5.3 统计与概率的应用-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

N高申数学必修第二册人教B版 5.3统计与 学习目标 会应用统计和概率知识解决实际问题 用统计和概率的思想和方法分析问题、解决 问题 要点精析 川要点统计与概率的综合应用 (1)概率的应用问题是与统计紧密相联 的，因此要熟悉统计中的各种图表的应用， 才能正确解答概率应用问题， (2)概率的实际应用问题中，经常把互 斥事件的概率与相互独立事件的概率综合起 来使用，所以要熟悉概率的加法公式和乘法 公式的适用条件. (3)实际问题中的概率问题，要注意首 先找出事件的和与事件的积，才能正确使用 互斥事件的概率加法公式与独立事件的概率 乘法公式， 思考你能通过抛掷两枚质地均匀的、 不同颜色的骰子，记录其落地之后朝上一 面的点数这一试验，说出几组互斥事件、 相互独立事件、对立事件吗？ 例1端午节小长假期间，张洋与几位 同学从天津到大连去旅游，若当天从天津到 大连的三列火车正点到达的概率分别为 0.8,0.7,0.9,假设这三列火车之间是否正 (60)学 概率的应用 点到达互不影响，则这三列火车恰好有两列 正点到达的概率是 分析本题首先将事件分解成互斥事 件的并，再利用相互独立事件乘法公式 可得 变式训练1 某人在打靶时射击4枪，命中3枪，3 枪中有且只有2枪连中的概率是（) 3 B.1 4 C. D. 1 3 变式训练2 (多选题)从甲袋中摸出一个红球的概 率是分，从乙袋中摸出一个红球的概率是， 从两袋中各摸出一个球，下列结论正确的有 A.2个球都是红球的概率为 6 B.2个球中恰有1个红球的概率为】 C.至少有1个红球的概率为 6 D.2个球都不是红球的概率为】 例2环境指数是“宜居城市”评比的 重要指标.根据以下环境指数的数据，对名 列前20名的“宜居城市”的环境指数进行 分组统计，结果如表所示.现从环境指数在 [4,5)和[7,8]内的“宜居城市”中随 机抽取2个市进行调研，则至少有1个市的 环境指数在[7,8]的概率为（) 组号 分组 频数 1 [4,5) 2 2 [5,6) 8 3 [6,7) 7 4 [7,8] 3 A B.3 c号 D品 分析本题考查古典概型的计算，列 出基本事件即可计算. P变式训练3 某生物实验室中有5只兔子，其中有3 只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机 取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率 为() A子 c号 D方 例3一天，甲拿出一个装有三张卡片 的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡 片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿 色，另一面是蓝色)，跟乙说玩一个游戏， 规则是：甲将盒子里的卡片打乱顺序后，由 乙随机抽出一张卡片放在桌上，然后由卡片 第五章统计与概率。 朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的 颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则 甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是 甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的 颜色是绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝 色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝 色，因此，你赢的概率为)，我赢的概率也 是)，怎么不公平？”分析这个游戏是否 公平 分析本题通过计算甲赢与输的概率 大小来确定游戏是否公平，对古典概型计 算要熟练 学(61 N 高中数学必修第二册人教B版 变式训练4 为拉动经济增长，某市决定新建一批重 点工程，分为基础设施工程、民生工程和产 业建设工程三类.这三类工程所含项目的个 数分别占总数的乃，子，石现有3名工人 独立地从中任选一个项目参与建设.求： (1)他们选择的项目所属类别互不相同 的概率； (2)至少有1人选择的项目属于民生工 程的概率， (62)学 数学文化 例齐王与田忌赛马，田忌的上等马优 于齐王的中等马，劣于齐王的上等马：田忌 的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中 等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现 从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛， 则田忌的马获胜的概率为（) A B. c D高中数学必修第二册人教B版 ,因此 反，正)，（反，正，正），因此P(AB)=3 P(AB)=P(A)P(B),即事件A,B相互独立.故选C. 变式训练1 D【解标】P4,)=子若A发生了，PA,=子= :若A不发生，P(A)=子即A,发生的结果对A 发生的结果有影响，∴A,与A2不是相互独立事件.故 选D. 例2A【解析】利用相互独立事件的概率乘法公式P= 号×号兮名·3人都投进的既家为站故选入 变式训练2 令【解析】记“两人都中奖”为事件4，设中一、 二等奖及不中奖分别记为1,2,0，那么甲、乙抽奖结 果有(1,2)，(1,0)，(2,1)，(2,0)，(0,1)， (0,2)共6种，其中甲、乙都中奖的结果有(1,2)， (2,1)2种，所以P4)=2=1 63 例3A【解析】记“三个元件T,T2,T3正常工作” 分别为事件A,4,A,则4)=，P4,=子，P4) =Pa,UA=1-PiPM]=l-×8不发 生故障的事件为(A2UA3)∩A1,.不发生故障的概率为 P[(A2UA)nA]=[1-P(A)P(M]PA,)=15x}=5 162321 故选A. 变式训练3 吕【解析】记：甲组研发新产品成功，F:乙组 研发新产品成功.由题知，PE)=号，PE)=号，P= 多，P(P)=号，且事件E与R,E与F,E与F,E与F 都相互独立. 记H:至少有一种新产品研发成功，则H=EF,于 是mI=PEFP=×号名 故所求概率为r)=1-P团=1后-号 数学文化 解：(1)记“甲队总得分为0分”为事件A,“甲 44 n 队总得分为2分”为事件B.甲队总得分为0分，即甲 队3人都同答错误，其经案PA)1-号广7甲队总 得分为2分，即甲队3人中有1人答错，其余2人答 对，其概率PB=3x号×1-号号 (2)记“乙队得1分”为事件C,“甲队得2分， 乙队得1分”为事件D,事件C即乙队3人中有2人答 错，其余1人答对，则PC)=1-子x号x1-+ (号x1-号x1-2州1-号x1-号x3=8甲队 得2分、乙队得1分，即事件B,C同时发生，且事件 B,C相互孩立，则PD)-BPC-号×8 "5.3统计与概率的应用 要点精析 例10.398【解析】设当天从天津到大连的三列火车正 点到达的事件分别为A,B,C,则P(A)=0.8,P(B)= 0.7,P(C)=0.9,事件A,B,C相互独立，∴.这三列火车 恰好有两列正点到达的概率P-P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =0.8×0.7×(1-0.9)+0.8×(1-0.7)×0.9+(1-0.8)×0.7×0.9= 0.398. 变式训练1 D【解析】以A表示击中，B表示未击中，所有的 基本事件有BAAA,ABAA,AABA,AAAB,共4个 其中事件“3枪中有且只有2枪连中”所包含的基本事 件有ABAA,AABA,共2个.因此，3枪中有且只有2 枪连中的概率是子-分故选D, 变式训练2 AB【解折】2个球都是红球份概率为了×宁石· A结论正确，2个球中恰有1个红球的概率为了× 山-号+-号×好分，B结论正确：至少有1个红球 的概率为1--号×1-号.C结论错误：2个球 都不是红球的概率为1了×}名，D结论错误，放选 AB. 参考答案。 例2D【解析】环境指数在[7,8]内的“宜居城市” 记为A,A2,A;环境指数在[4,5)内的“宜居城 为名了，因此这个游戏不公平 市”记为B1,B.从环境指数在[4,5)和[7,8]内 方法二：把三张卡片分别记为G,B,M,其中G 的“宜居城市”中随机抽取2个市的所有基本事件有 表示两面都是绿色的卡片，B表示两面都是蓝色的卡 片，M表示一面是绿色另一面是蓝色的卡片.考虑乙抽 AA2,AA3,A2A3,AB,AB2,A2B,AB2,A3B1, AB2,BB2,共10个.其中，没有1个市的环境指数在 取到的卡片只有三种可能，而且只有抽到M乙才能赢， [7,8]内的基本事件是BB2,共1个，∴.所求的概率 所以乙赢的概率为}，因此这个游戏不公平。 n1-0器故选D 变式训练4 变式训练3 解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、 民生工程和产业建设工程分别为事件A:,B,C,(i= B【解析】记5只兔子分别为A,B,C,D,E,其 中测量过该指标的3只兔子为A,B,C,则从这5只兔 1,2,3,且PM)2PB)3PC)=6 6 子中随机取出3只的基本事件有ABC,ABD,ABE, (1)3名工人选择的项目所属类别互不相同的情况 ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE,10 种，恰有2只测量过该项指标的基本事件有ABD, 有6种，所以概率P6P(ABC)=6P(A,)P(B,)PC)=6x2× ABE,ACD,ACE,BCD,BCE,共6种，所以所求事 件的概率为严品了，故选B, (2)至少有1人选择的项目属于民生工程的概率P 例3解：方法一：把卡片六个面的颜色记为G,G, 1-PB1-RE/E.PE1-1-专片品 G3,B1,B2,B.其中，G表示绿色，B表示蓝色，G3, B,是两面颜色不一样的那张卡片的颜色.游戏的所有结 数学文化 果可以用树状图表示： A【解析】分别用A,B,C表示齐王的上、中、下 、 等马，用a,b,c表示田忌的上、中、下等马，现从双 朝上的面G,G2GB,B2B 方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，有Aa,Ab,Ac, 朝下的面 GG B3 B2 B G3 Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,共9场比赛，其中田忌的 马获胜的有Ba,Ca,Cb,共3场比赛，.田忌的马获 不难看出，样本空间共有6个样本点，朝上的面与 朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率 胜的概率为}.故选A 3 第六章 平面向量初步 变式训练1 >6.1平面向量及其线性运算 解：(1)建立如图所示的直 北 6.1.1向量的概念 角坐标系，向量AB,BC,CD即 要点精析 为所求 60° 例1解：(1)如图所示。 (2)根据题意，AB方向为正 东 (2)由题可知∠ABC=90°，在△ABC 东方向，CD方向为正西方向，且变式训练1答图 中，可得4C=200. IAB=ICD1,.在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=CD, (3)∠A=30°，∴.由A到C的位移 故四边形ABCD为平行四边形，AD=BC=4O0(n mile). 是向北偏西30°方向200m. 例1答图 例2解：如图所示 45