4.5 增长速度的比较-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教B版）

4.5 增长速度的比较 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.结合现实情境中的具体问题，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异. 2.理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)定义式：=. (2)实质：________的改变量与_______的改变量之比. (3)意义：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的______. (4)平均变化率的几何意义： 设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是曲线y=f(x)上任意不同的两点，函数y=f(x)的平均变化率==为割线AB的_____，如图所示. 函数值 自变量 快慢 斜率 |微|点|助|解| Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点，即Δx=x2-x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负. 2.三种常见函数模型的增长差异 性质 函数 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=kx(k>0) 在(0，+∞) 上的增减性 _________ _________ _________ 图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定 增长速度不变 单调递增 单调递增 单调递增 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 y=ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过__________的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有_________ 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有_____________ y=kx(k>0) logax<kx ax>kx>logax 续表 基础落实训练 1.已知函数y=f(x)=x2+1，则在x=2，Δx=0.1时，Δy的值为 (　　) A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44 解析：Δy=f(x+Δx)-f(x)=f(2+0.1)-f(2)=2.12+1-(22+1)=0.41. √ 2.函数y=2x在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率为 (　　) A.x0+Δx B.1+Δx C.2+Δx D.2 √ 解析：由题意，可得平均变化率==2. 3.下列函数中，增长速度最快的是 (　　) A.y=1.1x B.y=2 025x2 C.y=log2 025x D.y=2 025x √ 解析：y=1.1x为指数函数，y=2 025x2为二次函数，y=log2 025x是对数函数，y=2 025x是一次函数，因为当x足够大时，指数函数增长速度最快，所以A正确. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　平均变化率的计算与比较 [例1]　计算函数y=log3x在区间[1，2]与[2，3]上的平均变化率，并以此说明函数值变化的规律. 解：因为=， 所以y=log3x在区间[1，2]上的平均变化率为=log32. 在区间[2，3]上的平均变化率为=log3，因为函数y=log3x在区间[1，2]与[2，3]上均是增函数， 又log32>log3， 所以函数值y增加的速度越来越慢. |思|维|建|模| 平均变化率比较大小的方法 (1)先求平均变化率=. (2)对平均变化率化简后比较大小，在区间长度不变的条件下，平均变化率变大，说明函数增长变化也越快. 针对训练 1.函数f(x)=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1，在x0-Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是 (　　) A.k1<k2　 B.k1>k2　 C.k1=k2　 D.无法确定 √ 解析：因为k1==2x0+Δx，k2==2x0-Δx， 又Δx可正可负且不为零，所以k1，k2的大小关系不确定. 题型(二)　函数增长速度的比较 [例2]　已知a>1，则下列命题正确的是 (　　) A.∃x0，∀x>x0，有ax>xa>logax成立 B.∃x0，∀x>x0，有ax>logax>xa成立 C.∃x0，∀x>x0，有xa>ax>logax成立 D.∃x0，∀x>x0，有xa>logax>ax成立 √ 解析：因为a>1，所以函数y=ax，y=xa，y=logax均为单调递增函数. 而且各类函数的增长速度为指数函数快于幂函数，幂函数快于对数函数. 所以∃x0，∀x>x0，有ax>xa>logax成立. |思|维|建|模| 常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型 线性函数模型y=kx+b(k>0)的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变. (2)指数函数模型 指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”. (3)对数函数模型 对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓，可称为“对数增长”. 针对训练 2.“红豆生南国，春来发几枝”.如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间t的关系的函数是 (　　) A.指数函数y=2t B.对数函数y=log2t C.幂函数y=t3 D.二次函数y=2t2 √ 解析：根据已知所给的关系图，观察得到图象在第一象限，且从左到右图象是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可得，用指数函数拟合最好，故选A. 3.三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表，则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为 (　　) x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4 A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3 C.y3，y2，y1 D.y1，y3，y2 解析：由题表可知，y2随着x的增大而迅速的增大，是指数函数型变化，y3随着x的增大而增大，但是变化缓慢，是对数函数型变化，y1相对于y2的变化要慢一些，是幂函数型的变化，故选C. √ 题型(三)　指数函数、对数函数与幂函数模型的比较 [例3]　函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数 的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； 解：C1对应的函数为g(x)=x3，C2对应的函数为f(x)=2x. (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 025)，g(2 025)的大小. 解：因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2，9<x2<10，所以x1<6<x2，2 025>x2.从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6).当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 025)>g(2 025).又g(2 025)>g(6)，所以f(2 025)>g(2 025)>g(6)>f(6). |思|维|建|模| 比较函数增长情况的方法 解析法 直接看函数解析式是一次函数、指数型函数还是对数型函数，其中当x较大时，指数型函数增长速度最快，一次函数增长速度其次，对数型函数增长速度最慢 表格法 通过分析表格中的数据得出函数增长速度的差异 图象法 在同一直角坐标系中画出各函数的图象，观察图象并借助计算器，便能直观地得出这三个函数增长速度的差异 针对训练 4.函数f(x)=lg x，g(x)=0.3x-1的图象如图所示. (1)指出图中C1，C2分别对应哪一个函数； 解：由函数图象特征及变化趋势， 知曲线C1对应的函数为g(x)=0.3x-1， 曲线C2对应的函数为f(x)=lg x. (2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较). 解：当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)； 当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)； 当x∈(x2，+∞)时，g(x)>f(x). g(x)呈直线增长，函数值变化是均匀的，f(x)随着x的增大而逐渐增大，其函数值变化得越来越慢. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.如果函数y=ax+b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a的值为 (　　) A.-3 B.2 C.3 D.-2 √ 解析：根据平均变化率的定义，可知==a=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是 (　　) A.y=50 B.y=1 000x C.y=50x2 D.y=ex √ 解析：指数函数y=ax，在a>1时呈爆炸式增长，而且a越大，增长速度越快，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.有一组实验数据如表： 则体现这组数据的最佳函数模型是 (　　) A.y= B.y=log2x C.y=·2x D.y=x2 √ x 2 3 4 5 6 y 1.40 2.56 5.31 11 21.30 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快，A、B中的函数增长速度越来越慢，不正确；对于C，当x=6时，y≈21.33；对于D，当x=6时，y=18误差偏大.故C正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.下列函数图象中，估计有可能用函数y=a+blg x(b>0)来模拟的是 (　　) √ 解析：由于函数y=lg x在定义域内单调递增，且是上凸的，又b>0，所以当x>0时，y=a+blg x(b>0)的图象是单调递增且上凸的. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.下面对函数f(x)=lox，g(x)=与h(x)=在区间(0，+∞)上的衰减情况的叙述正确的是(　　) A.f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变慢 B.f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变快 C.f(x)的衰减速度逐渐变慢，g(x)的衰减速度逐渐变慢，h(x)的衰减速度逐渐变慢 D.f(x)的衰减速度逐渐变快，g(x)的衰减速度逐渐变快，h(x)的衰减速度逐渐变快 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由函数f(x)=lox，g(x)=与h(x)=在区间(0，+∞)上的图象以及性质知函数f(x)，g(x)，h(x)的衰减速度均逐渐变慢，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知y1=2x，y2=x2，y3=log2x，当2<x<4时，有 (　　) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1 √ 解析：由题意可知，三个函数在区间(2，4)上都是单调递增的，所以4<y1<16，4<y2<16，1<y3<2.所以y3最小.由函数y1，y2的图象可知，在区间(2，4)上，函数y2的图象恒在函数y1的图象上方，所以y2>y1>y3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.C0表示生物体内碳14的初始质量，经过t年后碳14剩余质量C(t)= C0(t>0，h为碳14的半衰期).现测得一古墓内某生物体内碳14含量为0.4C0，据此推算该生物距今约(参考数据：lg 2≈0.301)(　　) A.1.36h年 B.1.34h年 C.1.32h年 D.1.30h年 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意可知，C0=0.4C0. 所以lg=lg 0.4，即lg=lg 0.4. 所以==. 所以t=·h≈1.32h. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)某人投资x元，获利y元，有以下三种方案.甲：y=0.2x，乙：y=log2x+100，丙：y=1.005x，则投资500元，1 000元，1 500元时，应分别选择____________方案.  乙、甲、丙 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：根据题意，列出当x=500，1 000，1 500时，对应的函数值如表所示： x 500 1 000 1 500 甲：y=0.2x 100 200 300 乙：y=log2x+100 约等于108.96 约等于109.96 约等于110.55 丙：y=1.005x 约等于12.1 约等于146.57 约等于1 774.57 根据表中数据可知， 当投资500，1 000，1 500时，应分别选择乙、甲、丙方案. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)如图，函数y=f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4] 这几个区间上，平均变化率最大的一个区间是________.  [x3，x4] 解析：由平均变化率的定义可知，函数y=f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为，结合题图可以发现函数y=f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)函数y=x2在x=1，2，3附近的平均变化率中，在x=___附近的平均变化率最大.  3 解析：在x=1附近的平均变化率为 ===2+Δx； 在x=2附近的平均变化率为 ===4+Δx； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 在x=3附近的平均变化率为 ===6+Δx. 对任意Δx有2+Δx<4+Δx<6+Δx，所以在x=3附近的平均变化率最大. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)函数y=x3与函数y=x2ln x在区间(0，+∞)上增长速度较快的一个是______.  解析：∵=，∴比较y=x3与y=x2ln x的增长速度只需比较y=x与y=ln x增长速度即可.由图象可知y=x的增长速度快于y=ln x的增长速度，∴函数y=x3与函数y=x2ln x在区间(0，+∞)上增长速度较快的是y=x3. y=x3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)某病人吃完退烧药，他的体温变化如图所示. 比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快? 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：当时间x从0 min变到20 min时，体温y相对于时间x的平均变化率为==-0.025(℃/ min)； 当时间x从20 min变到30 min时，体温y相对于时间x的平均变化率为 ==-0.05(℃/min). 这里负号表示体温下降，显然，绝对值越大，下降的越快.又因为 |-0.025|<|-0.05|，故体温从20 min到30 min这段时间下降的比0 min到20 min这段时间要快. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知函数f(x)=x+1，g(x)=2x-2， (1)比较f(2)与g(2)的大小；(5分) 解：∵f(2)=2+1=3，g(2)=2×2-2=2，∴f(2)>g(2). (2)若f(2+Δx)<g(2+Δx)，求Δx的取值范围.(5分) 解：∵f(2+Δx)<g(2+Δx)， ∴(2+Δx)+1<2(2+Δx)-2，∴Δx>1， 即Δx的取值范围为(1，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)某公司每个仓库的收费标准如下表(x表示储存天数，y(万元)表示每个仓库收取的总费用). x 1 3 7 14 y 1 2 3 4 (1)给出两个函数y1=px-1+q(p>0且p≠1)，y2=loga(x+b)(a>0且a≠1)，要从这两个函数中选出一个来模拟表中x，y之间的关系，问：选择哪一个函数较好?请说明理由.(10分) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解：若选择函数y1=px-1+q(p>0且p≠1)， 将(1，1)，(3，2)代入函数得 解得∴y1=()x-1=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 当x=7时，y1=23=8；当x=14时，y1==64，可知当x=7或14时，与实际数据差距较大. 若选择函数y2=loga(x+b)(a>0且a≠1)，将(1，1)，(3，2)代入函数得 解得∴y2=log2(x+1).当x=7时，y2=log28=3；当x=14时，y2=log215，可知当x=7或14时，与实际数据比较接近.综上所述，选择y2=loga(x+b)(a>0且a≠1)较好. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)该公司旗下有10个这样的仓库，每个仓库储存货物时，每天需要2 000元的运营成本，不存货物时仅需500元的成本.一批货物需要存放7天，设该批货物存放在m个仓库内，其余仓库空闲.要使该公司这7天的仓库收益不少于43 000元，则m的最小值是多少?(5分) 注：收益=收入-成本. 解：设该公司这7天的仓库收益为f(m)元，由表格数据可知若货物存放 7天，每个仓库收费30 000元，∴f(m)=30 000m-[2 000m+500×(10-m)] ×7=19 500m-35 000.由f(m)≥43 000，得m≥4.∴m的最小值为4. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $