4.2.3 第2课时 对数函数的性质与图象的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教B版）

对数函数的性质与图象的应用[教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 1.进一步理解对数函数的性质与图象；会比较对数值大小及解简单的对数不等式. 2.会求对数型函数的单调区间及判断对数函数的单调性. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　比较大小 题型(二)　解对数不等式 题型(三)　对数型函数的单调性 4 题型(四)　对数型函数的综合问题 5 课时跟踪检测 题型(一)　比较大小 01 [例1]　比较下列各组数的大小. (1)lo与lo； 解：y=lox在(0，+∞)上单调递减， 因为<，所以lo>lo. (2)lo3与lo3； 解：法一：lo3-lo3=-=. ∵y=lg x是增函数，∴lg<lg<0<lg 3. ∴lo3-lo3<0. ∴lo3<lo3. 法二：因为在x∈(1，+∞)上，y=lox的图象在y=lox图象的上方，所以lo3<lo3. (3)loga2与loga3. 解：当a>1时，y=logax为增函数，所以loga2<loga3； 当0<a<1时，y=logax为减函数， 所以loga2>loga3. |思|维|建|模| 比较对数值大小的常用方法 (1)同底数的利用对数函数的单调性. (2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化. (3)底数和真数都不同，找中间量. [提醒]　比较数的大小时先利用性质比较出与0或1的大小. 针对训练 1.已知lom<lon<0，则(　　) A.n<m<1 B.m<n<1 C.1<m<n D.1<n<m 解析：因为0<<1，lom<lon<0，所以m>n>1.故选D. √ 2.已知实数a=log45，b=，c=log30.4，则a，b，c的大小关系为(　　) A.b<c<a B.b<a<c C.c<a<b D.c<b<a √ 解析：由题知，a=log45>1，b==1， c=log30.4<0，故c<b<a. 题型(二)　解对数不等式 02 [例2]　解下列不等式. (1)lox>lo(4-x)； 解：由题意可得 解得0<x<2. 所以原不等式的解集为(0，2). (2)logx>1； 解：当x>1时，logx>1=logxx， 解得x<，此时不等式无解. 当0<x<1时，logx>1=logxx， 解得x>，所以<x<1. 综上所述，原不等式的解集为. (3)loga(2x-5)>loga(x-1). 解：当a>1时，原不等式等价于解得x>4. 当0<a<1时，原不等式等价于解得<x<4. 综上所述，当a>1时， 原不等式的解集为(4，+∞)； 当0<a<1时，原不等式的解集为. |思|维|建|模| 常见的对数不等式的3种类型 (1)形如logax>logab的不等式，借助y=logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论； (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y=logax的单调性求解； (3)形如logax>logbx的不等式，可利用图象求解. 针对训练 3.log3(x+2)>1的解集是 (　　) A.(2，+∞) B.(1，+∞) C.(0，1) D.(0，1)∪(1，+∞) 解析：log3(x+2)>1⇒log3(x+2)>log33，又函数y=log3x在(0，+∞)上单调递增，所以x+2>3，解得x>1，故不等式的解集为(1，+∞). √ 4.不等式lo(2x+3)<lo(5x-6)3的解集是____________.  解析：易知lo(5x-6)3=lo(5x-6)3=lo(5x-6)， 由lo(2x+3)<lo(5x-6)3， 可得lo(2x+3)<lo(5x-6). 又函数y=lox在(0，+∞)上单调递减， 所以可得 解得<x<3. 题型(三)　对数型函数的单调性 03 [例3]　求函数f(x)=lo(x2-2x-3)的单调区间. 解：由题意，函数f(x)=lo(x2-2x-3)， 设t=x2-2x-3，令t>0，即x2-2x-3>0， 解得x>3或x<-1， 又由t=(x-1)2-4在区间(3，+∞)上单调递增，在区间(-∞，-1)上单调递减， 又由函数y=lot在定义域内单调递减， 结合复合函数单调性的判定方法， 可得函数f(x)的单调递增区间为(-∞，-1)，单调递减区间为(3，+∞). 变式拓展 1.若本例函数变为f(x)=loga(x2-2x-3)，求f(x)的单调区间. 解：由例3知t=x2-2x-3在(-∞，-1)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增， 若0<a<1，则y=logat单调递减， 所以f(x)=loga(x2-2x-3)在(-∞，-1)上单调递增，在(3，+∞)上单调递减. 若a>1，则y=logat单调递增， 所以f(x)=loga(x2-2x-3)在(-∞，-1)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增. 2.若本例函数变为y=loga(2-ax)，且在[0，1]上单调递减，求a的取值范围. 解：令y=logat，t=2-ax，当0<a<1时，y=logat为减函数，t=2-ax为减函数，不合题意； 当a>1时，y=logat为增函数，t=2-ax为减函数，符合题意，需要2-ax>0在[0，1]上恒成立，即(2-ax)min>0，所以2-a>0，解得a<2， 从而1<a<2.综上，a的取值范围为(1，2). |思|维|建|模| 形如f(x)=logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法 (1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域). (2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调递增区间是f(x)的单调递增区间；g(x)的单调递减区间是f(x)的单调递减区间. (3)当底数0<a<1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调递增区间是f(x)的单调递减区间，g(x)的单调递减区间是f(x)的单调递增区间. 针对训练 5.(1)求函数y=lo(4x-x2)的单调区间； 解：由4x-x2>0，得函数的定义域是(0，4). 令t=4x-x2(0<x<4)， 则y=lot. ∵t=4x-x2=-(x-2)2+4， ∴t=4x-x2(0<x<4)的单调递减区间是[2，4)，单调递增区间是(0，2). 又y=lot在(0，+∞)上是减函数， ∴函数y=lo(4x-x2)的单调递减区间是(0，2)，单调递增区间是[2，4). (2)已知函数f(x)=log2(x2+ax+3)-2在(1，+∞)上单调递增，求a的取值范围. 解：因为函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，又函数y=log2x在定义域上单调递增， 所以u=x2+ax+3在(1，+∞)上单调递增，且u>0在(1，+∞)上恒成立， 所以-≤1且12+1×a+3≥0， 解得a≥-2， 即a的取值范围为[-2，+∞). 题型(四)　对数型函数的综合问题 04 [例4]　已知函数f(x)=log2为奇函数，其中a≠-1. (1)求f(0)和实数a的值； 解：由f(x)=log2，得f(0)=log21=0. 因为函数f(x)是奇函数，所以f(-x)+f(x)=0， 即log2+log2=log2=0=log21， 即·=1，则1-a2x2=1-x2， 所以a2=1，又因为a≠-1，所以a=1. (2)若f(x)满足f(1-t)+f(1-t2)>0，求实数t的取值范围. 解：由(1)知f(x)=log2，由>0， 解得-1<x<1，则f(x)的定义域为(-1，1)， 因为f(x)=log2=log2，所以f(x)在(-1，1)上为减函数. 又因为f(1-t)+f(1-t2)>0， 即f(1-t)>-f(1-t2)=f(t2-1)， 所以解得1<t<， 所以实数t的取值范围为(1，). |思|维|建|模| (1)求对数型函数的值域一般是先求真数的范围，然后利用对数函数的单调性求解； (2)判断函数的奇偶性，一定要先求函数的定义域，再研究f(x)与f(-x)的关系. 针对训练 6.已知函数f(x)=为奇函数. (1)求实数a的值； 解：函数f(x)=中，3x+a≠0. 由f(x)是奇函数，得f(x)+f(-x)=0， 即+=0，整理得(a+1)(3x+3-x+2)=0，解得a=-1.此时f(x)=， 满足f(x)+f(-x)=+=+=0，即函数f(x)为奇函数，符合题意.所以实数a的值为-1. (2)设函数g(x)=log3·log3+m，若对任意的x1∈[3，27]，总存在x2∈(0，2]，使得g(x1)=f(x2)成立，求实数m的取值范围. 解：由(1)知f(x)==1+，显然y=f(x)在(0，2]上单调递减，所以函数f(x)在(0，2]上的值域A=.又g(x)=log3·log3+m=(log3x-1) (log3x-2)+m，x∈[3，27]， 设t=log3x，则t∈[1，3]，y=(t-1)(t-2)+m=t2-3t+2+m，当t=时，有ymin=-+m，当t=3时，有ymax=2+m，因此函数g(x)在[3，27]上的值域B=.由对任意的x1∈[3，27]，总存在x2∈(0，2]，使得g(x1)=f(x2)成立，可知B⊆A，于是-+m≥，解得m≥. 所以实数m的取值范围是. 课时跟踪检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.若lg(2x-4)≤1，则x的取值范围是 (　　) A.(-∞，7] B.(2，7] C.[7，+∞) D.(2，+∞) √ 解析：由lg(2x-4)≤1，得0<2x-4≤10，即2<x≤7，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.若a=，b=log43，c=lo9，则它们大小关系正确的是(　　) A.b>a>c B.a>b>c C.c>b>a D.a>c>b √ 解析：a==>1，b=log43>log41=0，b=log43<log44=1，即0<b<1，c=lo9<lo1=0，所以a>b>c. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.函数y=x+log2x(x≥1)的值域为 (　　) A.(1，+∞) B.(-∞，1) C.[1，+∞) D.[-1，+∞) √ 解析：由于y=x和y=log2x在[1，+∞)上均是增函数，所以函数y=x+ log2x(x≥1)在[1，+∞)上是增函数，所以函数的值域为[1，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.(多选)下列各式正确的是 (　　) A.log0.50.4>log0.50.6 B.log23<log0.32 C.ln<lg D.lo3<lo √ 15 解析：y=log0.5x为减函数，故log0.50.4>log0.50.6，A正确；而log0.32<0，log23>log22=1，B错误；由ln x与lg x的图象知C正确；lo3<0，lo>0，D正确. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.若logm8.1<logn8.1<0，那么m，n满足的条件是 (　　) A.m>n>1 B.n>m>1 C.0<n<m<1 D.0<m<n<1 √ 解析：根据题意知m，n一定都是大于0且小于1的数，画出y=logmx，y=lognx的图象，如图，根据函数图象，当x>1时，底数越大，函数值越小，所以有0<n<m<1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a，+∞)上单调递增，则a的取值范围是 (　　) A.[5，+∞) B.[2，+∞) C.(-∞，2] D.(-∞，-1] √ 解析：由于f(x)=lg(x2-4x-5)在(a，+∞)上单调递增，而y=lg x在(0，+∞) 上单调递增，函数y=x2-4x-5=(x-2)2-9在(2，+∞)上单调递增，所以所以a≥5，故a的取值范围是[5，+∞).故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(多选)已知函数f(x)=ln，则(　　) A.f(x)是奇函数 B.f(x)≥0 C.f(x)在(-2，2)上单调递减 D.f(x)在(2，+∞)上单调递增 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：要使得函数f(x)有意义， 则>0，解得x≠2且x≠-2， 所以f(x)的定义域关于原点对称， 且f(-x)+f(x)=ln+ln =ln 1=0，从而f(x)是奇函数，A正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 f(1)=ln<ln 1=0，B错误； 当x∈(-2，2)时，f(x)=ln =ln=ln(2-x)-ln(2+x)， y=ln(2-x)在(-2，2)上单调递减，y=ln(2+x)在(-2，2)上单调递增， 所以函数f(x)在(-2，2)上单调递减，C正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 当x∈(2，+∞)时，f(x)=ln=ln=ln， y=1-在(2，+∞)上单调递增， 又y=ln x在(0，+∞)上单调递增， 所以函数f(x)在(2，+∞)上单调递增，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(多选)已知f(x)=log2(x2-mx+m+3)的定义域为D，值域为M，则 (　　) A.若D=R，则M≠R B.对任意m∈R，使得f(-5)=f(-7) C.对任意m∈R，f(x)的图象恒过一定点(1，2) D.若f(x)在(-∞，3)上单调递减，则m的取值范围是{6} √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：对于A，因为定义域为R，只需要x2-mx+m+3>0恒成立， 所以判别式(-m)2-4(m+3)<0，即-2<m<6， 所以真数x2-mx+m+3不能取遍所有正实数， 所以M≠R，故A正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 对于B，若f(-5)=f(-7)， 即log2(25+5m+m+3)=log2(49+7m+m+3)， 化简log2(28+6m)=log2(52+8m)， 故解得m∈∅，故B错误； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 对于C，x2-mx+m+3=x2+3+m(1-x)， 因为与m无关，所以1-x=0，x=1， y=log24=2，故定点为(1，2)，故C正确； 对于D，若f(x)在(-∞，3)上单调递减， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 只需要h(x)=x2-mx+m+3在(-∞，3)上单调递减， 且h(3)≥0，即解得 故m=6，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知a=2-0.1，b=log23，c=log410，则a，b，c的大小关系为________. (按从大到小顺序排列)  c>b>a 解析：由a=2-0.1<20=1，c=log410=log2>b>log22=1，可得a，b，c的大小关系为c>b>a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)关于x的不等式log3(3x-1)·log3<2的解集为 ________________.  解析：log3(3x-1)·log3=log3(3x-1)[log3(3x-1)-1]<2. 令log3(3x-1)=t，则t(t-1)<2， 解得-1<t<2. 则-1<log3(3x-1)<2， 解得x∈. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)函数y=log0.4(-x2+3x+4)的最小值是____.  解析：设t=-x2+3x+4=-+， 所以0<t≤. 因为y=log0.4t是减函数， 所以当t=时，函数取得最小值，最小值是log0.4=lo=-2. -2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知函数f(x)=-2log2x+4，x∈[2，4]. (1)设t=log2x，x∈[2，4]，求t的最大值与最小值；(4分) 解：因为函数t=log2x在区间[2，4]上是单调递增的， 所以当x=4时，tmax=log24=2， 当x=2时，tmin=log22=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求f(x)的值域.(6分) 解：令t=log2x，则f(x)=g(t)=t2-2t+4=(t-1)2+3，由(1)得t∈[1，2]， 因为函数g(t)在[1，2]上是增函数， 所以当t=1，即x=2时，f(x)min=3； 当t=2，即x=4时，f(x)max=4， 故f(x)的值域为[3，4]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(15分)已知函数f(x)=log2(x2-ax+2)，a∈R. (1)当f(x)是偶函数时，求a的值并求函数的值域；(5分) 解：由f(x)是偶函数可得f(-x)=f(x)， 即log2(x2-ax+2)=log2(x2+ax+2)，则x2-ax+2=x2+ax+2，即2ax=0恒成立， 所以a=0.经验证，a=0时，f(x)=log2(x2+2)为R上的偶函数，符合题意. 因为x2+2≥2，所以f(x)=log2(x2+2)≥log22=1，故函数f(x)的值域是 [1，+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若函数f(x)在区间(2，3)上单调递增，求实数a的取值范围.(10分) 解：因为函数f(x)在区间(2，3)上单调递增，且y=log2t为定义域上的增函数，所以t=x2-ax+2在(2，3)上单调递增，且x∈(2，3)时，x2-ax+2 >0，根据二次函数的性质，可得解得a≤3.故实数a的取值范围为(-∞，3]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知函数f(x)=log2(x2-ax+1). (1)当a=1时，求f(x)的最小值；(5分) 解：当a=1时，f(x)=log2(x2-x+1).由于x2-x+1=+>0恒成立， 所以函数f(x)的定义域为R. 又函数y=x2-x+1在上单调递减， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 在上单调递增， 函数y=log2x为增函数， 所以函数f(x)在上单调递减， 在上单调递增. 故f(x)的最小值为f=log2=log23-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若f(x)为偶函数，求a的值；(3分) 解：若f(x)为偶函数， 则f(x)=f(-x)， 所以log2(x2-ax+1)=log2(x2+ax+1)， 即x2-ax+1=x2+ax+1恒成立， 所以a=0.当a=0时，函数f(x)定义域为R， 满足f(x)=f(-x)，故a的值为0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)设g(x)=4x-2x+1，若对于任意x1∈(0，1)，存在x2∈[-1，1]，使得不等式f(x1)≥g(x2)成立，求a的取值范围.(7分) 解：若对于任意x1∈(0，1)， 存在x2∈[-1，1]， 使得不等式f(x1)≥g(x2)成立， 则f(x1)≥g(x2)min恒成立.令t=2x， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 当x∈[-1，1]时，t∈， 令G(t)=t2-2t，所以当t=1时， g(x)min=G(1)=-1， 所以f(x)≥-1在(0，1)上恒成立， 即log2(x2-ax+1)≥-1在(0，1)上恒成立， 则x2-ax+1≥在(0，1)上恒成立， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 所以a≤x+在(0，1)上恒成立. 因为x+≥2=， 当且仅当x=，即x=时等号成立. 所以a≤， 即a的取值范围是(-∞，]. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $