阶段质量评价 第六章 计数原理 B卷——高考能力达标-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教A版）

1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 16 17 18 19 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.若=18，则m=（　　） A.9 B.8 C.7 D.6 √ B卷——高考能力达标 （时间：120分钟　满分：150分） 解析：由=m（m-1）（m-2）（m-3）=18·， 得m-3=3，所以m=6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 18 19 √ 2.某学校开展“五育并举”的选修课，其中体育开设了6门课，分别为篮球、足球、排球、网球、羽毛球、乒乓球，甲、乙两名学生准备从中各选择2门课学习，则甲、乙选修的课中至少有1门相同的概率为 （　　） A. B. C. D. 解析：由题意，当甲选了2门后，乙再选课，则甲、乙选修的课中没有相同的科目的概率为==，故甲、乙选修的课中至少有1门相同的概率为1-=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 √ 3.已知的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含x10项的系数是（　　） A.-8 B.8 C.4 D.-4 解析：由条件可知=，所以n=12，的展开式的通项为Tr+1=x12-r·=x12-2r，r=0，1，…，12，令12-2r=10，得r=1，所以含x10项的系数是×=-4，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 4.设二项式的展开式的各项系数的和为P，所有二项式系数的和为S.若P+S=272，则n=（　　） A.4 B.5 C.6 D.8 解析：令x=1，得P=4n，又二项式系数的和S=2n，因为P+S=272， 所以4n+2n=272，解得2n=16，则n=4. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 √ 5.斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，…，这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，小李以前6项数字的某种排列作为他的银行卡密码，如果数字1与2不相邻，则小李可以设置的不同的密码个数为 （　　） A.144 B.120 C.108 D.96 解析：先排数字2，3，5，8，有种排法，4个数字形成5个空当.第一类：若两个1相邻，则从可选择的3个空当中选出一个放入两个1，有3种排法；第二类：若两个1也不相邻，则从可选择的3个空当中选出两个分别放入数字1，有3种排法.所以密码个数为×（3+3）=144. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 √ 6.设（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n，则a0+a2+a4+…+a2n= （　　） A.3n B. C. D. 解析：在（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n中， 令x=1，得3n=a0+a1+a2+a3+…+a2n，令x=-1，得1=a0-a1+a2-a3+…+a2n， ∴3n+1=2（a0+a2+a4+…+a2n），∴a0+a2+a4+…+a2n=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 √ 7.现有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，准备在A，B，C三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数为 （　　） A.24 B.36 C.48 D.72 解析：若甲、乙选择的景点没有其他人选，则分组方式为1，2，2的选法为=18种；若甲、乙选择的景点还有其他人选，则分组方式为1，1，3的选法为·=18种；所以总的不同的选法种数为18+18=36. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 √ 8.从1，2，3，4，5这五个数字中，任取三个组成无重复数字的三位数，但当三个数字中有2和3时，2需排在3前面（不一定相邻），这样的三位数有 （　　） A.9个 B.15个 C.42个 D.51个 解析：从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数共有=60个，当三个数字中有2和3时，3在2的前面（不一定相邻）有=9个，所以这样的三位数有60-9=51个.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.在校航天知识展中，航天兴趣小组准备从8名组员（其中男组员4人，女组员4人）中选4人担任讲解员，则下列说法正确的是（　　） A.若组员甲和组员乙同时被选中，则共有28种选法 B.若4名讲解员中既有男组员，又有女组员，则共有68种选法 C.若4名讲解员全部安排到A，B，C三个展览区，每个展览区至少1名讲解员，每名讲解员只去一个展览区，则共有5 040种选派方法 D.校航天知识展结束后，若8名组员站成一排拍照留念，且女组员相邻，则共有2 880种排法 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：对于A，由题意，共有=15种选法，故A错误； 对于B，由题意，共有--=68种选法，故B正确； 对于C，先选好4人，共有=70种选法， 然后将4人按要求分到三个展览区，有·=36种，所以共有70×36=2 520种选派方法，故C错误； 对于D，由题意，共有=2 880种排法，故D正确.故选BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 10.关于的展开式，下列说法正确的是（　　） A.各项系数之和为1 B.第二项与第四项的二项式系数相等 C.常数项为60 D.有理项共有4项 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：对于A，令x=1，则展开式中各项系数之和为1，故A正确；对于B，第二项的二项式系数=6，第四项的二项式系数==20，第二项与第四项的二项式系数不相等，故B错误；对于C，展开式的通项为（-2x）r=（-2）r（r=0，1，2，3，4，5，6），令-+r=0，得r=2，展开式中的常数项为（-2）2=4×15=60，故C正确；对于D，由C可知，当r=0，2，4，6时，-3+∈Z，所以展开式的有理项共有4项，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 11.定义有n行的“杨辉三角”为n阶杨辉三角，如图就是一个8阶“杨辉三角”. 下列命题正确的是 （　　） 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 A.记第i（i∈N*）行中从左到右的第j（j∈N*）个数为aij，则数列{aij}的通项公式为aij= B.第k行各个数的和是2k C.n阶“杨辉三角”中共有个数 D.n阶“杨辉三角”的所有数的和是2n-1 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：第i行各个数是（a+b）i的展开式的二项式系数，则数列{aij}的通项公式为aij=，故A错误； 各行的所有数的和是各二项式系数和，第k行各个数的和是2k， 故B正确； 第k行共有（k+1）个数，从而n阶“杨辉三角”共有1+2+…+n=个数，故C正确； n阶“杨辉三角”的所有数的和是1+2+22+…+2n-1=2n-1，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12.（5分）计划在学校公园小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树，垂乳银杏、金带银杏2棵银杏树，要求2棵银杏树必须相邻，则不同的种植方法共有________种.  240 解析：分两步完成： 第一步，将2棵银杏树看成一个元素，考虑其顺序，有种种植方法； 第二步，将银杏树与4棵桂花树全排列，有种种植方法.由分步乘法计数原理，得不同的种植方法共有=240（种）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 13.（5分）（2025·北京高考）已知（1-2x）4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4，则a0=____；a1+a2+a3+a4=_____.  1 15 解析：令x=0，则a0=1，又（1-2x）4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4， 故（1-2x）4=a0+a1（-2x）+a2（-2x）2+a3（-2x）3+a4（-2x）4， 令t=-2x，则（1+t）4=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4，令t=1， 则a0+a1+a2+a3+a4=24，故a1+a2+a3+a4=15. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 14.（5分）用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中个位数字小于百位数字且百位数字小于万位数字的五位数有n个，则（1+x）3 +（1+x）4+（1+x）5+…+（1+x）n+3的展开式中，x2的系数是_______.（用数字作答）  2 023 解析：用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数中，满足个位小于百位且百位小于万位的五位数有=20个，即n=20，当n=20时，不妨设x≠0，则（1+x）3+（1+x）4+（1+x）5+…+（1+x）n+3=（1+x）3 +（1+x）4+（1+x）5+…+（1+x）23== =-，所以x2的系数是-=2 024-1=2 023. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分）如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左、右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c.例如，图中上档的数字和a=9.如果a，b，c成等差数列，求有多少种不同的分珠计数法. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解：根据题意知，a，b，c的取值范围都是区间[7，14]中的8个整数，故公差d的范围是区间[-3，3]中的整数.①当公差d=0时，有=8（种）；②当公差d=±1时，b不取7和14，有2×=12（种）； ③当公差d=±2时，b不取7，8，13，14，有2×=8（种）； ④当公差d=±3时，b只能取10或11，有2×=4（种）. 综上，共有8+12+8+4=32（种）不同的分珠计数法. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 16.（15分）已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为-1. （1）求n和a的值；（5分） 解：由条件可得解得 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 （2）求的展开式中的常数项.（10分） 解：由（1）得=（2x-x-2）·（-2x2+x-1）7. ∵（-2x2+x-1）7展开式的通项为 Tk+1=（-2x2）7-k（x-1）k=（-2）7-kx14-3k. ∴①当14-3k=-1，即k=5时，2x·（-2）2x-1=168；②当14-3k=2， 即k=4时，-x-2·（-2）3x2=280.∴所求的常数项为168+280=448. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 17.（15分）如图，一个正方形花圃被分成5份. （1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植 不同颜色的花，已知现有5种颜色不同的花，求有多 少种不同的种植方法?（7分） 解：当种植5种颜色的花，作全排列，则有=120种；当种植4种颜色的花，5种颜色选4种，{（A，E），（C，E），（B，C）}中选一组种植同颜色的花，余下3种颜色作全排列，则有=360种；当种植3种颜色的花，5种颜色选3种，D位置任选一种，余下2种在{（A，E），（B，C）}分别种植，则有=60种.所以共有120+360+60=540种不同的种植方法. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 （2）若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法?（8分） 解：7个盆栽有{3，1，1，1，1}，{2，2，1，1，1}2种分组方式， 以{3，1，1，1，1}分组，则=4 200种； 以{2，2，1，1，1}分组，则·=12 600种. 所以共有4 200+12 600=16 800种不同的放法. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 18.（17分）已知在（n∈N*）的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3.求： （1）展开式中的所有有理项；（6分） 解：由（-2）4∶（-2）2=56∶3，解得n=10（n=-5舍去），所以=，其展开式的通项为Tr+1== （-2）r·（r=0，1，2，…，10），当5-为整数时，r可取0，6，所以展开式中的有理项为T1=（-2）0×x5=x5和T7=（-2）6×x0=13 440. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 （2）展开式中系数绝对值最大的项；（5分） 解：设第（k+1）项系数的绝对值最大，则解得≤k≤，又k∈N，所以k=7.所以展开式中系数绝对值最大的项为T8=（-2）7×=-15 360. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 （3）n+9+81+…+9n-1的值.（6分） 解：10+9+81+…+910-1 = = ==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 19.（17分）中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”“武术”“书法”“剪纸” “京剧”“刺绣”六门体验课程. （1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数；（4分） 解：第一步，先将另外四门课排好，有种情况； 第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况； 所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有×=480种. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 （2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；（5分） 解：第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况； 第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况； 第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法有种情况； 因此，所有选课种数为××=360. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 （3）计划安排A，B，C，D，E五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师A不任教“围棋”课程，教师B只能任教一门课程，求所有课程安排的种数.（8分） 解：①当A只任教1科时：先排A任教科目，有种；再从剩下5科中排B的任教科目，有种；接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种.所以当A只任教1科时，共有=5×5× ×3×2×1=900种；②当A任教2科时：先选A任教的2科有种，将剩余4科平均分为4组，共有=×4×3×2×1=240种.综上，A不任教“围棋”的课程安排方案有900+240=1 140种. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $