4.2.1 对数运算-【优化探究】2025-2026学年新教材高中数学必修第二册同步导学案配套PPT课件（人教B版）

4.2　对数与对数函数 4.2.1　对数运算 第四章　指数函数、对数函数与幂函数 [学习目标]　1.理解对数的概念,能进行指数式与对数式的互化.　2.理解对数的底数和真数的取值范围.　3.掌握对数的基本性质及对数恒等式. 知识点1　对数的概念及应用 内容索引 知识点2　对数的性质及对数恒等式 课时作业 巩固提升 知识点3　常用对数与自然对数及求值 课堂达标·素养提升 3 知识点1　对数的概念及应用 1.对数的概念 在表达式ab=N(a>0且a≠1,N∈(0,+∞))中,当a与N确定之后,只有唯一的b能满足这个式子,此时,幂指数b称为以a为底N的对数,记作b=　　　　,其中a称为对数的　　　　,N称为对数的　　　　.  2.两种特殊对数 以10为底的对数称为　　　　　　,log10N可简写为　　　　.  以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数称为　　　　　　,logeN通常简写为　　　　.  logaN 底数 真数 常用对数 lg N 自然对数 ln N 3.对数式与指数式的互化关系 若a>0且a≠1,则ax=N⇔logaN=　　　　.  x (1)若a2 024=b(a>0,且a≠1),则(　　) A.logab=2 024　　　　　 B.logba=2 024 C.log2 024a=b D.log2 024b=a [分析]　(1)根据对数的定义转化. (1)若a2 024=b(a>0,且a≠1),则logab=2 024. 例1 A (2)对数式log(a-2)(5-a)中实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,5) B.(2,5) C.(2,3)∪(3,5) D.(2,+∞) [分析]　(2)对数式中底数大于0且不等于1,真数大于0. C (2)由题意得 解得2<a<3或3<a<5,所以实数a的取值范围是(2,3)∪(3,5). (3)下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　) A.e0=1与ln 1=0 B.log39=2与=3 C.=与log8=- D.log77=1与71=7 [分析]　(3)根据对数式的定义判断. B (3)由指、对数式的互化可知,A,C,D正确;对于B选项log39=2可化为32=9,所以B选项错误. 指数式与对数式互化的思路 1.将指数式化为对数式:将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出对数式. 2.将对数式化为指数式:将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出指数式. 思维提升 1.若对数式lo3有意义,则实数t的取值范围是(　　) A.[2,+∞) B.(2,3)∪(3,+∞) C.(-∞,2) D.(2,+∞) 由题意得解得t>2且t≠3. 所以t的取值范围是(2,3)∪(3,+∞) 跟踪训练 B 知识点2　对数的性质及对数恒等式 1.对数恒等式 =　　　　(a>0且a≠1);logaab=　　　　(a>0且a≠1).  2.对数的性质 (1)loga1=　　　　(a>0且a≠1).  (2)logaa=　　　　(a>0且a≠1).  (3)0和负数　　　　　　.  N b 0 1 没有对数 求下列各式中x的值: (1)log2(log5x)=0; [解]　(1)∵log2(log5x)=0,∴log5x=20=1, ∴x=51=5. 例2 (2)log3(lg x)=1; [解]　(2)∵log3(lg x)=1,∴lg x=31=3,∴x=103=1 000. (3)x=. [解]　(3)x===. 1.利用对数的基本性质从整体入手,由外到内逐层深入来解决问题.logaN=0⇒N=1;logaN=1⇒N=a可频繁使用,应在理解的基础上灵活运用. 2.符合对数恒等式的,可以直接应用对数恒等式:=N,logaaN=N. 思维提升 2.若log2(log3x)=log3(log4y)=log4(log2z)=0,则x+y+z的值为(　　) A.9　　　　　　　 B.8 C.7 D.6 ∵log2(log3x)=0,∴log3x=1.∴x=3. 同理y=4,z=2. ∴x+y+z=9. 跟踪训练 A 3.设=27,则x=　　　　.  ∵=27, ∴2x+1=27,解得x=13. 13 知识点3　常用对数与自然对数及求值 已知log2[log3(log4x)]=log3[log4(log2y)]=0,求x+y的值. [解]　因为log2[log3(log4x)]=0, 所以log3(log4x)=1,所以log4x=3, 所以x=43=64, 同理求得y=16,所以x+y=80. 例3 对数性质在求值中的应用 1.对数运算时的常用性质:logaa=1,loga1=0. 2.使用对数的性质时,有时需要将底数或真数进行变形后才能运用;对于有多重对数符号的,可以先把内层视为整体,逐层使用对数的性质. 思维提升 4.求下列各式的值: (1)e3ln 7; 解:(1)e3ln 7=(eln 7)3=73=343. (2)lg 0.0012. 解: (2)lg 0.0012=lg 10-6=-6. 跟踪训练 〈课堂达标·素养提升〉 1.把对数式x=lg 2化为指数式为(　　) A.10x=2 B.x10=2 C.x2=10 D.2x=10 根据指数式与对数式的互化可知x=lg 2化为指数式为10x=2. A 2.若3x=2,则x等于(　　) A.log23　　　　　　　 B.log32 C.32 D.23 由指数式化为对数式可知x=log32. B 3.计算=　　　　.  =22·=4×5=20. 20 课时作业 巩固提升 [A组　必备知识练] 1.(多选)下列说法正确的有(　 　) A.零和负数没有对数 B.任何一个指数式都可以化成对数式 C.以10为底的对数叫做常用对数 D.以e为底的对数叫做自然对数 B中,只有当a>0且a≠1时,ax=N才能化成对数式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACD 2.计算log2的结果是(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C.- D.- 设log2=t,则2t==,所以t=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A 3.若log2(lg x)=0,则x的值为(　　) A.0 B.1 C.10 D.100 由log2(lg x)=0可得lg x=1,则x=10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 4.若lg(ln x)=0,则x=　　　　.  ∵lg(ln x)=0,∴ln x=1,∴x=e. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 e 5.ln(lg 10)+=　　　　.  ln(lg 10)+=ln 1+4-π=0+4-π=4-π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4-π 6.求下列各式中的x值. (1)logx27=; 解:(1)∵logx27=,∴=27, ∴x=2=(33=9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)log2x=-; 解: (2)∵log2x=-,∴x=. (3)lg(ln x)=1; 解: (3)∵lg(ln x)=1,∴ln x=10,∴x=e10. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (4)x=log27. 解: (4)∵x=log27,∴27x=, ∴33x=3-2,∴x=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.(1)已知log189=a,log1854=b,求182a-b的值; 解:(1)∵log189=a,log1854=b, ∴18a=9,18b=54, ∴182a-b===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)已知logx27=,求x的值. 解: (2)logx27==3×=3×2=6. ∴x6=27,∴x6=33, 又∵x>0且x≠1,∴x=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [B组　关键能力练] 8.已知logax=2,logbx=1,logcx=4(a,b,c,x>0且a,b,c,x≠1),则logx(abc)等于(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D 由题意得,x=a2=b=c4, 所以(abc)4=x7,所以abc=.即logx(abc)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.若a>0,=,则a等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 因为=,a>0,所以a==, 所以a=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 10.若log(1-x)(1+x)2=1,则x=　　　　.  由log(1-x)(1+x)2=1,得(1+x)2=1-x, ∴x2+3x=0,∴x=0或x=-3. 又∵∴x=-3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -3 11.已知log5(log3(log2a))=0,则3的值为　　　　.  因为log5(log3(log2a))=0,所以log3(log2a)=1,所以log2a=3,解得a=8,所以3=3=(62==()2=82=64. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 64 12.已知log2(log3(log4x))=0,且log4(log2y)=1,求·的值. 解:∵log2(log3(log4x))=0,∴log3(log4x)=1, ∴log4x=3,∴x=43=64. 又∵log4(log2y)=1, ∴log2y=4,∴y=24=16, ∴·=×1=8×(24=64. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 [C组　素养培优练] 13.若lox=m,loy=m+2,求的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解:因为lox=m,所以=x,x2=. 因为loy=m+2, 所以=y,y=, 所以====16. $$