4.2.1 对数运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教B版）

4.2　 对数与对数函数 4.2.1 　对数运算 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] 课时目标 要准确把握对数的定义，以及ab=N(a>0，且a≠1)⇔logaN=b的等价关系，学会将对数与幂进行相互转化.会进行对数式与指数式的互化，会求简单的对数值. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　对数的概念 逐点清(二)　对数与指数的关系 逐点清(三)　对数性质的应用 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　对数的概念 01 多维理解 　　在表达式ab=N(a>0且a≠1，N∈(0，+∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为_______________，记作b=_______，其中a称为对数的______，N称为对数的_____. 以a为底N的对数 logaN 底数 真数 微点练明 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)对数log39和log93的意义一样. (　　) (2)(-2)3=-8可化为log(-2)(-8)=3. (　　) (3)对数运算的实质是求幂指数. (　　) (4)任何一个指数式都可以化成对数式. (　　) √ × × × 2.在M=log(x-3) (x+1)中，要使式子有意义，x的取值范围为 (　　) A.(-∞，3] B.(3，4)∪(4，+∞) C.(4，+∞) D.(3，4) √ 解析：由对数的概念可得 解得3<x<4或x>4. 3.方程lg(x2-1)=lg(2x+2)的根为 (　　) A.-3 B.3 C.-1或3 D.1或-3 √ 解析：由lg(x2-1)=lg(2x+2)， 得即解得x=3， 所以方程lg(x2-1)=lg(2x+2)的根为3. √ 4.若logx4=2，则x的值为 (　　) A.±2 B.2 C.-2 D. 解析：∵logx4=2， ∴x2=4.又x>0，∴x=2. 逐点清(二)　对数与指数的关系 02 多维理解 1.对数与指数的关系 当a>0，且a≠1，N>0时，ab=N⇔b=_______. 2.对数与指数的关系示意图 logaN 3.常用对数与自然对数 名称 定义 记法 常用对数 以10为底的对数称为常用对数 ___________ 自然对数 以无理数e=2.718 28…为底的对数称为自然对数 ___________ lg N ln N |微|点|助|解| 　　因为对数是由指数转化而来的，所以底数a，指数或对数x，幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了变换. 微点练明 1.已知loga9=-2，则a的值为 (　　) A.-3 B.- C.3 D. 解析：∵loga9=-2，a>0，且a≠1， ∴a-2=9.解得a=.故选D. √ 2.(多选)下列指数式与对数式互化正确的是 (　　) A.100=1与lg 1=0 B.2=与log27=-3 C.log39=2与32=9 D.log55=1与51=5 √ √ √ 解析：选项A中，指数式100=1化为对数式为lg 1=0，A正确；选项B中，指数式2=化为对数式为log27=-，B不正确；选项C中，对数式log39=2化为指数式为32=9，C正确；选项D中，对数式log55=1化为指数式为51=5，D正确. 3.求下列各式中x的值. (1)log3x=-3； 解：由题意得x=3-3=. (2)logx49=4； 解：由x4=49，x>0且x≠1，得x=. (3)lg 0.000 01=x； 解：由10x=0.000 01=10-5，得x=-5. (4)ln=-x. 解：由e-x==，得x=-. 逐点清(三)　对数性质的应用 03 多维理解 对数恒等式 =___ (a>0且a≠1，N>0)；logaab=__ (a>0且a≠1) 对数的性质 (1)loga1=___ (a>0且a≠1). (2)logaa=___ (a>0且a≠1). (3)0和负数___________ N b 0 1 没有对数 |微|点|助|解| 1.利用对数性质求解的两类问题的解法 (1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值. (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解. 2.对数恒等式的作用 (1)化简求值，如=x+2(a>0，且a≠1，x>-2). (2)将有关数值转化成幂的形式，如3=. 微点练明 1.设=25，则x的值等于(　　) A.10 B.13 C.100 D.±1 001 解析：由对数的性质，得=2x-1=25.所以x=13. √ 2.若log2(log3x)=log3(log4y)=log4(log2z)=0，则x+y+z的值为 (　　) A.9 B.8 C.7 D.6 √ 解析：∵log2(log3x)=0，∴log3x=1.∴x=3.同理y=4，z=2.∴x+y+z=9. 3.计算：3log22+2log31-3log77+3ln 1=_____.  0 解析：原式=3×1+2×0-3×1+3×0=0. 4.求下列各式中x的值. (1)log2(log5x)=0； 解：∵log2(log5x)=0，∴log5x=20=1， ∴x=51=5. (2)log3(lg x)=1； 解：∵log3(lg x)=1，∴lg x=31=3， ∴x=103=1 000. (3)x=. 解：x===. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.已知81=x，则x等于(　　) A.-8 B.8 C.4 D.-4 √ 15 解析：由题意得()x=81，即=34，则x=8. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.方程=的解是(　　) A.x= B.x= C.x= D.x=9 √ 15 解析：因为=2-2，所以log3x=-2，所以x=3-2=. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.对于a>0且a≠1，下列说法正确的是 (　　) A.若M=N，则logaM=logaN B.若logaM=logaN，则M=N C.若logaM2=logaN2，则M=N D.若M=N，则logaM2=logaN2 √ 15 解析：A中，若M，N小于或等于0时，logaM=logaN不成立；B正确；C中，M与N也可能互为相反数；D中，当M=N=0时不正确. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.(多选)下列等式正确的有 (　　) A.lg(lg 10)=0 B.lg(ln e)=0 C.若lg x=10，则x=10 D.若ln x=e，则x=e2 √ 15 解析：lg(lg 10)=lg 1=0，故A正确；lg(ln e)=lg 1=0，故B正确； 若lg x=10，则x=1010，故C错误；若ln x=e，则x=ee，故D错误. √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知x2+y2-4x-2y+5=0，则logx(yx)的值是 (　　) A.1 B.0 C.x D.y √ 15 解析：由x2+y2-4x-2y+5=0，则(x-2)2+(y-1)2=0，∴x=2，y=1. ∴logxyx=log212=0. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.设a=log525，b=lg，c=，则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a √ 15 解析：因为a=log525=2，b=lg=-1，c==，故a>c>b. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.使式子log(2x-1)有意义的x的取值范围是(　　) A.(2，+∞) B. C.(-∞，2) D.∪(1，2) 15 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：要使式子log(2x-1)有意义，则即 解得<x<1或1<x<2.所以x的取值范围是∪(1，2). 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.若loga3=m，loga5=n(a>0且a≠1)，则的值是(　　) A.15 B.75 C.45 D.225 √ 15 解析：由loga3=m，得am=3，由loga5=n，得an=5. ∴a2m+n=(am)2·an=32×5=45. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.已知logax=2，logbx=1，logcx=4(a，b，c，x均为正数且a，b，c，x≠1)，则logx(abc)等于 (　　) A. B. C. D. √ 15 解析：由题意得，x=a2=b=c4，所以(abc)4=x7.所以abc=， 即logx(abc)=. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.声强是指声音在传播途径上每平方米面积上的声能流密度，用I表示.由于声强I的变化范围非常大，为方便起见，引入声强级的概念，规定声强级L=lg，其中I0=10-12 W/m2，称为基准声强，声强级的单位是Bel， Bel又称为1 dB，生活在30 dB左右的安静环境有利于人的睡眠，而长期生活在90 dB以上的噪音环境中会严重影响人的健康，根据所给信息，可得90 dB声强级的声强是30 dB声强级的声强的(　　) A.3倍 B.103倍 C.106倍 D.10500倍 √ 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设90 dB和30 dB声强级的声强分别是I1，I2，由题意， 得90=10lg，30=10lg.则I1=I0·109，I2=I0·103，所以==106. 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.已知2log2x=log7y，且x=14，则xy的值是(　　) A.98 B.49 C.28 D.14 √ 15 解析：由对数性质，得log2x2=log7y，令z=log2x2=log7y，则x2=2z，y=7z；因为x=14，所以x2y=196.即2z·7z=(2×7)z=14z=196，解得z=2.所以x=2，y=49.故xy=98. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(2025·全国Ⅰ卷)若实数x，y，z满足2+log2x=3+log3y=5+log5z，则x，y，z的大小关系不可能是 (　　) A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x √ 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设2+log2x=3+log3y=5+log5z=k， 则log2x=k-2，x=2k-2，log3y=k-3， y=3k-3，log5z=k-5，z=5k-5， 当k=8时，y>z>x，D正确. 当k=0时，x=，y=，z=，x>y>z，A正确. 当k=5时，x=23=8，y=32=9，z=1，y>x>z，C正确. 15 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(5分)若log3(log2x)=0，则=_______.  15 解析：∵log3(log2x)=0， ∴log2x=30=1， ∴x=2，即=. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(5分)ln(lg 10)+=_____.  15 解析：ln(lg 10)+=ln 1+4-π=0+4-π=4-π. 4-π 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知logab=logba(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).求证：a=b或a=. 证明：设logab=logba=k，则b=ak，a=bk， 所以b=(bk)k=. 因为b>0，且b≠1，所以k2=1， 即k=±1.当k=-1时，a=； 当k=1时，a=b. 所以a=b或a=，命题得证. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.(10分)若log2[lo(log2x)]=log3[lo(log3y)]=log5[lo(log5z)]=0， 试确定x，y，z的大小关系. 16 解：由log3[lo(log3y)]=0， 得lo(log3y)=1，log3y=，y==(310. 由log2[lo(log2x)]=0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 得lo(log2x)=1，log2x=，x==(215. 由log5[lo(log5z)]=0， 得lo(log5z)=1，log5z=，z==(56， ∵310>215>56， ∴y>x>z. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $