5.3.3 第2课时 古典概型的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教B版）

古典概型的应用 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　树形图在古典概型中的应用 题型(二)　古典概型中的有(无) 放回抽样问题 题型(三) 古典概型与其他知识综合 4 课时跟踪检测 题型(一) 树形图在古典概型中的应用 01 [例1]　有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座.求： (1)这四人恰好都坐在自己的席位上的概率； 解：将A，B，C，D四位贵宾就座情况用树形图表示出来，如图所示， 样本点的总数为24，且每个样本点出现的可能性相等. 设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件A只包含1个样本点，所以P(A)=. (2)这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率； 解：设事件B为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”，则事件B包含9个样本点，所以P(B)==. (3)这四人恰好有1人坐在自己的席位上的概率. 解：设事件C为“这四人恰好有1人坐在自己的席位上”，则事件C包含8个样本点，所以P(C)==. |思|维|建|模| 当事件个数没有很明显的规律，并且涉及的样本点又不是太多时，我们可借助树形图直观地将其表示出来，这是进行列举的常用方法.树形图可以清晰准确地列出所有的样本点，并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况.另外，如果试验结果具有对称性，可简化结果以便于模型的建立与解答. 针对训练 1.口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一个球.试计算第二个人摸到白球的概率. 解：法一：用A表示事件“第二个人摸到白球”，把2个白球编上序号1，2；2个黑球也编上序号1，2.于是，4个人按顺序依次从袋中摸出一个球的所有样本点，可用树形图直观地表示出来，如图所示. 由图可知，试验的样本点总数是24，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这24个样本点出现的可能性相同.其中，第二个人摸到白球的样本点有12个，故第二个人摸到白球的概率为P(A)==. 法二：把2个白球编上序号1，2，两个黑球也编上 序号1，2.4个人按顺序依次从袋中摸出一球，前两 人摸出的球的所有样本点，可用树形图直观地表示出来，如图所示. 由图可知，试验的样本点总数是12，由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，所以这12个样本点出现的可能性相同.其中，第二个人摸到白球的样本点有6个，故第二个人摸到白球的概率为P(A)==. 题型(二)　古典概型中的有(无) 放回抽样问题 02 [例2]　口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，求： (1)从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率； 解：无放回地取球.任意摸出两个小球的样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，黄)}，所以摸出的是红球和白球的概率为. (2)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率. 解：有放回地取球.样本空间为{(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)，(黄，黄)}，而事件“摸出一红一白”包括(红，白)，(白，红)2个样本点，所以两次摸出的球是一红一白的概率为. 变式拓展 1.保持本例前提条件不变，若从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，求第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率. 解：有放回地取球.样本空间为{(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)，(黄，黄)}，第一次摸出红球，第二次摸出白球，只包含(红，白)1个样本点，故所求概率为. 2.保持本例前提条件不变，若从袋中依次无放回地摸出两球，求第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率. 解：无放回地取球.样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)}，所以先摸出红球，再摸出白球的概率是p=. |思|维|建|模| 　“有放回抽取”和“无放回抽取”的概率求解问题是初学者特别容易出错的，而且也是特别经典的题型，学习时要注意区分是“有放回抽取”还是“无放回抽取”.“有放回”是指抽取物体时，每次抽取之后，都把抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的；“无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，把抽取的物体放到一边，并不放回原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体总数较前一次被抽取的物体总数少. 若无特殊说明，“无放回抽取”应为一次取出相应的元素，在求解对应的样本点总个数时要注意对事件性质的确认，一次取出的元素之间无顺序的差异性.而“无放回抽取”中的“逐个抽取”，取出的结果则有先后顺序之分. 针对训练 2.一个盒子里装有完全相同的10个小球，分别标上1~10这10个数字，今随机地连续摸取两次，每次摸取1个小球，如果： (1)小球是不放回的； 解：如果小球是不放回的，则第一次摸取有10种不同的结果，第二次摸取只有9种不同的结果，共有10×9=90(种)不同的结果；如果小球是放回的，则第一次与第二次分别摸取时，均有10种不同的结果，所以共有10×10=100(种)不同的结果. “这两个小球上的数字为相邻整数”包含的样本点，如“树形图”， 列举出所包含的样本点数为18种. “连续摸取两次，每次摸取一个小球，不放回”所求的概率为=. (2)小球是有放回的. 求这两个小球上的数字为相邻整数的概率. 解：“连续有放回地摸取两次，每次摸取一个球”所求的概率为=. 题型(三) 古典概型与其他知识综合 03 [例3]　已知关于x的二次函数f(x)=mx2-nx-1，令集合M={1，2，3，4}，N={-1，2，4，6，8}，若分别从集合M，N中随机抽取一个数m和n，构成数对(m，n). (1)列举数对(m，n)的样本空间，样本点共有多少个? 解：由题意可得，m∈{1，2，3，4}，n∈{-1，2，4，6，8}，数对 (m，n)的样本空间为 Ω={(1，-1)，(1，2)，(1，4)，(1，6)，(1，8)，(2，-1)，(2，2)， (2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，-1)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(3，8)，(4，-1)，(4，2)，(4，4)，(4，6)，(4，8)}，样本点共20个. (2)记事件A为“二次函数f(x)的单调递增区间为[1，+∞)”，求事件A的概率. 解：若二次函数f(x)的单调递增区间为[1，+∞)，则二次函数f(x)的对称轴x==1，即n=2m，由(1)可得，总的样本点个数为20， 符合n=2m的样本点为(1，2)，(2，4)，(3，6)，(4，8)共4个，所以P(A)==. (3)记事件B为“关于x的一元二次方程|f(x)|=2有4个零点”，求事件B的概率. 解：因为m>0，二次函数的图象开口向上， 方程|f(x)|=2有4个零点，即方程f(x)=2和f(x)=-2各有2个零点， 等价于二次函数f(x)=mx2-nx-1的最小值小于-2，所以<-2， 即n2>4m， 样本空间中符合n2>4m的样本点有(1，4)，(1，6)，(1，8)，(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，4)，(3，6)，(3，8)，(4，6)，(4，8)，共11个，所以P(B)=. 针对训练 3.投掷6次骰子得到的点数分别为1，2，3，5，6，x，则这6个点数的中位数为4的概率为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：将6个数由小到大排列，中位数是第3个数和第4个数的平均数， 因为x∈{1，2，3，4，5，6}，且中位数为4，所以第3个数和第4个数只可能是3，5，x中的较小的两个数，又因为=4，所以x≥5，即x只能取5和6，故所求概率为=. 4.若a∈A且a-1∉A，a+1∉A，则称a为集合A的孤立元素.若集合M={1，2，3，4，5，6}，集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：集合M={1，2，3，4，5，6}的三元子集有{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，6}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，3，6}，{1，4，5}，{1，4，6}，{1，5，6}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，3，6}，{2，4，5}，{2，4，6}，{2，5，6}，{3，4，5}，{3，4，6}，{3，5，6}，{4，5，6}，共20个.满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为{1，3，5}，{1，3，6}，{1，4，6}，{2，4，6}，一共4个.由古典概型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率P==. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.已知集合M={-1，0，1，-2}，从集合M中有放回地任取两元素作为点P的坐标，则点P落在坐标轴上的概率为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：由已知得，样本点共有4×4=16个，其中落在坐标轴上的点为(-1，0)，(0，-1)，(0，0)，(1，0)，(0，1)，(-2，0)，(0，-2)，共7个，∴所求的概率为P=，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则向上的点数之差的绝对值等于2的概率是 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 解析：连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，记录向上的点数，样本空间包含的样本点的个数为n=6×6=36.“向上的点数之差的绝对值等于2”包含的样本点有(1，3)，(3，1)，(2，4)，(4，2)，(3，5)，(5，3)， (4，6)，(6，4)，共8个，所以“向上的点数之差的绝对值等于2”的概率为P==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.已知集合A={(x，y)|x+y=8，x，y∈N+}，B={(x，y)|y>x+1}.从集合A中任取一个元素m，则m∈B的概率为 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：集合A中的元素有(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，(7，1)，共7个元素，其中属于集合B的有(1，7)，(2，6)，(3，5)，共3个元素，故“从集合A中任取一个元素m，则m∈B”的概率为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.已知圆周率π=3.141 592…，把圆周率通过四舍五入精确到0.1n(n=1，2，3，4，5)的近似值分别记为a1，a2，a3，a4，a5，若从a1，a2，a3，a4，a5中任取2个数字ai，aj(1≤i<j≤5)，则满足ai>aj的概率为 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：由题意可得a1=3.1，a2=3.14，a3=3.142，a4=3.141 6，a5=3.141 59，从a1，a2，a3，a4，a5中任取2个数字ai，aj(1≤i<j≤5)，结果有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a4，a5)，共10种，其中满足ai>aj的有(a3，a4)，(a3，a5)， (a4，a5)，共3种，所以所求概率P=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度.已知M={1，3}，N={1，3，5，7，9}，若从集合M，N中各任取一个数x，y，则log3(xy)为整数的概率为 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：由题意，知样本点总数n=2×5=10，log3(xy)为整数包含的样本点有(1，1)，(1，3)，(1，9)，(3，1)，(3，3)，(3，9)，共6个，∴log3(xy)为整数的概率为P==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.将一枚骰子抛掷两次，所得向上点数分别为m和n，则函数y=mx2-4nx+1在[1，+∞)上是增函数的概率是 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：由题意可知，m，n∈{1，2，3，4，5，6}.若函数y=mx2-4nx+1在[1，+∞)上是增函数，则-=≤1，即m≥2n.以(m，n)代表一个样本点，所有的样本点数为62=36个，满足m≥2n的样本点有(2，1)，(3，1)，(4，1)，(4，2)，(5，1)，(5，2)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，共9个.由古典概型的概率公式可知，所求概率为P==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.已知一个正四面体的玩具，各面分别标有1，2，3，4中的一个数字，甲、乙两同学玩游戏，每人抛掷一次，朝下一面的数字和为奇数甲胜，否则乙胜，则甲胜的概率为 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：根据题意，每人抛掷一次，朝下一面的数字的所有情况有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16种，其中朝下一面的数字和为奇数的情况有(1，2)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，3)，共8种.所以甲获胜的概率为=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(多选)一个口袋中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，从中取出2个球，则 (　　) A.如果是不放回地抽取，那么“取出2个红球”和“取出2个白球”是对立事件 B.如果是不放回地抽取，那么第2次取到红球的概率一定小于第1次取到红球的概率 C.如果是有放回地抽取，那么取出1个红球和1个白球的概率是 D.如果是有放回地抽取，那么至少取出一个红球的概率是 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：不放回地抽取2个球包括2个都是红球、2个都是白球和1个红球1个白球，共3种情况，所以“取出2个红球”和“取出2个白球”是互斥事件，但不是对立事件，故A错误. 记2个红球分别为a，b，3个白球分别为1，2，3. 不放回地从中取2个球的样本空间Ω1={ab，a1，a2，a3，ba，b1，b2，b3，1a，1b，12，13，2a，2b，21，23，3a，3b，31，32}，共20种， 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 记事件A为“第1次取到红球”，事件B为“第2次取到红球”， 则A={ab，a1，a2，a3，ba，b1，b2，b3}，B={ab，ba，1a，1b，2a，2b，3a，3b}，所以P(A)=P(B)==，故B错误. 有放回地从中取2个球的样本空间Ω2={aa，ab，a1，a2，a3，ba，bb，b1，b2，b3，1a，1b，11，12，13，2a，2b，21，22，23，3a，3b，31，32，33}，共25种； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 记事件C为“取出1个红球和1个白球”，则C={a1，a2，a3，b1，b2，b3，1a，1b，2a，2b，3a，3b}，所以P(C)=，故C正确. 记事件D为“取出2个白球”，D={11，12，13，21，22，23，31，32，33}，所以P(D)=，所以至少取出1个红球的概率为1-=，故D正确.故选CD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)如图，一个转盘被等分成9个扇形，转动该转盘， 则箭头指向36的约数的概率为____.  解析：由题意，得样本空间的样本点的个数为9.36的约数有1，2，3，4，6，9，共6个， 所以箭头指向36的约数的概率为P==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)若f(x)=2x-1(x=1，2，3，4，5，6)的值域构成集合A，g(x)=3x +1(x=1，2，3，4，5，6)的值域构成集合B.任取一实数a∈A∪B，则a∈A∩B的概率是______.  解析：由已知，得A={1，2，4，8，16，32}，B={4，7，10，13，16，19}.所以A∪B={1，2，4，7，8，10，13，16，19，32}，A∩B={4，16}.所以所求概率P==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(5分)已知集合A=，任取k∈A，则幂函数f(x)=xk为偶函数的概率为　　　　(结果用数值表示).  解析：要幂函数f(x)=xk为偶函数，则k=-2，2， 故使幂函数f(x)=xk为偶函数的概率为=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)在甲、乙两个盒子中分别装有编号为1，2，3，4 的4个球，现从甲、乙两个盒子中各取出一个球，每个球被取出的可能性相等. (1)请列出所有可能的结果；(5分) 解：从甲、乙两个盒子中各取出一个球，所有可能的结果为(1，1)， (1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)， (3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16种情况. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)求取出的两个球的编号恰为相邻整数的概率；(3分) 解：设“取出的两个球的编号恰为相邻整数”为事件A， 事件A的所有可能的结果为(1，2)，(2，1)，(2，3)，(3，2)，(3，4)，(4，3)，共6种情况， ∴P(A)==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (3)求取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于4的概率.(2分) 解：设“取出的两个球的编号之和与编号之积都不小于4”为事件B， 事件B的所有可能的结果为(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共11种情况，∴P(B)=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(15分)随着中国实施制造强国战略以来，中国制造逐渐成为世界上认知度最高的标签之一，企业也越来越重视产品质量的全程控制.某企业从生产的一批产品中抽取40件作为样本，检测其质量指标值，质量指标值的范围为[50，100]，经过数据处理后得到如图频率分布直方图. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (1)求频率分布直方图中质量指标值的平均数和中位数(结果精确到0.1)；(5分) 解：设质量指标值的平均数为，中位数为a， 则=55×0.15+65×0.25+75×0.3+85×0.2+95×0.1=73.5，因为区间[50，60)对应的频率为0.15，区间[60，70)对应的频率为0.25，区间 [70，80)对应的频率为0.3，所以中位数a在区间[70，80)上，故0.4+ (a-70)×0.03=0.5，解得a≈73.3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)为了进一步检验产品质量，在样本中从质量指标值在[50，60)和[90，100]的两组中抽取2件产品，记至少有一件取自[50，60)的产品为事件A，求事件A的概率.(10分) 解：样本中质量指标值在[50，60)的产品有40×10×0.015=6件，记为A，B，C，D，E，F，质量指标值在[90，100]的有40×10×0.01=4件，记为a，b，c，d，从这10件产品中选取2件产品的所有选取方法有AB，AC，AD，AE，AF，Aa，Ab， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 Ac，Ad，BC，BD，BE，BF，Ba，Bb，Bc，Bd，CD，CE，CF，Ca，Cb，Cc，Cd，DE，DF，Da，Db，Dc，Dd，EF，Ea，Eb，Ec，Ed，Fa，Fb，Fc，Fd，ab，ac，ad，bc，bd，cd，共45种， 其中至少有一件取自[50，60)的产品有39种，则P(A)==. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $