4.2.2对数运算法则-【题型·技巧培优系列】2023-2024学年高一数学同步精讲精练（人教B版2019必修第二册）

4.2.2对数运算法则 题型1对数的运算法则 2 题型2对数的化简求值 3 题型3利用换底公式化简求值 4 题型4利用对数运算法则解对数方程 6 题型5对数的实际应用 7 题型6解答题综合 8 知识点一.对数的运算法则 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)=logaM+logaN； ②loga=logaM-logaN； ③logaMn=nlogaM (n∈R)； 知识点二.换底公式 换底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． 【知识拓展】 (1)可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. (2)对换底公式的理解： 换底公式真神奇，换成新底可任意，原底加底变分母，真数加底变分子． 题型1对数的运算法则 【方法总结】 1. 对数的运算法则的证明: ⑴loga(MN)=logaM+logaN; ⑵ loga=logaM-logaN; ③logaMn=nlogaM.(其中a>0, a≠1, M>0, N>0, n∈R) 证明：⑴令M=am, N=an,则MN=am+n.由对数的定义知m=logaM, n=logaN, m+n=loga(MN), 所以loga(MN)=logaM+logaN. ⑵令M=am, N=an,则=am-n.由对数的定义知m=logaM, n=logaN, m-n=loga,所以loga=logaM-logaN. ⑶令M=am,则Mn=(am)n=amn.由对数的定义知m=logaM, mn=logaMn,所以logaMn=mn=nlogaM,即logaM=nlogaM. 2.上述几个运算性质的文字语言描述: 两正数积的对数,等于各数对数的和; 两正数商的对数,等于被除数的对数减去除数的对数; 幂的对数等于幂指数乘以底数的对数. 3. 对数运算性质的理解 ⑴ 逆向运用对数的运算性质,可以将几个对数式化为一个对数式,有利于化简. ⑵对于每一条运算性质,都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时,等式才成立. 如log2[(-2)×(-3)]是存在的,但是log2(-2)与log2(-3)均不存在,故不能写成log2[(-2)×(-3)]=log2(-2)+log2(-3). 【例题1】（2020上·上海奉贤·高一统考期中）若，下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】1．（多选）（2022上·辽宁阜新·高一校考期末）下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】2．（多选）（2022·全国·高一单元测试）(多选)若，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】3. （多选）（2023·江苏·高一假期作业）若>0，且≠1，x>y>0，n∈N＋，给出下列等式，其中恒成立的为（    ） A．()n＝ B． C． D． 【变式1-1】4.（多选）（2023上·四川宜宾·高一校考阶段练习）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】5．（2022·全国·高一课时练习）已知，则______． 题型2对数的化简求值 【方法总结】 1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系． 2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法： (1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)； (2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数． 【例题2-1】（2023·上海·高一专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【变式2-1】1.（2021上·江苏常州·高一统考期中） （1） （2） （3）； （4）． （5）. （6）. （7）计算：的值； 【变式2-1】2. （2023上·江苏南京·高一统考期中）已知：当时，成立，若是的小数部分，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】3. （2020上·上海徐汇·高一上海中学校考阶段练习）若a表示的小数部分，则的值是 ． 【变式2-1】4．（2022·全国·高一课时练习）已知，，则的值为________． 题型3利用换底公式化简求值 【方法总结】 1.(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． 2.可用换底公式证明以下结论： ①；②；③；④；⑤. 【例题3】根据换底公式，化简下列式子： （1）____________．（2）____________． （3）____________．（4）____________． 【变式3-1】1. 计算下列各式的值： （1） （2）. （3）． （4）计算． （5）. 【变式3-1】2. （2020下·内蒙古呼和浩特·高一校考开学考试）设，则实数的值为（    ） A． B． C．