5.3.4 频率与概率-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦“频率与概率”，通过计算机模拟抛硬币试验，呈现不同次数下的频数与频率数据，引导学生观察频率稳定性，建立从具体试验到抽象概率概念的学习支架，衔接随机事件知识。 其亮点是以问题驱动和生活案例（如节水龙头、产品合格率）贯穿教学，通过试验数据分析培养数据观念，结合合作探究和分层练习提升数学抽象与运算素养。规律方法总结帮助学生构建知识体系，多样化习题助力教师高效教学，提升学生应用能力。

5.3.4　频率与概率 　 第五章　5.3　概率 知识层面 1．在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．　 2．正确理解概率的意义，利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题．　 3．理解概率的意义以及频率与概率的区别． 素养层面 通过频率与概率的学习，培养数学抽象素养；借助概率知识理解现实生活中的实际问题，提升数学运算素养． 新知导学 1 合作探究 2 随堂演练 3 课时测评 4 内容索引 新知导学 返回 问题1．利用计算机模拟抛掷两枚硬币的试验，在重复试验次数为20，100，500时各做5组试验，得到事件A＝“一个正面朝上，一个反面朝上”发生的频数nA和频率fn(A)，结果如表所示： 问题导思 序号 n＝20 n＝100 n＝500 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.50 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 你能计算出A事件的概率吗？分析上面的数据，你有什么发现？ 提示：能，P(A)＝0.5，①试验次数n相同，频率fn(A)可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性． ②从整体来看，频率在概率0.5附近波动．当试验次数较少时，波动幅度较大；当试验次数较多时，波动幅度较小，但试验次数多的波动幅度并不全都比次数少的小，只是波动幅度小的可能性更大． 问题2．频率和概率可以相等吗？ 提示：可以相等．频率具有随机性，而概率是一个具体的值，随着试验次数的增加，频率稳定在概率附近；常用频率估计概率． 知识点　频率与概率 1．频率与概率：在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且，试验的次数越多，__________________ ________的可能性越大． 2．概率和频率之间的联系 在多次重复试验中，同一事件发生的频率在某一个数值附近摆动，_____________________________，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． 新知构建 频率与概率之间差 距很小 事件的频率是概率的一个近似值 微提醒 用频率估计概率 事实上，大数定律能够保证，在大量重复的试验过程中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概率，而且，试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大． 一般地，如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为 ，则当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为 .不难看出，此时也有0≤P(A)≤1，而且，可以验证，此时两对立事件的概率和为1以及互斥事件的概率加法公式等概率的性质也成立. 这种确定概率估计值的方法称为用频率估计概率，在实践中人们经常采用这种方法来估计事件发生的概率. 1．某人将一枚质地均匀的硬币连掷了10次，6次正面朝上，若用A表示“正面朝上”这一事件，则下列说法正确的是 A．事件A出现的概率为0.6 B．事件A出现的频率为0.6 C．事件A出现的频率为6 D．事件A出现的概率为6 自主检测 由频率的定义可知选B. √ 必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，所以任何事件发生的概率总在[0，1]之间，故A正确，B、D混淆了频率与概率的概念．C显然正确． 2．(多选)下列说法正确的是 A．任何事件的概率总是在[0，1]之间 B．频率是客观存在的，与试验次数无关 C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 D．概率是随机的，在试验前不能确定 √ √ 8 000×(1－2%)＝7 840(件). 3．设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8 000件产品中合格品的件数大约为 A．160　　　　　　　　　 B．7 840 C．7 998 D．7 800 √ 500名学生中共青团员有320人，即共青团员的频率为 ＝0.64，所以随机抽查一名学生，估计他是团员的概率为0.64；500名学生中戴眼镜的学生有365人，即戴眼镜的学生的频率为 ＝0.73，所以随机抽查一名学生，估计他是戴眼镜的学生的概率为0.73. 4．利用简单随机抽样的方法抽查了某校500名学生，其中共青团员有320人，戴眼镜的学生有365人，若在这个学校随机抽查一名学生，则估计他是团员的概率为________，他是戴眼镜的学生的概率为________． 0.64 0.73 返回 合作探究 返回 例1 已知某厂的产品合格率为90%，现抽出10件产品检查，则合格产品约为10×90%＝9件，根据概率的意义，可得合格产品可能是9件．故选D. √ 题型一　频率与概率概念的理解 　 已知某厂的产品合格率为90%，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是 A．合格产品少于9件 B．合格产品多于9件 C．合格产品正好是9件 D．合格产品可能是9件 [思路点拨]　解题的关键是弄清频率与概率的概念． 规律方法 1．由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映． 2．正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．　　 出现正面朝上的频率是45÷100＝0.45，出现正面朝上的概率是0.5.故选D. √ 对点练1．在一次抛硬币的试验中，同学甲用一枚质地均匀的硬币做了100次试验，发现正面朝上出现了45次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为 A．0.45，0.45　　　　　　 B．0.5，0.5 C．0.5，0.45 D．0.45，0.5 题型二　利用频率估计概率 　 某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 例2 日用 水量 [0，0.1) [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6) [0.6，0.7) 频数 1 3 2 4 9 26 5 日用水量 [0，0.1) [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6) 频数 1 5 13 10 16 5 (1)在图中作出使用了节水龙头50天的日用水量 数据的频率分布直方图； (2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35 m3的概率； (3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多 少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以 这组数据所在区间中点的值作代表．) [思路点拨]　(1)利用频数计算出频率，然后根据频率/组距画出频率分布直方图．(2)计算出日用水量小于0.35 m3的频率即可估计概率．(3)先计算出50天未使用节水龙头的日用水量的平均数和使用了节水龙头的日用水量的平均数，再求出一年能节省的水量即可． (1)在图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图； 解：如图所示． (2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率； 解：根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48， 因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48. (3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．) 解：该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为 (0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48. 该家庭使用了节水龙头50天日用水量的平均数为 (0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35. 估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3). 规律方法 1．由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率． 2．实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等．　　 对点练2．从一批苹果中，随机抽取50个作为样本，其质量(单位：克)的频数分布表如下： (1)根据频数分布表计算苹果的质量在[90，95)内的频率； 解：苹果的质量在[90，95)内的频率为0.4. (2)用分层抽样的方法从质量在[80，85)内和[95，100]内的苹果中共抽取4个，其中质量在[80，85)内的有几个？ 解：质量在[80，85)内和[95，100]内的苹果共有20个，从中取4个，其中质量在[80，85)内的有 ×4＝1(个). 分组 [80，85) [85，90) [90，95) [95，100] 频数 5 10 20 15 (3)在(2)中抽出的4个苹果中，任取2个，求质量在[80，85)和[95，100]内各有1个的概率． 解：从质量在[80，85)内中抽取的苹果记为A，从质量在[95，100]内抽取的苹果记为a，b，c.在抽出的4个苹果中，任取2个的所有样本点为(A，a)，(A，b)，(A，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共6个．质量在[80，85)和[95，100]内各有1个的样本点有(A，a)，(A，b)，(A，c)，共3个．故所求概率均为 . 返回 随堂演练 返回 1．我国西部某地区的年降水量在下列区间的频率如下表所示： 则年降水量在[200，300](mm)范围内的概率约为 A．0.29　　　　　　　 B．0.41 C．0.25 D．0.63 记年降水量在[200，300]范围内的事件为A，它是年降水量在[200，250)范围内的事件B与年降水量在[250，300]范围内的事件C的和，而事件B与C互斥，且P(B)＝0.13，P(C)＝0.12，则P(A)＝P(B)＋P(C)＝0.25，所以年降水量在[200，300](mm)范围内的概率为0.25.故选C. √ 年降水量(mm) [100，150) [150，200) [200，250) [250，300] 频率 0.21 0.16 0.13 0.12 2．某医院治疗一种疾病的治愈率为 ，前4个病人都没有治好，第5个病人的治愈率为 A．1 B． C． D．0 由概率的意义知，第5个病人的治愈率仍为 ，与前4个病人都没治好没有关系． √ 3．从存放号码分别为1，2，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： 则取到号码为奇数的频率是 A．0.53　　 B．0.5 C．0.47　　　 D．0.37 √ 卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到的次数 10 11 8 8 6 10 18 9 11 9 4．在一次掷硬币试验中，掷100次，其中有48次正面朝上．设反面朝上为事件A，则事件A出现的频数为________，事件A出现的频率为________． 100次试验中，48次正面朝上，则52次反面朝上， 52 0.52 返回 课时测评 返回 概率也可以用百分率表示，故B错误． 1．(多选)下列说法中，正确的有 A．频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性大小 B．百分率是频率，但不是概率 C．频率是不能脱离试验次数n的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值 D．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2．从10个事件中任取一个事件，若这个事件是必然事件的概率为0.2，是不可能事件的概率为0.3，则这10个事件中随机事件的个数是 A．3 B．4 C．5 D．6 这10个事件中，必然事件的个数为10×0.2＝2，不可能事件的个数为10×0.3＝3，而必然事件、不可能事件、随机事件构成了样本点空间，且它们的个数和为10，故随机事件的个数为10－2－3＝5.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5，15.5)　2；[15.5，19.5)　4； [19.5，23.5)　9；[23.5，27.5)　18； [27.5，31.5)　11；[31.5，35.5)　12； [35.5，39.5)　7；[39.5，43.5]　3. 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5]的概率约为 √ 由已知，样本容量为66，而落在[31.5，43.5]内的样本数为12＋7＋3＝22，故所求概率约为 .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4．某班学生在一次数学考试中的成绩分布如表： 那么分数在[100，110)中的频率约是(精确到0.01) A．0.18 B．0.47 C．0.50 D．0.38 班级总人数为2＋5＋6＋8＋12＋6＋4＋2＝45，成绩在[100，110)中的有8人，其频率为 ≈0.18.故选A. √ 分数段 [0， 80) [80，90) [90，100) [100，110) [110，120) [120，130) [130，140) [140，150] 人数 2 5 6 8 12 6 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5．随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表： 根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是 √ 满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意 人数 200 n 2 100 1 000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由题意得，n＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以随机调查的网上购物消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200＋ 2 100＝3 300，所以随机调查的网上购物消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的频率为 .由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6．把一枚质地均匀的硬币连续掷了1 000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为________． 掷一次硬币正面朝上的概率是0.5. 0.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7．从某自动包装机包装的食品中，随机抽取20袋，测得各袋的质量(单位：g)分别为 492，496，494，495，498，497，503，506，508，507，497，501，502，504，496，492，496，500，501，499. 根据此抽测结果估计该自动包装机包装的袋装食品质量在497.5～501.5 g之间的概率为________． 质量在497.5～501.5 g之间的有5袋，所以其频率为 ＝0.25.由此我们可以估计质量在497.5～501.5 g之间的概率为0.25. 0.25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000辆汽车的数据，时间是从某年的5月1日到下一年的4月30日，共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率的近似值是________． 在一年内挡风玻璃破碎的频率为 ，用它来估计挡风玻璃破碎的概率． 0.03 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9．(10分)(新课标全国卷Ⅱ节选)某 市为了考核甲、乙两部门的工作情 况，随机访问了50位市民．根据这 50位市民对这两部门的评分(评分 越高表明市民的评价越高)绘制茎叶图如图： 分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率． 解：市民对甲、乙两部门的评分各有50个， 对甲部门的评分高于90的分数有5个， 对乙部门的评分高于90的分数有8个， 故对甲部门评分高于90的频率为 ＝0.1，对乙部门的评分高于90的频率为 ＝0.16. 从而估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率分别为0.1，0.16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10．(15分)某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力出了10个智力题，每个题10分．然后做了统计，统计结果如表： 贫困地区 发达地区 (1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率(结果精确到0.001)；(5分) 参加测试的人数 30 50 100 200 500 800 得60分以上的人数 16 27 52 104 256 402 得60分以上的频率             参加测试的人数 30 50 100 200 500 800 得60分以上的人数 17 29 56 111 276 440 得60分以上的频率             1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解： 贫困地区 发达地区 参加测试的人数 30 50 100 200 500 800 得60分以上的人数 16 27 52 104 256 402 得60分以上的频率 0.533 0.540 0.520 0.520 0.512 0.503 参加测试的人数 30 50 100 200 500 800 得60分以上的人数 17 29 56 111 276 440 得60分以上的频率 0.567 0.580 0.560 0.555 0.552 0.550 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．(10分) 解：随着测试人数的增加，两个地区参加测试的儿童得60分以上的频率逐渐趋近于0.5和0.55.故概率分别为0.5和0.55. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11．(15分)2023年11月24日，第七届“一带一路”国际合作高峰论坛在中国上海举行，会议期间，达成了多项国际合作协议．假设甲、乙两种品牌的同类产品出口某国家的市场销售量相等，该国质量检验部门为了解它们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取300个进行测试，结果统计如图所示，已知乙品牌产品使用寿命小于200小时的概率估计为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (1)求a的值；(3分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(4分) 用频率估计概率，可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为 解：甲品牌产品寿命小于200小时的频率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是乙品牌的概率．(8分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解：根据抽样结果，寿命大于或等于200小时的产品有(100＋80＋40)＋(90＋80＋40)＝430(个)，其中乙品牌产品有210个， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12．(20分)某地要举办一年一度为期一个月(30天)的大型商业峰会，一商店每天要订购相同数量的一种食品，每个该食品的进价为0.6元，售价为1元，当天卖不完的食品按进价的半价退回，食品按每箱100个包装．根据往年的销售经验，每天对该食品的需求量和当天到会的人数有关，为了确定订购计划，统计了往年的到会人数与需求量和到会人数与天数的有关数据如下： 到会人数/人 (8 000， 9 000] (9 000， 10 000] (10 000， 11 000] (11 000， 12 000] (12 000， 13 000] 需求量/箱 400 450 500 550 600 到会人数/人 (8 000， 9 000] (9 000， 10 000] (10 000， 11 000] (11 000， 12 000] (12 000， 13 000] 天数 5 6 8 7 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 以到会人数位于各区间的频率估计到会人数位于各区间的概率． (1)估计商业峰会期间，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率；(8分) 解：由表中数据可知商业峰会期间30天内，该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的天数为5＋6＋8＝19， 所以商业峰会期间该商店一天这种食品的需求量不超过500箱的概率为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)设商业峰会期间一天这种食品的销售利润为Y(单位：元)，当商业峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时，写出Y的所有可能值，并估计Y不超过15 000元的概率．(12分) 解：当峰会期间这种食品一天的进货量为550箱时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 即Y的所有可能值为11 500，15 000，18 500，22 000， Y不超过15 000元，意味着到会人数不超过10 000， 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 谢 谢 观 看 ！ 第 五 章 　 统 计 与 概 率 返回 1＝ 2＝ ＝ 取到号码为奇数的频率是＝0.53. 频率＝＝＝0.52. A． B． C． D． ＝ A． B． C． D． ＝ ＝＝0.03 解：由直方图可知，乙品牌产品使用寿命小于200小时的频数为30＋a，故频率为， 由题意可得＝，解得a＝60. . ＝， 所以在样本中，寿命大于或等于200小时的产品是乙品牌的频率为＝， 用频率估计概率，得已使用了200小时的该产品是乙品牌的概率为. 则Y＝450×100×＋100×100×＝15 000元， 若到会人数位于区间内， 则Y＝400×100×＋150×100×＝11 500元， 若到会人数位于区间内， 到会人数不超过10 000的频率为＝， 所以Y不超过15 000元的概率的估计值为. 若到会人数位于区间内， 则Y＝500×100×＋50×100×＝18 500元， 若到会人数超过11 000，则Y＝550×100×＝22 000元， $