4.1.2 指数函数的性质与图像-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第二册学习手册（人教B版）

学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 学 习 目 标 1. 理解指数函数的概念， 了解对底数的 限制条件的合理性 . 2. 掌握指数函数的性质和图象 . 3. 会应用指数函数的性质求指数型函数 的定义域、 值域 . 要 点 精 析 要点 1 指数函数的概念 一般地， 函数 y=a x 称为指数函数， 其中 a 为常数， a>0 且 a≠1. 思考 为什么规定底数 a>0 且 a≠1 ？ 例 1 函数 y= （ a-2 ） 2 a x 是指数函数， 则 （ ） A. a=1 或 a=3 B. a=1 C. a=3 D. a>0 且 a≠1 分析 判断函数是指数函数时需抓住 四点： （ 1 ） 底数是大于 0 且不等于 1 的常数； （ 2 ） 指数函数的自变量必须位于指数的 位置上； （ 3 ） a x 的系数必须为 1 ； （ 4 ） 等号右边不是多项式， 如 y=a x +1 （ a>0 且 a≠1 ） 不是指数函数 . 解析： 由指数函数的定义知 （ a-2 ） 2 =1 ， a>0 ， a≠1 1 $ $ $ $ $ # $ $ $ $ $ % ， 解得 a=3. 故选 C. 反思感悟 指数函数的四个结构特征 是判断一个函数是否为指数函数的标准， 缺一不可 . 变式训练 1 下列函数中为指数函数的是 （ ） A. y=2 · 3 x B． y=-3 x C． y=3 -x D． y=1 x 例 2 若函数 f （ x ）是指数函数， 且 f （ 2 ） = 9 ， 则 f （ x ） = . 分析 根据指数函数的定义进行解答 . 解析： 由题意设 f （ x ） =a x （ a>0 且 a≠1 ）， 则 f （ 2 ） =a 2 =9 ， ∴a=3 ， ∴ f （ x ） =3 x . 变式训练 2 已知函数 y= （ a 2 -5a+5 ） a x 是指数函数， 求 实数 a 的值 . 要点 2 指数函数的图象 思考 当两个指数函数的底数互为倒 数时， 它们的图象有什么关系？ 4.1.2 指数函数的性质与图象 第 1课时 指数函数的概念与图象 x y O 1 （ 0 ， 1 ） y=1 y=a x x y O 1 （ 0 ， 1 ） y=1 y=a x a>1 0<a<1 4 第四章 指数函数、 对数函数与幂函数 学 例 3 （多选题） 在同一平面直角坐标 系中画出函数 y=a x ， y=x+a 的图象， 其中可能 正确的是 （ ） 分析 处理指数函数图象问题的策略： （ 1 ） 抓住特殊点： 指数函数的图象过定 点 （ 0 ， 1 ） . （ 2 ） 巧用图象变换： 函数图象的平移变 换 （左右平移、 上下平移） . 解析： 函数 y=x+a 单调递增， 且 a 为直 线 y=x+a 在 y 轴上的截距， 又当 a>1 时， 函 数 y=a x 单调递增， 当 0<a<1 时， 函数 y=a x 单 调递减， 故选项 C ， D 中的图象符合条件 . 故 选 CD. 反思感悟 函数的图象是直观表示函 数的一种方法 . 函数的很多性质可以从图象 上直观得到 . 指数函数的图象通过平移、 翻 转等变换可以得出一个新函数的图象， 利 用函数的图象， 能较便捷地解决一些函数 性质的有关问题 . 变式训练 3 函数 y＝a x －b （ a＞0 且 a≠1 ） 的图象经过第 二、 三、 四象限， 则 a b 的取值范围是 . 要点 3 求指数函数与其他函数复合所 得函数的定义域、 值域 指数函数 y=a x 与 y=f （ x ）的复合方式主要 是 y=a f （ x ） 和 y=f （ a x ） . 思考 有关指数型函数求值域问题， 往往通过换元， 设置一个中间变量 . 对 y=f （ a x ）， 设 t=a x ， 利用复合函数的单调性进行计算， 需要注意中间变量 t 的取值范围 . 例 4 求函数 y=0.3 1 x-1 的定义域、 值域 . 分析 函数 y=a f （ x ） （ a>0 且 a≠1 ） 与函数 f （ x ）的定义域相同， 求与指数函数有关的函 数的值域时， 要达到指数函数本身的要求， 并利用好指数函数的单调性 . 解： 由 x-1≠0 得 x≠1 ， ∴ 函数的定义 域为 {x|x≠1} . 由 1 x-1 ≠0 得 y≠1 ， ∴ 函数的值域为 {y| y>0 且 y≠1} . 变式训练 4 求函数 y＝ 1 3 3 # x-2 姨 的定义域与值域 . 例 5 求函数 y=4 x -2 x +1 的定义域、 值域 . 分析 函数 y=f （ a x ）与函数 y=a x 的定义 域相同， 值域转化为二次函数的值域来求 . 解： ∵ 函数的定义域为 R ， ∴y= （ 2 x ） 2 -2 x + 1= 2 x - 1 2 2 & 2 + 3 4 . ∵2 x >0 ， ∴2 x = 1 2 ， 即 x=-1 时， x y O 1 1 x y O 1 1 x y O 1 1 x O 1 1 A B C D y 5 学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 y 取得最小值， 最小值为 3 4 ， ∴ 函数的值域 为 3 4 ， + ! ∞ " . 反思感悟 形如 a f （ x ） 的函数的定义域 就是 f （ x ）的定义域； 形如 a f （ x ） 的函数的值 域， 应先求出 f （ x ）的值域， 再由函数的单 调性求出 a f （ x ） 的值域 . 若 a 的取值范围不确 定， 则需对 a 进行分类讨论 . y=f （ a x ）型的复合函数， 求这类复合函数 的值域， 应先令 t=a x ， 求出 t 的取值范围， 再结合 y=f （ t ）确定 y=f （ a x ）的值域即可 . 求函数的值域仍应坚持 “定义域优先” 的原则 . 变式训练 5 求函数 y＝ 1 4 4 ! x－1 －4 · 1 2 $ ! x ＋2 ， x∈ ［ 0 ， 2 ］ 时的最大值和最小值及相应的 x 值 ． 数 学 文 化 例 （多选题） 高斯 （ Gauss ） 是德国 著名的数学家， 近代数学奠基者之一， 用其 名字命名的 “高斯函数” 为： 设 x∈R ， 用 ［ x ］ 表示不超过 x 的最大整数， 则 y= ［ x ］ 称 为高斯函数 . 例如： ［ -2.3 ］ =-3 ， ［ 15.31 ］ = 15． 已知函数 f （ x ） = 1 2 - 2 x 1+2 x ， G （ x ） = ［ f （ x ）］， 则下列说法正确的有 （ ） A. G （ x ）是偶函数 B． G （ x ）的值域是 {-1 ， 0} C． f （ x ）是奇函数 D． f （ x ）在 R 上是增函数 解析： G （ -1 ） = ［ f （ -1 ）］ = 1 6 & ' =0 ， G （ 1 ） = ［ f （ 1 ）］ = - 1 6 " 6 =-1 ， ∴G （ 1 ） ≠G （ -1 ）， ∴G （ x ） 不是偶函数， A 错误； f （ x ） = 1 2 - 2 x 1+2 x =- 1 2 + 1 1+2 x ， ∵2 x >0 ， ∴1+ 2 x >1 ， ∴0< 1 1+2 x <1 ， ∴ f （ x ） ∈ - 1 2 ， 1 2 $ ! . 当 f （ x ） ∈ - 1 2 ， $ ! 0 时 ， G （ x ） = ［ f （ x ）］ =-1 ， 当 f （ x ） ∈ 0 ， 1 2 !& 时， G （ x ） = ［ f （ x ）］ =0 ， ∴G （ x ） 的值域是 {-1 ， 0} ， B 正确； f （ -x ） +f （ x ） = 1 2 - 1 2 x 1+ 1 2 x + 1 2 - 2 x 1+2 x =1- 2 x +1 1+2 x =0 ， ∴f （ x ）为奇函数， C 正确； y=2 x 在 R 上单调递增， ∴y= 1 1+2 x 在 R 上 单调递减， f （ x ） = 1 2 - 2 x 1+2 x =- 1 2 + 1 1+2 x 在 R 上 单调递减， 即 f （ x ）在 R 上是减函数， D 错 误 . 故选 BC. 6 第四章 指数函数、 对数函数与幂函数 学 学 习 目 标 1. 掌握指数函数与其他函数复合所得函 数的单调区间的求法及单调性的判断 . 2. 能借助指数函数性质比较大小， 会解 简单的指数方程、 不等式. 要 点 精 析 要点 1 指数式的大小比较 比较两个幂的大小的方法： （ 1 ） 比较同底数、 不同指数的两个幂的 大小时， 利用指数函数的单调性来判断 . （ 2 ） 比较底数不同、 指数相同的两个幂 的大小时， 利用指数函数的图象的变化规律 来判断 . （ 3 ） 比较底数不同、 指数也不同的两个 幂的大小时， 则通过中间值来判断 . 思考 如何根据两个幂的共同特征选 取合适的方法呢？ 例 1 （ 1 ） 若 a=0.5 1 2 ， b=0.5 1 3 ， c=0.5 1 4 ， 则 a ， b ， c 的大小关系是 （ ） A. a>b>c B. a<b<c C. a<c<b D. b<c<a （ 2 ） 比较下列各题中两个值的大小： ①1.7 -2.5 ， 1.7 -3 ； ②1.7 0.3 ， 0.8 3.1 . 分析 若两个指数幂底数相同、 指数 不同， 利用指数函数的单调性来判断 . 若两个指数幂底数不同、 指数相同， 利 用指数函数的图象的变化规律来判断 . 若两个指数幂底数不同、 指数不同， 则 通过中间值来判断 . 解析： （ 1 ） ∵y=0.5 x 在 R 上是减函数， 且 1 2 > 1 3 > 1 4 ， ∴a<b<c ， 故选 B. （ 2 ） ①∵1.7>1 ， ∴y=1.7 x 在（ -∞ ， +∞ ）上 是增函数 . ∵-2.5>-3 ， ∴1.7 -2.5 >1.7 -3 . ②∵1.7 0.3 >1.7 0 =1 ， 0.8 3.1 <0.8 0 =1 ， ∴1.7 0.3 >0.8 3.1 . 反思感悟 三个 （或三个以上） 指数式 （幂） 的大小比较， 应先根据值的大小 （特 别是与 1 的大小进行比较） 进行分组， 再比 较各组幂的大小 . 变式训练 1 已知 a= 4 3 3 " 1 3 ， b=2 2 3 ， c= - 2 3 3 " 3 ， d= 4 3 3 " 1 2 ， 将 a ， b ， c ， d 按从小到大顺序排列 为 （ ） A. c<a<b<d B． c<a<d<b C． c<d<a<b D． c<d<b<a 要点 2 解含指数式的不等式 解含指数式的不等式的基本方法是先将 其化为同底指数式， 再利用指数函数的单调 性求解 . 注意底数对不等号方向的影响 . 思考 解不等式 a f （ x ） >a g （ x ） （ a>1 且 a≠ 1 ） 的依据是什么？ 例 2 解关于 x 的不等式： a 2x+1 ≤a x-5 （ a> 0 且 a≠1 ） . 第 2课时 指数函数的性质 7 学 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 分析 依据指数函数单调性进行分类 讨论 . 解： 当 0<a<1 时， ∵a 2x+1 ≤a x-5 ， ∴2x+1≥ x-5 ， 解得 x≥-6. 当 a>1 时， ∵a 2x+1 ≤a x-5 ， ∴2x+1≤x-5 ， 解 得 x≤-6. 综上所述， 当 0<a<1 时， 不等式的解集 为 {x|x≥-6} ； 当 a>1 时， 不等式的解集为 {x|x≤-6}. 反思感悟 含指数式的不等式的一般 解法： 先将不等式的两边化为同底的指数 式， 再利用指数函数的单调性 “去掉” 底 数， 转化为熟悉的不等式， 如一元一次不等 式、 一元二次不等式等 . 变式训练 2 已知 a>0 且 a≠1 ， 函数 f 1 （ x ） =a x 2 -3x+1 ， f 2 （ x ） =a x 2 +2x-5 ， 若 f 1 （ x ） <f 2 （ x ）， 求 x 的取值范围 ． 要点 3 指数函数的单调性 与指数函数有关的单调性问题， 可先求 出内层函数的单调区间， 再与外层函数的单 调性结合， 利用复合函数的单调性确定其单 调性 . 思考 两个函数在相应区间上的单调 性已确定， 其复合之后的单调性应当遵循 同则增、 异则减的规律 . 例 3 函数 y= 1 2 2 % -x 2 +2x 的单调递增区间 是 （ ） A. ［ -1 ， +∞ ） B. （ -∞ ， -1 ］ C. ［ 1 ， +∞ ） D. （ -∞ ， 1 ］ 分析 先弄清哪两个函数复合到一起， 再根据复合函数单调性原则进行解答 . 解析： 函数由 y= 1 2 2 % t ， t=-x 2 +2x （ x∈ R ） 复合而成， ∵y= 1 2 2 % t 是减函数， ∴ 只需 求出 t=-x 2 +2x （ x∈R ）的单调递减区间即可， 易求得 t=-x 2 +2x 的单调递减区间为 ［ 1 ， +∞ ）， 故选 C. 反思感悟 判断复合函数 y=a f （ x ） 的单调 性的方法： 令 u=f （ x ）， x∈ ［ m ， n ］， 若两 个函数 y=a u 与 u=f （ x ） 在 ［ m ， n ］ 上的单调 性相同， 则复合函数 y=a f （ x ） 在 ［ m ， n ］ 上 是增函数； 若两者在 ［ m ， n ］ 上的单调性 相异 （即一增一减）， 则复合函数 y=a f （ x ） 在 ［ m ， n ］ 上是减函数 . 变式训练 3 若函数 f （ x ） =a 2x 2 -ax+1 （ a>0 且 a≠1 ） 在区 间 （ 1 ， 3 ） 上单调递增， 则实数 a 的取值范 围为 . 例 4 函数 y= 1 2 2 % -x 2 +x+2 姨 的单调递增区 间是 . 分析 先求出函数的定义域， 然后弄 清哪两个函数复合到一起， 再根据复合函数 单调性原则进行解答 . 解析： 由根式的性质易知函数的定义 域为 ［ -1 ， 2 ］， 令 t= -x 2 +x+2 姨 ， 则 y= 1 2 2 % t 8 第四章 指数函数、 对数函数与幂函数 学 是减函数， 当 1 2 ≤x≤2 时， 函数 t 单调递 减， ∴ 函数 y= 1 2 2 # -x 2 +x+2 姨 的单调递增区间为 1 2 ， ， & 2 . 数 学 文 化 例 如图 4-1-2 ， 国家速滑馆又称 “冰 丝带”， 是北京 2022 年冬奥会的标志性场 馆， 拥有亚洲最大的全冰面设计， 但整个系 统的碳排放接近于零， 做到真正的智慧场 馆、 绿色场馆 . 为了倡导绿色可循环的理念， 场馆还配备了先进的污水、 雨水过滤系统 . 已知过滤过程中废水的污染物数量 N （ mg/L ） 与时间 t 的关系为 N=N 0 e -kt （ N 0 为最初污染 物数量） . 如果前 4 小时消除了 20% 的污染 物， 那么污染物消除至最初的 64% 还需要 （ ） 小时 . A． 3.6 B． 3.8 C． 4 D． 4.2 解析： 由题意可得 N 0 e -4k = 4 5 N 0 ， 可得 e -4k = 4 5 . 设 N 0 e -kt =0.64N 0 = 4 5 2 5 2 N 0 ， 可得 e -kt = （ e -4k ） 2 =e -8k ， 解得 t=8. 因此， 污染物消除至最初的 64% 还需要 4 小时 . 故选 C. 图 4-1-2 9 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 ∴ 由立方差公式得 m 3 2 -m - 3 2 m 1 2 -m - 1 2 =m+m -1 +1=15. 9. 解： （ 1 ） 原式 =1+ 1 4 × 4 9 9 " 1 2 - 1 100 9 " 1 2 =1+ 1 6 - 1 10 = 16 15 . （ 2 ） 原式 = 25 9 9 " 1 2 + 1 0.1 2 + 64 27 9 " - 2 3 -3+ 37 48 = 5 3 +100+ 9 16 -3+ 37 48 =100. （ 3 ） 原式 =0.4 -1 -1+ （ -2 ） -4 +2 -3 +0.1= 10 4 -1+ 1 16 + 1 8 + 1 10 = 143 80 . 10. 解： （ 1 ） 由 81 · 3 2x = 1 9 9 " x+２ 得， 3 4+2x =3 -2x-4 ， ∴4+2x=-2x-4 ， 解得 x=-2 ， ∴ 原方程的解集为 {-2}. （ 2 ） 由 2 2x+2 +3 · 2 x -1=0 得 4× （ 2 x ） 2 +3 · 2 x -1=0 ， 得（ 4 · 2 x -1 ）（ 2 x +1 ） =0 ， 得 4 · 2 x -1=0 ， 解得 x=-2 ， ∴ 原方程的解集为 {-2}. 提升练习 11． C 【解析 】 原式 ＝-6a 2 3 - - 1 3 9" b - 1 3 - 2 3 =-6ab -1 =- 6a b . 故选 C. 12． B 【解析】 ∵ 1+2 - 1 32 9 " 1-2 - 1 32 9 " =1-2 - 1 16， 1+2 - 1 16 9 " 1-2 - 1 16 9 " =1-2 - 1 8 ， 1+2 - 1 8 9 " 1-2 - 1 8 9 " =1-2 - 1 4 ， 1+2 - 1 4 9 " 1-2 - 1 4 9 " =1-2 - 1 2 ， 1+2 - 1 2 9 " 1-2 - 1 2 9 " =1-2 -1 = 1 2 ， ∴ 原式 ＝ 1 2 1-2 - 1 32 = 1 2 1-2 - 1 32 9 " -1 . 故选 B. 13． AD 【解析】 ∵a+ 1 a =3 ， ∴a 2 +a -2 = a+ 1 a 9 " 2 -2=3 2 - 2=7 ， A 正确； a 3 +a -3 = （ a+a -1 ）（ a 2 +a -2 -1 ） =3× （ 7-1 ） =18 ， B 错误； ∵ a 1 2 +a - 1 2 9 " 2 =a+a -1 +2=3+2=5 ， a>0 ， 解得 a 1 2 +a - 1 2 = 5 姨 ， C 错误； ∵a a 姨 + 1 a a 姨 = （ a +a -1 ） a 1 2 +a - 1 2 9 " - a 1 2 +a - 1 2 9 " = 3 5 姨 - 5 姨 =2 5 姨 ， D 正确 ． 故选 AD． 14． BC 【解析】 - x 姨 =-x 1 2 ， 故 A 错误； y 2 6 姨 =y 2 6 = y 1 3 （ y>0 ）， 故 B 正确； x - 3 4 = x -3 4 姨 = 1 x 9 " 3 4 姨 （ x>0 ）， 故 C 正确； ［ （ -x ） 2 3 姨 ］ 3 4 = （ -x ） 2 3 3 % 3 4 = （ -x ） 1 2 （ x<0 ）， 故 D 错误 . 故选 BC. 15． -1 【解析】 ∵ x 2 +2x+1 姨 + y 2 +6y+9 姨 =0. ∴ （ x+1 ） 2 姨 + （ y+3 ） 2 姨 =｜x+1｜+｜y+3｜=0. ∵｜x+1｜≥0 ， ｜y+3｜≥0 ， ∴ 由｜x+1｜+｜y+3｜=0 ， 得｜x+1｜=0 ， ｜y+3｜=0 ， 解得 x=-1 ， y=-3 ， ∴x 2 019 = （ -1 ） 2 019 =-1 ， （x 2 019 ） y = （ -1 ） -3 =-1. * 16. 2 3 - 16 姨 =4 【解析】 3- 16 姨 =4 2 只移动一个数字 可变为 2 3 - 16 姨 =4. 4.1.2 指数函数的性质与图象 第 1 课时 指数函数的概念与图象 学习手册 变式训练 1 C 【解析】 根据指数函数的定义 y=a x （ a>0 且 a≠1 ）， 可得函数 y=2 · 3 x 不是指数函数； 函数 y=-3 x 不是指数函 数； 函数 y=3 -x 是指数函数； 函数 y=1 x 不是指数函数 . 故 选 C. 变式训练 2 解： ∵ 函数 y= （ a 2 -5a+5 ） a x 是指数函数， ∴ a 2 -5a+5=1 ， a>0 且 a≠1 1 ， ∴ a=1 或 a=4 ， a>0 且 a≠1 1 ， ∴a=4. 变式训练 3 （ 0 ， 1 ） 【解析 】 ∵ 函数 y＝a x －b 的图象经过第二、 三、 四象限， ∴ 函数 y＝a x －b 单调递减且其图象与 y 轴的 交点在 y 轴的负半轴上 . 令 x＝0 ， 则 y＝a 0 －b＝1－b ， 由题意得 0<a<1 ， 1-b<0 1 ， 解得 0<a<1 ， b>1 1 . 由指数函数的图象和性质得 a b ∈ （ 0 ， 1 ） . 变式训练 4 解： 由 x－2≥0 ， 得 x≥2 ， ∴ 定义域为 {x|x≥2} ． 当 x≥2 时， x-2 姨 ≥0 ， 又 ∵0＜ 1 3 ＜1 ， ∴y＝ 1 3 9 " x-2 姨 的值域为 {y|0＜y≤1}． 变式训练 5 解： ∵ 函数 y＝ 1 4 9 " x－1 －4 · 1 2 9 " x ＋2 ， ∴y＝4 · 1 4 9 " x －4 · 1 2 9 " x ＋2. 令 m＝ 1 2 9 " x ， 则 1 4 9 " x =m 2 ． 由 0≤x≤2 ， 知 1 4 ≤m≤1 ， ∴ f （ m ） ＝4m 2 －4m+2=4 m- 1 2 9 " 2 +1 ， ∴ 当 m＝ 1 2 ， 即当 x＝1 时， f （ m ）有最小值 1 ； 当 m＝1 ， 即 x＝0 时， f （ m ）有最大值 2． 28 参 考 答 案 故函数的最大值是 2 ， 此时 x＝0 ； 函数的最小值为 1 ， 此时 x＝1． 随堂练习 1. A 【解析】 由图象可知 f （ 0 ） <0 ， f （ 1 ） >0 ， f （ -1 ） < < # # # " # # # # $ 0 圯 ab<0 ， ① （ 1-a ）（ 1-b ） >0 ， ② （ -1-a ）（ -1-b ） <0 ， < # # # " # # # # $ ③ ∵a>b ， ∴ 由 ① 可得 a>0>b ， 由 ③ 可 得 -1-b>0圯b<-1 ， 由 ② 可得 1-a>0圯a<1 ， 因此有 1>a> 0>-1>b ， ∴ 函数 g （ x ） =a x +b 是减函数， g （ 0 ） =1+b<0 ， ∴A 符合 . 故选 A. 2. B 【解析】 ∵a 0 =1 ， ∴ f （ x ） =a x+5 +4 （ a>0 且 a≠1 ） 恒 过定点 （ -5 ， 5 ）， ∴m=-5 ， n=5 ， ∴g （ x ） =-5+5 x ， 则函数 g （ x ）恒过定点 （ 0 ， -4 ）， 且是单调递增函数， 其图象不 经过第二象限 . 故选 B. 3. ［ 2 ， +∞ ） 【解析】 令 2 x -4≥0 ， 则 2 x ≥2 2 ， ∴x∈ ［ 2 ， +∞ ） . 4. 1 3 3 * 9 ， 3 3 , 9 【解析】 设 t=-2x 2 -8x+1=-2 （ x+2 ） 2 +9 ， 则 y= 1 3 3 . t . ∵-3≤x≤1 ， ∴ 当 x=-2 时， t 有最大值 9 ； 当 x=1 时， t 有最小值 -9 ， ∴-9≤t≤9. 由函数 y= 1 3 3 * t 在定义域上是减函数， ∴ 原函数的值域是 1 3 3 * 9 ， 3 3 , 9 . 5. （ 0 ， 1 ） 【解析】 设 f （ x ） =｜2 x -1｜= 2 x -1 ， x≥0 ， 1-2 x ， x<0 0 ， 当 x<0 时， 2 x ∈ （ 0 ， 1 ）， 则 f （ x）=1-2 x ∈ （ 0 ， 1 ） . 由题意可知 ， 直线 y=a 与函数 f （ x ）的图象有两个 交点， 作出函数 y=a 与函数 f （ x ）的图象如下图所示 . 由图可知， 当 0<a<1 时， 直线 y=a 与函数 f （ x ）的图 象有两个交点 . 因此， 实数 a 的取值范围是 （ 0 ， 1 ） . 练习手册 效果评价 1. ABC 【解析】 根据指数函数的定义 y＝a x （ a>0 且 a≠1 ）， 可知只有 D 符合 . 故选 ABC. 2. A 【解析】 ∵a＞1 ， 且 -1＜b＜0 ， 其图象如图所示 . 故选 A. 3. C 【解析】 由 a x -1≥0 得， a x ≥a 0 . ∵ 函数的定义域为 （ -∞ ， 0 ］， ∴0＜a＜1. 故选 C. 4. C 【解析 】 由题意得 a 2 -3a+3=1 ， a>0 ， a≠1 < # # # " # # # # $ ， 解得 a＝2 ， 故 选 C. 5. C 【解析】 设 t＝x 2 ＋2x-1 ， 则 y＝ 1 2 3 * t . ∵t＝ （ x＋1 ） 2 -2≥-2 ， y＝ 1 2 3 * t 为关于 t 的减函数， ∴0<y＝ 1 2 3 * t ≤ 1 2 3 * -2 ＝4 ， 故所求函数的值域为（ 0 ， 4 ］ . 故选 C. 6. 1 9 【解析】 设 f （ x ） ＝a x （ a＞0 且 a≠1 ）， ∴ 3 姨 9 ＝a - 3 2 ＝ 1 a 3 3 * 1 2 ， ∴ 1 27 ＝ 1 a 3 ， ∴a＝3. ∴ f （ x ） ＝3 x ， ∴ f （ -2 ） ＝3 -2 ＝ 1 9 . 7. （ 0 ， 1 ） 【解析】 由函数的定义得， 1＜2 x ＜2圯0＜ x＜1 ， ∴y＝f （ 2 x ）的定义域为（ 0 ， 1 ） . 8. 15 4 【解析】 ∵f （ x ）是奇函数， g （ x ）是偶函数， ∴ 由 f （ x ） ＋g （ x ） ＝a x -a -x ＋2 ， ① 得 f （ -x ） ＋g （ -x ） ＝-f （ x ） ＋g （ x ） ＝a -x -a x ＋2 ， ② ①＋② 得 g （ x ） ＝2 ， ①-② 得 f （ x ） ＝a x -a -x . 又 g （ 2 ） ＝a ， ∴a＝2 ， ∴ f （ x ） ＝2 x -2 -x ， ∴ f （ 2 ） ＝2 2 -2 -2 ＝ 15 4 . 9. 解： （ 1 ） 函数 f （ x ）， g （ x ）的图象如图所示 . （ 2 ） f （ 1 ） ＝3 1 ＝3 ， g （ -1 ） ＝ 1 3 3 * -1 ＝3 ， x y O y=a y=f （ x ） 1 第 5 题答图 x y O 1 b+1 y=a x +b 第 2 题答图 x y O 1 -1 g （ x ） = 1 3 3 * x f （ x ） =3 x 1 第 9 题答图 29 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 f （ π ） ＝3 π ， g （ -π ） ＝ 1 3 3 " -π ＝3 π ， f （ m ） ＝3 m ， g （ -m ） ＝ 1 3 3 " -m ＝3 m . 从以上计算的结果看， 两个函数当自变量取值互为 相反数时， 其函数值相等， 即当指数函数的底数互为倒 数时， 函数 y＝a x 与 y＝ 1 a 3 " x 的图象关于 y 轴对称 . 10. （ 1 ） 证明： 由题意， 得 x∈R ， 即函数的定义域 关于原点对称， f （ -x ） ＝ 1 2 - 1 1 2 x +1 ＝ 1 2 - 2 x 2 x +1 ＝ 1-2 x 2 （ 2 x +1 ） ＝ - （ 1+2 x ） +2 2 （ 2 x +1 ） ＝- 1 2 ＋ 1 2 x +1 ＝-f （ x ）， ∴ 函数 f （ x ）为奇函数 . （ 2 ） 证明 ： 设 x 1 ， x 2 是 （ -∞ ， ＋∞ ） 内任意两实 数， 且 x 1 <x 2 ， 则 f （ x 1 ） - f （ x 2 ） ＝ 1 2 - 1 2 x 1 +1 - 1 2 ＋ 1 2 x 2 +1 ＝ 2 x 1 -2 x 2 （ 2 x 1 +1 ）（ 2 x 2 +1 ） . ∵x 1 <x 2 ， ∴2 x 1 -2 x 2 <0. 又 ∵2 x 1 ＋1>0 ， 2 x 2 ＋1>0 ， ∴ f （ x 1 ） - f （ x 2 ） <0 ， ∴ 函数 f （ x ）在 （ -∞ ， ＋∞ ） 上是增函数 . （ 3 ） 解： ∵ 函数 f （ x ）在 （ -∞ ， ＋∞ ） 上是增函数， ∴ 函数 f （ x ）在 ［ 1 ， 2 ］ 上也是增函数， ∴ f （ x ） min ＝f （ 1 ） ＝ 1 6 ， f （ x ） max ＝f （ 2 ） ＝ 3 10 . ∴ 函数 f （ x ）在 ［ 1 ， 2 ］ 上的值域为 1 6 ， 3 10 0 % . 提升练习 11. B 【解析】 由题意得， y=f （ x ） +f （ 2x ） = 1 2 3 " 2x + 1 2 3 " x + 2 ， ∵f （ x ）的定义域为 ［ -2 ， 2 ］， ∴y=f （ x ） +f （ 2x ）的定义域 应满足 -2≤2x≤2 ， 即 x∈ ［ -1 ， 1 ］ . 令 t= 1 2 3 " x ， 则 t∈ 1 2 ， 0 % 2 ， 则 y=f （ t ） =t 2 +t+2 ， t∈ 1 2 ， 0 % 2 . 可知 f （ t ）在 1 2 ， 0 % 2 上是单调递增的 ， ∴ f （ t ） max = f （ ２ ） ＝8 ， 即函数 y=f （ x ） +f （ 2x ）的最大值为 8． 故选 B． 12. B 【解析】 若对 坌x 1 ∈ ［ 1 ， 2 ］， 都存在 x 2 ∈ ［ -1 ， 1 ］， 使 f （ x 1 ） >g （ x 2 ）成立， 则需 f （ x ） min >g （ x ） min . 又 ∵f （ x ） =x 2 -x ， x∈ ［ 1 ， 2 ］， ∴ f （ x ） min =f （ １ ） =1 2 -1=0. 令 2 x =t ， ∵x∈ ［ -1 ， 1 ］ ， ∴t∈ 1 2 ， 0 % 2 ， ∴g （ t ） =t 2 - 2t+m≥g （ 1 ） =m-1 ， ∴0>m-1 ， 解得 m<1 ， 则 m 的取值范 围是 m<1. 故选 B. * 13. BCD 【解析】 函数 f （ x ） ＝x－4＋ 9 x+1 =x+1+ 9 x+1 -5 ， 可以看成 f （ u ） =u+ 9 u -5 ， u=x+1 复合而成 . x∈ （ 0 ， 2 ） 时 ， u=x+1∈ （ 1 ， 3 ） 是增函数 ， 此时 f （ u ） =u+ 9 u -5 是减函数， 故 f （ x ）是减函数； x∈ （ 2 ， 4 ） 时 ， u=x+1∈ （ 3 ， 5 ） 是增函数 ， 此时 f （ u ） =u+ 9 u -5 是增函数 ， 故 f （ x ）是增函数 . 故 x=2 时 ， f （ x ）取得最小值， 依题意， 即 a=2 ， b=f （ 2 ） =3+3-5=1. 故 g （ x ） ＝a ｜x+b｜ =2 ｜x+1｜ ， 是由 y=2 ｜x｜ = 2 x ， x≥0 1 2 3 " x ， x< < + + + * + + + , 0 向左平 移一个单位长度得到的， 故图象为选项 A ， 即不可能是 BCD. 故选 BCD. 14. AC 【解析】 若 a>1 ， 则函数 y=a x 是 R 上的增函 数， 函数 y=x 2 +ax+a-3 的图象的对称轴方程为 x=- a 2 <0 ， 故 A 可能， B 不可能； 若 0<a<1 ， 则函数 y=a x 是 R 上的减函数 ， a-3<0 ， 函数 y=x 2 +ax+a-3 的图象与 y 轴的负半轴相交， 对称轴 为 x=- a 2 <0 ， 故 C 可能， D 不可能 . 故选 AC. * 15. D 【解析】 令 t=2 x ， x∈ （ 0 ， +∞ ）， 则 t∈ （ 1 ， +∞ ） . 函数化成 y=t 2 -at+a ， 则函数 f （ x ） =4 x -a · 2 x +a 在 x∈ （ 0 ， +∞ ） 的图象恒在 x 轴上方， 可转化成 t 2 -at+a>0 在 t∈ （ 1 ， +∞ ） 上恒成立， 故 a< t 2 t-1 在 t∈ （ 1 ， +∞ ） 上恒 成立 . t 2 t-1 = t 2 -t+t-1+1 t-1 =t+1+ 1 t-1 =t-1+ 1 t-1 +2 且 t-1>0 ， 则 t 2 t-1 ≥2+2=4 ， 又 ∵a< t 2 t-1 在 t∈ （ 1 ， +∞ ） 上恒成 立， 则 a< t 2 t-1 3 " min =4 ， 故 a 的取值范围为 a<4. 故选 D. 第 2 课时 指数函数的性质 学习手册 变式训练 1 B 【解析】 ∵ 4 3 3 " 1 2 > 4 3 3 " 1 3 >0 ， - 2 3 3 " 3 <0 ， ∴c<a<d. 又 ∵ 2 2 3 3 " 6 =2 4 =16> 64 27 = 4 3 3 " 3 = 4 3 3 " 1 2 0 % 6 ， ∴d<b ， ∴c<a<d<b. 故选 B. 变式训练 2 解： 由 f 1 （ x ） <f 2 （ x ）， 得 a x 2 -3x+1 <a x 2 +2x-5 ， 当 a>1 时， 由 x 2 -3x+1<x 2 +2x-5 ， 解得 x> 6 5 ； 当 0<a<1 时， 由 x 2 -3x+1>x 2 +2x-5 ， 解得 x< 6 5 . 综上， 当 a>1 时， x 的取值范围为 6 5 ， + 3 " ∞ ； 30 参 考 答 案 当 0<a<1 时， x 的取值范围为 -∞ ， 6 5 ! " ． 变式训练 3 （ 1 ， 4 ］ 【解析】 内函数为二次函数 y=2x 2 -ax+1 ， 在 区间 -∞ ， a 4 ! " 上单调递减 ， 在区间 a 4 ， + ! " ∞ 上单调 递增 . 当 0<a<1 时， 外函数单调递减， ∴ f （ x ）在 -∞ ， a 4 ! " 上单调递增， 在 a 4 ， + ! " ∞ 上单调递减 . ∵ 函数 f （ x ）在 （ 1 ， 3 ） 上单调递增， ∴ 0<a<1 ， a 4 ≥3 3 & & & % & & & ' ， 无解﹔ 当 a>1 时， 外函数单调递增， ∴ f （ x ）在 -∞ ， a 4 ! " 上 单调递减， 在 a 4 ， + ! " ∞ 上单调递增 . ∵ 函数 f （ x ）在 （ 1 ， 3 ） 上单调递增， ∴ a>1 ， a 4 ≤1 3 & & & % & & & ' ， 解 得 1<a≤4． 综上， 实数 a 的取值范围为 （ 1 ， 4 ］ ． 随堂练习 1. A 【解析 】 ∵a=2 4 3 =4 2 3 ， b=4 2 5 ， ∴a=4 2 3 >4 2 5 =b ， ∵b=4 2 5 = （ 4 6 ） 1 15 =4 096 1 15 ， c=5 1 3 = （ 5 5 ） 1 15 =3 125 1 15 ， 则 b>c. 综上所述， a>b>c. 故选 A. 2. A 【解析】 ∵m<n ， 且 a m <a n ， ∴ 函数 y=a x （ a>0 且 a≠1 ） 为增函数， 故 a>1 ， ∴a 可能的取值为 3 2 . 故选 A. 3. A 【解析】 ∵f （ x ） =2 ｜x-m｜ -1 为偶函数， ∴ f （ x ） =f （ -x ）， 故 2 ｜x+m｜ -1=2 ｜x-m｜ -1 ， 即 ｜x+m｜=｜x-m｜ 对任意的 x∈R 恒成立， 故 m=0 ， ∴ f （ x ） =2 ｜x｜ -1. 当 x≥0 时， f （ x ） =2 x -1 ， f （ x ）在 ［ 0 ， +∞ ） 上为增函数， ∵0<2 -3 <1=3 m <2 ， 故 f （ 2 -3 ） <f （ 3 m ） <f （ 2 ）， ∴a<b<f （ 2 ） . 又 ∵f （ -2 ） =f （ 2 ）， 故 a<b<c. 故选 A. 4. 解： （ 1 ） ∵ 1 3 ! " -0.5 =3 0.5 ， ∴ 由 3 x ≥ 1 3 ! " -0.5 可得 3 x ≥3 0.5 . ∵y=3 x 为增函数， 故 x≥0.5. （ 2 ） ① 当 0<a<1 时， 函数 y=a x 是减函数， 则由 a -5x > a x+7 可得 -5x<x+7 ， 解得 x>- 7 6 . ② 当 a>1 时， 函数 y=a x 是增函数， 则由 a -5x >a x+7 可 得 -5x>x+7 ， 解得 x<- 7 6 . 综上， 当 0<a<1 时， x>- 7 6 ； 当 a>1 时， x<- 7 6 . 5. 解： （ 1 ） 如图， 根据函数的图象， 交点为 （ 0 ， 0 ） 和 1 ， 1 3 ! " ， ∴ 不等式的解集为 （ -∞ ， 0 ） ∪ （ 1 ， +∞ ） . （ 2 ） 如图 ， 根据函数的图象 ， 交点为 （ 0 ， 1 ） 和 （ 3 ， 8 ）， ∴ 不等式的解集为 ［ 0 ， 3 ］ . 练习手册 效果评价 1. D 【解析】 ∵ 不等式 2 x+1 <1=2 0 ， 且 y=2 x 是增函数， ∴x+1<0 ， 即 x<-1. 故选 D. 2. D 【解析 】 ∵a=6 0.7 >6 0 =1 ， c=0.8 0.7 >0.7 0.7 >0.7 0.8 =b ， c=0.8 0.7 <0.8 0 =1 ， ∴a>c>b. 故选 D. 3. B 【解析】 ∵y=2 -|x| = 2 -x ， x>0 ， 2 x ， x≤0 0 . ∴ 函数的单调递增区间是 （ -∞ ， 0 ］ . 故选 B. 4. AB 【解析】 当 a>1 时， 可得 y min = 1 a ， y max =a ， 那么 1 a +a= 5 2 ， 解得 a=2 ， A 符合题意； 当 0<a<1 时， 可得 y max = 1 a ， y min =a ， 那么 1 a +a= 5 2 ， 解得 a= 1 2 ， B 符合题意 . 故 a 的值可能是 1 2 或 2. 故选 AB. 5. D 【解析】 f （ x ） =|3 x -1| 的图象如图所示 . -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 x y O y=- 2 3 x+1 y= 1 3 ! " x 图 1 图 2 第 5 题答图 x y O -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 y= 7 3 x+1 y=2 x 31 高 中 数 学 必 修 第二册 （人教 B 版） 精编版 由 c<b<a 且 f （ c ） >f （ a ） >f （ b ）， 可知 c ， b ， a 不在同 一个单调区间上， 故有 c<0 ， a>0 ， ∴ f （ c ） =1-3 c ， f （ a ） = 3 a -1 ， ∴1-3 c >3 a -1 ， 即 3 c +3 a <2. 故选 D. 6. （ 1 ， +∞ ） 【解析】 ∵0<a<1 ， ∴y=a x 在 R 上是减 函数 . 又 ∵a 2x 2 -3x+2 >a 2x 2 +2x-3 ， ∴2x 2 -3x+2<2x 2 +2x-3 ， 解得 x>1. 7. 3 4 ， + + ∞ " 【解析】 设 u=2x 2 -3x+1 （ x∈R ）， 其图 象的对称轴为直线 x= 3 4 ， 则 u=2x 2 -3x+1 在 -∞ ， 3 4 4 + 上 单调递减， 在 3 4 ， + + ∞ ∞ 上单调递增 . ∵y=5 u 是增函数， ∴y=5 2x 2 -3x+1 在 -∞ ， 3 4 4 + 上单调递减， 在 3 4 ， + + ∞ ∞ 上单调 递增 . 8. （ -∞ ， 1 ］ 【解析】 由题意得对任意 x∈ （ -∞ ， -1 ） 都有 3m< 1 2 x +1 成立， 又 ∵y= 1 2 x +1 在 x∈ （ -∞ ， -1 ） 上 单调递减， ∴ 1 2 x +1> 1 2 -1 +1=3 ， 故 3m≤3 ， 即 m≤1. 9. 解： （ 1 ） f （ x ）为奇函数 . 理由： 函数 f （ x ） = 1 2 + 1 2 x -1 = 2 x +1 2 （ 2 x -1 ） ， 定义域为 {x| x≠0} ， 关于原点对称 ， 且 f （ -x ） = 2 -x +1 2 （ 2 -x -1 ） = 1+2 x 2 （ 1-2 x ） = -f （ x ）， ∴ f （ x ）为奇函数 . （ 2 ） f （ x ） ≥ 5 6 ， 即 1 2 + 1 2 x -1 ≥ 5 6 ， 即有 1 2 x -1 ≥ 1 3 ， 可得 0<2 x -1≤3 ， 解得 0<x≤2 ， 即原不等式的解集为 （ 0 ， 2 ］ . 10. 解： （ 1 ） ∵ f （ x ）为 R 上的奇函数， ∴ f （ 0 ） =0 ， ∴b=1. 又 f （ -1 ） =-f （ 1 ）， ∴a=1. （ 2 ） 任取 x 1 ， x 2 ∈R ， 且 x 1 <x 2 ， 由 （ 1 ） 知 f （ x ） = 1-2 x 2 x +1 ， 则 f （ x 1 ） -f （ x 2 ） = 1-2 x 1 2 x 1 +1 - 1-2 x 2 2 x 2 +1 = （ 1-2 x 1 ）（ 2 x 2 +1 ） - （ 1-2 x 2 ）（ 2 x 1 +1 ） （ 2 x 1 +1 ）（ 2 x 2 +1 ） = 2 （ 2 x 2 -2 x 1 ） （ 2 x 1 +1 ）（ 2 x 2 +1 ） . ∵x 1 <x 2 ， ∴2 x 2 -2 x 1 >0. 又 ∵ （ 2 x 1 +1 ）（ 2 x 2 +1 ） >0 ， ∴ f （ x 1 ） -f （ x 2 ） >0 ， ∴ f （ x ）在 R 上为减函数 . （ 3 ） ∵ 对于任意的 t∈R ， 不等式 f （ t 2 -2t ） +f （ 2t 2 -k ） <0 恒成立， ∴ f （ t 2 -2t ） <-f （ 2t 2 -k ） . ∵ f （ x ）是奇函数， ∴ f （ t 2 -2t ） <f （ k-2t 2 ） . 又 ∵f （ x ）为减函数， ∴t 2 -2t>k-2t 2 ， 即 k<3t 2 -2t 恒成立 . ∵3t 2 -2t=3 t- 1 3 4 + 2 - 1 3 ≥- 1 3 ， ∴k<- 1 3 . 提升练习 11. A 【解析 】 ∵f （ x +1 ）为 偶 函 数 ， 则 f （ -x +1 ） = f （ x+1 ）， 故函数 f （ x ）的图象关于直线 x=1 对称 ． 又 ∵ 函数 f （ x ）的定义域为 （ 3a-2 ， 3-a ）， 则 3a-2+3-a=2×1 ， 解得 a= 1 2 ， 故当 x∈ 1 ， 5 2 4 + 时， f （ x ） = 1 2 4 + x 单调递减 . f （ 3a ） =f 3 2 4 + ， f 1 3a 4 + =f 2 3 4 + =f 2- 2 3 4 + =f 4 3 4 + ， f 3 2 4 + a =f 3 4 4 + =f 2- 3 4 4 + =f 5 4 4 + ， ∴ f 3 2 4 + <f 4 3 4 + <f 5 4 4 + ， 即 f （ 3a ） <f 1 3a 4 + <f 3 2 4 + a . 故选 A． 12. B 【解析】 ∵ a+b 2 ≥ ab 姨 ≥ 2ab a+b ， 又 ∵f （ x ） = 1 2 4 + x 在 R 上是单调减函数 ， ∴ f a+b 2 4 + ≤f （ ab 姨 ） ≤f 2ab a+b 4 + . 故选 B. 13. A 【解析 】 ∵ 对 坌x 1 ∈ ［ -1 ， 3 ］， 埚x 2 ∈ ［ 0 ， 2 ］， 使得 f （ x 1 ） ≥g （ x 2 ）， ∴ f （ x ） min ≥g （ x ） min . ∵f （ x ） min =f （ 0 ） ＝0 ， g （ x ） min = 1 2 4 + 2 -m ， ∴0≥ 1 4 -m ， 解得 m≥ 1 4 . 故选 A. 14. ABD 【解析 】 f （ x ） =a x - 1 a 4 + x =a x -a -x ， 定义域为 R ， f （ -x ） =a -x -a x =-f （ x ）， ∴ f （ x ）为奇函数， 且 f （ 0 ） =0 ， 故 A ， B 正确， C 错误； 当 a>1 时， 0< 1 a <1 ， y=a x ， y=- 1 a 4 + x 在 R 上均为增 函数， ∴ f （ x ）在其定义域上为单调递增函数， ∴D 正确 ． 故选 ABD． * 15. CD 【解析】 画出函数 f （ x ） =｜2 x -1 ｜ 的图象如图 所示 . -2 -1 1 2 1 -1 2 x y O 第 5 题答图 x y O y=t y=f （ x ） 1 a b 第 15 题答图 32 参 考 答 案 当 x<0 时， 2 x <1 ， 则 f （ x ） =1-2 x ∈ （ 0 ， １ ） . 设 f （ a ） =f （ b ） =t （ a<b ）， 则 0<t<1 ， ∵f （ a ） =1-2 a ∈ （ 0 ， 1 ）， ∴0<2 a <1 ， ∴a<0 ， ∵f （ b ） =2 b -1∈ （ 0 ， 1 ）， ∴1<2 b <2 ， ∴0<b<1. 由 f （ a ） =f （ b ）， 可得 1-2 a =2 b -1 ， 则 2 a +2 b =2 ， A 错误， C 正确 . 由基本不等式可得 2=2 a +2 b >2 2 a · 2 b 姨 =2 2 a+b 姨 ， ∴2 a+b < 1 ， 则 a+b<0 ， B 错误， D 正确 . 故选 CD. 4.2 对数与对数函数 4.2.1 对 数 运 算 学习手册 变式训练 1 B 【解析 】 ∵log x+1 （ x+1 ） =1 ， ∴ x+1=x+1 ， x+1>0 ， x+1≠1 1 & & & % & & & & ' ， ∴x>-1 且 x≠0. 故选 B. 变式训练 2 1 4 8 【解析】 log x 1 64 =3圯x 3 = 1 64 圯x= 1 64 3 姨 = 1 4 ； log 4 x= 3 2 圯x=4 3 2 =2 2× 3 2 =2 3 =8. 变式训练 3 1 【解析 】 设 log 2 a=log 5 b=lg （ a+b ） =x ， ∴a=2 x ， b=5 x ， a+b=10 x ， 因此 1 a + 1 b = a+b ab = 10 x 2 x · 5 x =1. 变式训练 4 1 【解析】 5 log 5 2+log 5 1 2 =5 log 5 2 ×5 log 5 1 2 =2× 1 2 =1. 变式训练 5 解： ∵log 2 （ log 3 （ log 4 x ）） =0 ， ∴log 3 （ log 4 x ） =1 ， ∴log 4 x= 3 ， ∴x=4 3 =64. 同理求得 y=16 ， ∴x+y=80. 随堂练习 1. B 【解析】 由 log b N=a ， 可得 b a =N. 故选 B. 2. C 【解析】 ∵log a x=1 ， ∴a 1 =x ， 即 x=a. 故选 C. 3. B 【解析】 根据对数式与指数式的互化， 得到 x 2 = 16 ， ∴x=±4. ∵x>0 ， ∴x=4. 故选 B. 4. B 【解析 】 由对数恒等式 ， 得 5 log 5 （ 2x-1 ） =2x-1=25 ， ∴x=13. 故选 B. 5. B 【解析】 由对数的概念知， 指数式 a x 中， 只有 a>0 且 a≠1 的指数式才可以化为对数式， 因此零和负数 没有对数； 把以 10 为底的对数称为常用对数， 以 e 为 底的对数称为自然对数 . 故选 B. 6. A 【解析】 ∵log 2 ［ log 0.5 （ log 2 x ）］ =0 ， ∴log 0.5 （ log 2 x ） = 1 ， ∴log 2 x=0.5 ， ∴x= 2 姨 . 故选 A. 练习手册 效果评价 1. D 【解析】 由 log a b＝1 得 a>0 ， 且 a＝b≠1. 故选 D. 2. B 【解析】 ∵3 -4 ＝ 1 81 ， ∴log 3 1 81 ＝-4. 故选 B. 3. A 【解析】 ∵2 log 3 x ＝ 1 4 ， ∴2 log 3 x =2 log 2 1 4 ， ∴log 3 x＝log 2 1 4 ＝ -2 ， ∴x＝ 1 9 . 故选 A. 4. BCD 【解析】 对数的真数为正数， A 错误； ∵a 0 ＝ 1 ， ∴log a 1＝0 ， B 正确； ∵a 1 ＝a ， ∴log a a＝1 ， C 正确； 由对 数恒等式 a log a N ＝N ， 得 a log a 2 ＝2 ， D 正确 . 故选 BCD. 5. AB 【解析 】 lg （ lg10 ） ＝lg1＝0 ， ln （ lne ） ＝ln1＝0 ， 故 A ， B 正确； 若 10＝lgx ， 则 x＝10 10 ， 故 C 错误； 若 e＝lnx ， 则 x＝e e ， 故 D 错误 . 故选 AB. 6. -7 【解析】 由已知得 1-2x 5 ＝3 ， 解得 x＝-7. 7. -3 【解析 】 由题意知 1-x＝ （ 1＋x ） 2 ， 解得 x＝0 或 x＝-3. 验证知， 当 x＝0 时， log （ 1-x ） （ 1＋x ） 2 无意义， 故 x＝0 不符合题意， 应舍去 . ∴x＝-3. 8. 1 4 3 【解析】 ∵ 当 x>1 时， f （ x ） ＝log 81 x ， ∴ f （ 3 ） ＝log 81 3＝ 1 4 ； 由题意得 x≤1 ， 2 -x = 1 4 1 & & & % & & & ' ， ① 或 x>1 ， log 81 x= 1 4 1 & & & % & & & ' . ② 解 ① 得 x＝2 ， 与 x≤1 矛盾， 故舍去， 解 ② 得 x＝3 ， 符合 x>1 ， ∴x＝3. 9. 解： 3 1+log 3 5 -2 4+log 2 3 +10 3lg3 + 1 2 2 + log 2 5 =3×3 log 3 5 -2 4 ×2 log 2 3 + （ 10 lg3 ） 3 + （ 2 log 2 5 ） -1 =3×5-16×3+3 3 +5 -1 =- 29 5 . 10. 解 ： （ 1 ） 18 a ＝9 ， 18 b ＝54 ， ∴18 2a-b ＝ （ 18 a ） 2 18 b ＝ 9 2 54 ＝ 81 54 ＝ 3 2 . （ 2 ） log x 27＝3 1 ×3 log 3 2 ＝3×2＝6 ， ∴x 6 ＝27 ， ∴x＝27 1 6 ＝ （ 3 3 ） 1 6 = 3 姨 . 提升练习 11. A 【解析】 根据对数有意义可得 4-x>0 ， 4-x≠1 ， x 2 -2x>0 ， 5x-6>0 1 & & & & & % & & & & & ' ， 即 2< x<4 且 x≠3 ， 再根据题意可得 x 2 -2x=5x-6 ， 即 x 2 -7x+6= 0 ， 解得 x=1 或 x=6. 33