6.3 平面向量线性运算的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦平面向量线性运算的应用，通过习题讲评式教学，衔接向量线性运算基础，以基底法、坐标法在几何中的应用及向量在物理中的应用为支架，构建从理论到实践的学习脉络。 其亮点在于通过思维建模总结解题步骤，结合平行四边形证明、力的合成等实例，培养数学思维与应用意识。题型分类清晰，针对训练典型，助力学生提升用数学语言表达和解决问题的能力，也为教师提供系统教学资源。

6.3 平面向量线性运算的应用 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 课时目标 1.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题. 2.体会向量在解决物理和实际问题中的作用，能把平面几何问题和物理问题向量化. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一) 向量基底法在平面几何 中的应用 题型(二) 向量坐标法在平面几何 中的应用 题型(三) 向量在物理中的应用 4 课时跟踪检测 题型(一) 向量基底法在平面几何 中的应用 01 [例1]　如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且==.求证：点E，O，F在同一直线上. 证明：设=m，=n， 由==，知E，F分别是CD，AB的三等分点. ∴=+=+ =-m+(m+n)=m+n， =+=+ =(m+n)-m=m+n. ∴=. 又O为和的公共点， 故点E，O，F在同一直线上. |思|维|建|模| 1.用向量方法解决平面几何问题的步骤 2.用向量解决平面几何问题的方法 (1)基底法：选择两个不共线的向量作为基底，用基底表示有关向量，把问题转化为只含有基底向量的运算. (2)坐标法：建立适当的坐标系，用坐标表示向量，把问题转化为向量的坐标运算. 针对训练 1.在△ABC中，点M，N分别在线段AB，AC上，AM=2MB，AN=2NC.求证：MN∥BC. 证明：设=a，=b，则=-=b-a.又AM=2MB，AN=2NC，所以==a，==b.在△AMN中，=-=(b-a) =，即与共线，故MN∥BC. 题型(二) 向量坐标法在平面几何 中的应用 02 [例2]　如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PA=EF. 证明：建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP=λ(0<λ<)， 则A(0，1)，P， E，F， ∴==. ∴||==， ||==. ∴||=||.∴PA=EF. |思|维|建|模| 用向量解决平面几何问题的方法 向量坐标法：对于有些平面几何问题(如与长方形、正方形、直角三角形等有关的问题)，通过建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，利用代数运算解决平面几何中的长度、平行等问题. 针对训练 2.已知在直角梯形ABCD中，AB=AD=2CD=2，∠ADC=90°，若点M在线段AC上，则|+|的取值范围为__________.  解析：建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(0，0)，B(2，0)，C(1，2)，D(0，2)， 设=λ(0≤λ≤1)，则M(λ，2λ)， 故=(-λ，2-2λ)， =(2-λ，-2λ)， 则+=(2-2λ，2-4λ)， |+|==， 当λ=0时，|+|取得最大值为2， 当λ=时，|+|取得最小值为， ∴|+|∈. 题型(三) 向量在物理中的应用 03 [例3]　如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆AB上，∠ACW =150°，∠BCW=120°.求A和B处所受力的大小.(忽略绳子的重量) 解：设A，B处所受力分别为f1，f2，10 N的重力用f表示，则f1+f2+f=0.以重力作用点C为f1，f2的始点，如图，作平行四边形CFWE，使CW为对角线， 则=-f2，=-f1，=f. ∵∠ECW=180°-150°=30°，∠FCW=180°-120°=60°，∴∠FCE=90°. ∴四边形CEWF为矩形. ∴||=||cos 30°=5，||=||cos 60°=5. 即A处所受力的大小为5 N，B处所受力的大小为5 N. |思|维|建|模| 　由于力、位移、速度都是向量，对于解决力、位移、速度的大小、方向问题均可利用向量知识解决. 针对训练 3.一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4 m/s，这时气象台报告实际风速为2 m/s.试求风的实际方向和汽车的速度大小. 解：依据物理知识，有三个相对速度：汽车对地的速度为v车地，风对车的速度为v风车，风对地的速度为v风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v风地=v风车+v车地， 如图，根据向量加法的平行四边形法则， 可知表示|v风地|的AD是▱ACDB的对角线. 因为||=4，∠ACD=30°，||=2， 所以∠ADC=90°.在Rt△ADC中， ||=||·cos 30°=2. 所以风的实际方向是吹向正南方向，汽车速度的大小为2 m/s. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.炮弹的初速度为v0，发射角为θ(v0与水平面的夹角)，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式(t为飞行时间)为 (　　) A.y=|v0|t B.y=|v0|sin θ·t-|g|t2 C.y=|v0|sin θ·t D.y=|v0|cos θ·t √ 解析：因为炮弹上升的初速度的大小为|v0|sin θ，所以上升的高度y与v0的关系是y=|v0|sin θ·t-|g|t2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.已知点A(-1，1)，B(0，-2)，C(3，0)，D(2，3)，则四边形ABCD为 (　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 解析：∵=(1，-3)，=(1，-3)， ∴=，即AB CD. ∴四边形ABCD为平行四边形. 又AB≠AD，且AB，AC，BC不满足勾股定理，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.已知作用在点A的三个力F1=(3，4)，F2=(2，-5)，F3=(3，1)，且A(1，1)，则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为 (　　) A.(9，1) B.(1，9) C.(9，0) D.(0，9) √ 解析：由题意，得F=F1+F2+F3=(3，4)+(2，-5)+(3，1)=(8，0). 设合力F的终点为P(x，y)，则=+F=(1，1)+(8，0)=(9，1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.(多选)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足=2a，=2a+b，则下列结论正确的是(　　) A.|b|=1 B.|a|=1 C.a∥b D.|b|=2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：如图，由题意得，=-=(2a+b)-2a=b，则|b|=2，故A错误，D正确；|2a|=2|a|=2，所以|a|=1，故B正确；因为=2a，=b，所以a，b不平行，故C错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.(多选)点P是△ABC所在平面内一点，满足|-|-|+-2|=0，则△ABC的形状不可能是(　　) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：∵P是△ABC所在平面内一点，且|-|-|+-2|=0， ∴||-|(-)+(-)|=0，即||=|+|. ∴|-|=|+|. 以AB，AC为邻边作▱ABDC，由向量加、减法的几何意义知四边形ABDC为矩形， ∴⊥. ∴∠A=90°，则△ABC一定是直角三角形.故选AD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.已知a=(-1，)，=a-b，=a+b，若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB的面积是(　　) A. B.2 C.2 D.4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：因为a=(-1，)，所以|a|==2.设AB的中点为C，则=(+)=a，则||=|a|=2.所以在Rt△AOB中，||=2||=4.所以S△AOB=×4×2=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足++=0，若实数λ满足+=λ，则λ的值为(　　) A.2 B. C.3 D.6 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：如图，取BC的中点D， 则+=2. 又++=0， ∴2=-. ∴A，P，D三点共线，且||=2||. ∴=. 又+=2，∴+=3，即λ=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)飞机以300 km/h的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度大小是________km/h.  解析：如图所示，|v1|=|v|cos 30°=300×=150 (km/h). 150 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)已知A(7，5)，B(2，3)，C(6，-7)，则△ABC的形状是_________.  解析：AB==， BC==， AC==. ∵AB2+BC2=AC2， ∴AB⊥BC.又AB≠BC， ∴△ABC是直角三角形. 直角三角形 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)设O是△ABC内部一点，且+=-2，则△AOB与△AOC的面积之比为_______.  解析：设D为AC的中点，如图所示，连接OD， 则+=2.又+=-2， 所以=-，即O为BD的中点， 从而易得△AOB与△AOC的面积之比为1∶2. 1∶2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(10分)已知平面直角坐标系内四点A(1，0)，B(4，3)，C(2，4)，D(0，2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形. 证明：由已知得，=(4，3)-(1，0)=(3，3)，=(0，2)-(2，4)=(-2，-2). ∵3×(-2)-3×(-2)=0， ∴与共线. 又=(0，2)-(1，0)=(-1，2)，=(2，4)-(4，3)=(-2，1)， 且(-1)×1-2×(-2)≠0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 ∴与不共线. ∴四边形ABCD是梯形. ∵||=||=，即BC=AD， ∴四边形ABCD是等腰梯形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向. 解：建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v1|=20 km/h，水流的方向为正东，速度为|v2|=20 km/h. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 设帆船行驶的速度为v，则v=v1+v2.由题意，可得向量v1=(20cos 60°，20sin 60°)=(10，10)，向量v2=(20，0)，则v=v1+v2=(10，10) +(20，0)=(30，10). 所以|v|==20. 因为tan α==(α为v和v2的夹角，α为锐角)，所以α=30°.所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为20 km/h. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(10分)如图，已知△ABC的面积为14 cm2，D，E分别 为边AB，BC上的点，且AD∶DB=BE∶EC=2∶1，AE 交CD于点P，求△APC的面积. 解：设=a，=b，则=+=a+b，=+=a+b. ∵点A，P，E三点共线， ∴存在实数λ使得=λ=λa+λb. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 ∵点D，P，C三点共线， ∴存在实数μ使得=μ=μ a+μ b. 又∵=+=a+μ b， ∴⇒ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 ∴S△PAB=S△ABC=14×=8(cm2)， S△PBC=S△ABC=×14=2(cm2)， 故S△APC=14-8-2=4(cm2). 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $