5.4 统计与概率的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教B版）

5.4　 统计与概率的应用 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 课时目标 1.本节课的重点是能用随机模拟的方法进行估计，了解游戏、遗传性问题中的概率问题. 2.本节课的难点是利用统计和概率的知识解决日常生活和其他学科中的一些难题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　概率在整体估计中的应用 题型(二)　概率在决策中的应用 题型(三)　概率的实际应用 4 课时跟踪检测 题型(一)　概率在整体估计中的应用 01 [例1]　某厂在广告中宣称自己的产品合格率为94%，市场管理人员在市场上随机购买了该产品3件，结果发现均为不合格产品，则该厂是否进行了虚假宣传呢? 解：如果产品合格率为94%，则随机抽取一件产品，不合格的概率应为1-94%=6%.此时随机抽取3件，都不合格的概率为6%×6%×6% =0.021 6%.一件概率是0.021 6%的事是不太可能发生的，但发生了，因此有理由相信该厂进行了虚假宣传. |思|维|建|模| 产品的合格率属实，则抽取检验的产品是次品的事件发生的概率就很小，如果连续若干次检测出次品的事件发生了，即小概率事件连续若干次发生，则该产品的合格率是不可信的. 针对训练 1.为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如200只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，例如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量. 解：设保护区中天鹅的数量约为n，假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A={带有记号的天鹅}，则P(A)=.① 第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的统计定义可知P(A)=. ② 由①②两式，得=，解得n=1 500. 所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只.  题型(二)　概率在决策中的应用 02 [例2]　一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子(一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色)，跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平!你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平?”分析这个游戏是否公平. 解：把卡片六个面的颜色记为G1，G2，G3，B1，B2，B3，其中，G表示绿色，B表示蓝色；G3和B3是两面颜色不一样的那张卡片的颜色. 游戏所有的结果如图所示. 不难看出，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为=. 因此，这个游戏不公平. |思|维|建|模| 　　概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、相互独立又是概率计算的核心. (1)游戏规则公平的判断标准为：如果每人获胜的概率相等，那么游戏是公平的. (2)大概率事件易发生，小概率事件不易发生. (3)概率在总体估计中的应用. 针对训练 2.某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会形式新颖、气氛热烈，策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1，2，3，4，5，6，7的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加(若指针没有指向数字，需再次转动转盘)，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平?为什么? 解：该方案是公平的，理由如下： 各种情况如表所示：   4 5 6 7 1 5 6 7 8 2 6 7 8 9 3 7 8 9 10 由表可知该游戏可能出现的情况共有12种，其中两数字之和为偶数的有6种，为奇数的也有6种，所以(1)班代表获胜的概率P1==，(2)班代表获胜的概率P2==，即P1=P2，机会是均等的.所以该方案对双方是公平的. 题型(三)　概率的实际应用 03 [例3]　下面是一种能解决调查敏感问题的问卷样式： 在回答问题前，请自行抛一个硬币：如果得到正面，请按照问题一勾选答案；如果得到反面，请按照问题二勾选答案.(友情提示：为了不泄露您的隐私，请不要让其他人知道您抛硬币的结果.) 问题一：您的身份证号码最后一个数是奇数吗? 问题二：捡到东西后是否有据为己有的行为? (1)如果收回的200份问卷里，有62份答“是”，①那么有多少人回答了问题二?其中又有多少人答“是”呢?②估计捡到东西据为己有的行为的比例； 解：①由于抛硬币得到正面的概率为，因此可估计出回答问题一的人数为200×=100. 又因为身份证号码最后一个数是奇数与是偶数的概率都是， 因此回答了问题一的人中，答“是”的人数可估计为100×=50.由此可得，大约有100人回答了问题二，其中约有62-50=12人答“是”. ②由①知，捡到东西后有据为己有的行为的比例约为12%. (2)回收问卷的多少，对估计捡到东西据为己有的行为的比例是否有重大影响(直观作答，不必说明理由). 解：没有重大影响. |思|维|建|模| (1)由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率. (2)统计中的抽样，必须确保总体中每个个体被抽到的可能性相等. 针对训练 3.某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7，第二关、第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.3，四关全部通过可以获得一等奖(奖金为500元)，通过前三关就可以获得二等奖(奖金为200元)，如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲、乙两位选手参加本次活动. (1)求甲最后没有得奖的概率； 解：记“第一关未通过”为事件A，“第一关通过第二关未通过”为事件B，“前两关通过第三关未通过”为事件C，“甲最后没有得奖”为事件D， 则P(A)=0.3， P(B)=0.7×(1-0.5)=0.35， P(C)=0.7×0.5×(1-0.5)=0.175. 故P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=0.825. (2)已知甲和乙都通过了前两关，求甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率. 解：记“通过了前两关时最后获得二等奖”为事件E，“通过了前两关时最后获得一等奖”为事件F， 则P(E)=0.5×(1-0.3)=0.35，P(F)=0.5×0.3=0.15. 因为甲和乙最后所得奖金总和为900元，所以甲和乙一人得一等奖一人得二等奖. 故甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率为0.35×0.15+0.15×0.35=0.105. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 1.在某次考试中，共有12道选择题，每道题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择一个选项正确的概率是.某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中一个选项，则一定有3道题答对.”这句话(　　) A.正确 B.错误 C.不一定 D.无法解释 √ 解析：每道题选对的概率是，只表示有的可能性选对，不一定有3道题答对，故这句话错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 2 3 4 2.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 (　　) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 √ 解析：设“只用现金支付”为事件A，“既用现金支付也用非现金支付”为事件B，“不用现金支付”为事件C，则P(C)=1-P(A)-P(B)=1-0.45-0.15=0.4.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 3.蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多种类.在我国的云南及周边各省都有分布.春暖花开的时候是放蜂的大好季节.养蜂人甲在某地区放养了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂，养蜂人乙在同一地区放养了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂.某中学生物小组在上述地区捕获了1只黑小蜜蜂.那么，生物小组的同学认为这只黑小蜜蜂是哪位养蜂人放养的比较合理 (　　) A.甲 B.乙 C.甲和乙 D.以上都对 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 解析：因为养蜂人甲放养的黑小蜜蜂占本地区所有黑小蜜蜂的，而养蜂人乙放养的黑小蜜蜂占本地区所有黑小蜜蜂的，所以现在捕获的这只黑小蜜蜂是养蜂人乙放养的可能性较大. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 4.有甲、乙两支女子曲棍球队，为了预测来年的情况，作了如下统计：在当年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为5.1，全年比赛进球个数的标准差为21；而乙队平均每场进球数为0.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3.那么有关来年的叙述正确的个数为 (　　) ①甲队的每场进球数一定比乙队多；②估计乙队发挥比甲队稳定；③与甲队相比，估计乙队几乎每场都进球；④甲队的总进球数可能比乙队要多. A.1 B.2 C.3 D.4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 解析：当年由于甲队全年比赛进球个数的标准差为21，远远大于乙队进球个数的标准差0.3，说明甲队发挥不稳定，乙队发挥稳定；又当年甲队平均每场进球数为5.1，远远大于乙队平均每场进球数0.8，说明当年甲队在很多场比赛中进球很少，也有很多场比赛中进球非常多，而乙队当年大部分比赛都进球，只有少部分比赛中没有进球，因此利用当年的比赛情况，可以估计来年的比赛情况：甲队的每场进球数只是可能比乙队多.所以①不正确，②③④正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 5.(多选)甲与乙两人做游戏，则下列游戏规则公平的是 (　　) A.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数则甲获胜，向上的点数为偶数则乙获胜 B.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上则甲获胜，两枚都正面向上则乙获胜 C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则甲获胜，扑克牌是黑色的则乙获胜 D.甲、乙两人各写一个数字6或8，两人写的数字相同则甲获胜，否则乙获胜 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 解析：A中，向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等，A符合题意；B中，甲获胜的概率是，而乙获胜的概率是，故游戏规则不公平，B不符合题意；C中，扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等，C符合题意；D中，两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等，D符合题意. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 6.如果消息M发生的概率为P(M)，那么消息M所含的信息量为I(M)= log2，若小明在一个有4排8列座位的小型报告厅听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是(　　) A.小明在第4排 B.小明在第5列 C.小明在第4排第5列 D.小明在某一排 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 解析：记选项A、B、C、D中的事件分别为A，B，C，D， 则P(A)=，I(A)=log2=log2； P(B)=，I(B)=log2=log2； P(C)=，I(C)=log2=log2； P(D)=1，则I(D)=1. 故信息量最大的为选项C. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 7.(5分)从某地区15 000名老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示： 性别 人数 生活能否自理 男 178 能 23 不能 女 278 能 21 不能 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____人.  解析：在容量为500的随机样本中，生活不能自理的老人中男性比女性多2人，则在该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多2÷=60人. 60 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 8.(5分)为了解高中生上学使用手机的情况，调查者进行了如下的随机调查：调查者向被调查者提出两个问题：(1)你的学号是奇数吗?(2)你上学时是否经常带手机?要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答.结果被调查的800人(学号从1至800)中有260人回答了“是”，由此可以估计这800人中上学使用手机的人数是_______.  120 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 解析：因为掷硬币时，出现正面朝上和反面朝上的概率都是，被调查者中大概有400人回答了问题(2)，有400人回答了问题(1).又因为学号为奇数的概率也是，故在回答问题(1)的400人中大约有200人回答了“是”，在回答问题(2)的400人中大约有260-200=60(人)回答了“是”.故估计这800人中上学使用手机的人数是120. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 9.(10分)如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A，B.转盘A被平均分成3等份，分别标上1，2，3三个数字；转盘B被平均分成4等份，分别标上3，4，5，6四个数字.有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A与B，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜.你认为这样的游戏规则公平吗?如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平? 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 解：列表： A B 3 4 5 6 1 4 5 6 7 2 5 6 7 8 3 6 7 8 9 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 由表可知，所有等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种. 因为P(和为6)==， 所以甲、乙获胜的概率不相等， 所以这样的游戏规则不公平. 如果将规则改为“和是6或7，那么甲获胜，否则乙获胜”，那么此时游戏规则是公平的. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 10.(10分)如图，A地到火车站共有两条路径L1 和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的 人进行调查，调查结果如下： 所用时间(分钟) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 选择L1的人数 6 12 18 12 12 选择L2的人数 0 4 16 16 4 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 (1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2分) 解：共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44人， 故用频率估计相应的概率为0.44. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3分) 解：选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为 所用时间(分钟) 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 选择L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 选择L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 (3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径.(5分) 解：设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站. 由(2)知，P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6， 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 P(A2)=0.1+0.4=0.5，P(A1)>P(A2)， 所以甲应选择L1. P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8， P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9， P(B2)>P(B1)， 所以乙应选择L2. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 11.(15分)小威参加学校的数学考试，这次考试由十道选择题组成，得分要求是每做对一道题得1分，做错一道题扣1分，不做得0分，总分为7分就算及格，小威的目标是至少得7分获得及格.在这次考试中，小威确定他做的前六题全对，得6分，而他做余下的四道题中，每道题做对的概率均为p(0<p<1)，考试中，小威思量：从余下的四道题中再做一题并且及格的概率p1=p；从余下的四道题中恰做两道并且及格的概率p2=p2，他发现p1>p2，只做一道题更容易及格. 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 (1)设小威从余下的四道题中恰做三道并且及格的概率为p3，从余下的四道题中全做并且及格的概率为p4，求p3和p4；(5分) 解：由题意得 p3=p3+3p2(1-p)=p2(3-2p)， p4=p4+4p3(1-p)=p3(4-3p). 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 (2)请你帮小威计算：从余下的四道题中恰做几道并且及格的概率最大.(10分) 解：①由p1>p3且p1>p4，得0<p<； ②由p3>p1且p3>p4，得<p<1； 1 5 6 7 8 9 10 11 3 4 2 ③由p4>p1且p4>p3，可知无解. 综上，当0<p<时，恰做一道题及格概率最大； 当p=时，p1=p3，做一道题与做三道题及格概率一样大； 当<p<1时，恰做三道题及格概率最大. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $