，N三点共线， 所以x+y=1，即x+y=3. 所以+=(x+1+y+1)·=≥ =，当且仅当=，即x=y=时，等号成立. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.在△ABC所在的平面内有一点P，满足++=，则△PBC与△ABC的面积之比是(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由++=，得++-=0.所以++-(-)=0，即2=. 所以P是CA边上靠近A的一个三等分点，故=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，M，N分别为CD，BC的中点.若=λ+μ，则λ+μ=____.  解析：因为=+=+=+(+)=2++= 2--，所以=-.所以λ=-，μ=.所以λ+μ=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD=DC=2AB，E为AD的中点，若=λ+μ，则λ=________，μ=________.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：以D为原点，DC边所在直线为x轴，DA边所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略).不妨设AB=1，则D(0，0)，C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，=(-2，2)，=(-2，1)，=(1，2). ∵=λ+μ， ∴(-2，2)=λ(-2，1)+μ(1，2). ∴解得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则|+3|的最小值为___.  5 解析：以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴， y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC=a， DP=x(0≤x≤a)， ∴D(0，0)，A(2，0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 =(2，-x)，=(1，a-x). ∴+3=， |+3|2=25+(3a-4x)2≥25， 当且仅当x=时取等号. ∴|+3|的最小值为5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(10分)已知平行四边形ABCD中，=2=2=2. (1)用表示；(4分) 解：由题意知=+=+.又=2， 所以-=2(-).所以=+=+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)若||=6，||=3，∠BAD=45°，如图建立 平面直角坐标系，求和的坐标.(6分) 解：过点D作AB的垂线交AB于点D'，如图所示， 在Rt△ADD'中，由∠BAD=45°可知，AD'=3. 根据题意得A(0，0)，B(6，0)，D(3，3)， F(7，1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 所以=+=(6，0)+(3，3)=. 所以G. 所以==， =(4，-2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)如图，在等腰梯形ABCD中，AB=8，BC=CD=4，点P在线段AD上运动.求|+|的取值范围. 解：以点A为原点，AB所在的直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0，0)，B(8，0)，D(2，2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 设=λ(λ∈[0，1])， 易知点P的坐标为(2λ，2λ)， =(8-2λ，-2λ)， 则+=(-2λ，-2λ)+(8-2λ，-2λ)=(8-4λ，-4λ). 所以|+|= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 =8=8. 又∵λ∈[0，1]， ∴|+|max=8，|+|min=4. ∴|+|∈[4，8]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(15分)如图，在△AOB中，==，AD与BC相交于点M，设=a，=b. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (1)试用a，b表示向量；(6分) 解：设=t，则=+=+t=+t(-)=(1-t) +t=(1-t)+t=4(1-t)+t. 因为C，M，B三点共线， 所以4(1-t)+t=1，解得t=. 所以=+=a+b. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使得EF过点M，设=λ=μ，求λ+μ的最小值.(9分) 解：因为EF过点M，而==，所以 由(1)得=+， 所以=·+·=+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 因为M，E，F三点共线，所以+=1， 所以λ+μ=(λ+μ)=++≥+2=， 当且仅当=，即λ=，μ=时，等号成立. 故λ+μ的最小值为. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $