第七章 专题微课 离散型随机变量及其分布列-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教A版）

专题微课　离散型随机变量及其分布列 CONTENTS 目录 1 2 3 题型（一）　超几何分布与二项分 布的区别 题型（二）概率与统计相结合 题型（三）　概率与数列相结合 4 课时跟踪检测 题型（一）超几何分布与二项分布的区别 01 [例1]　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，对该流水线上的产品进行简单随机抽样，获得数据如下表： 分组区间 （单位：克） [490， 495] （495， 500] （500， 505] （505， 510] （510， 515] 产品件数 3 4 7 5 1 包装质量在[495，510]克的产品为一等品，其余为二等品. 解：样本中的产品件数为3+4+7+5+1=20，包装质量在[495，510]克的产品件数为4+7+5=16，故从该流水线上任取一件产品为一等品的概率P==. （1）估计从该流水线上任取一件产品为一等品的概率； （2）从上述抽取的样本产品中任取2件，设X为一等品的产品数量，求X的分布列； 解：依题意，得X的可能取值为0，1，2，P（X=2）==，P（X=1）==，P（X=0）==.故X的分布列为 X 0 1 2 P （3）从该流水线上任取2件产品，设Y为一等品的产品数量，求Y的分布列；试比较期望E（X）与期望E（Y）的大小.（结论不要求证明） 解：由（2）可得E（X）=0×+1×+2×=，依题意得Y~B，且Y的可能取值为0，1，2，则P（Y=2）==， P（Y=1）=××=，P（Y=0）==. 故Y的分布列为 Y 0 1 2 P 所以E（Y）=2×=，E（Y）=E（X）. 　　|思|维|建|模|　二项分布与超几何分布的辨别方法 项目 二项分布 超几何分布 特点 在n重伯努利试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品 概率 公式 P（X=k）=·pk（1-p）n-k， k=0，1，2，…，n P（X=k）=，k=0，1，2，…，m（m=min{n，M}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*） 期望、 方差 公式 E（X）=np， D（X）=np（1-p）   E（X）=， D（X）= 当N→+∞时，超几何分布近似为二项分布 续表 针对训练 1.在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： （1）不放回抽样时，抽取次品数X的均值； 解：法一　由题意知X的可能取值为0，1，2.P（X=0）==； P（X=1）==；P（X=2）==. ∴随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P E（X）=0×+1×+2×=. 法二　由题意知P（X=k）=（k=0，1，2）， ∴随机变量X服从超几何分布，n=3，M=2，N=10， ∴E（X）===. （2）放回抽样时，抽取次品数Y的均值与方差. 解：由题意知抽取1次取到次品的概率为=， 随机变量Y服从二项分布B， ∴E（Y）=3×=，D（Y）=3××=. 2.某校高一年级举行数学史知识竞赛，每个同学从10道题中一次性抽出 4道作答.小张有7道题能答对，3道不能答对；小王每道答对的概率均为 p（0<p<1），且每道题答对与否互不影响. （1）分别求小张，小王答对题目数的分布列； 解：设小张答对的题目数为X，可知随机变量X服从超几何分布，X的取值分别为1，2，3，4.有P（X=1）===， P（X=2）===， P（X=3）===，P（X=4）===， 故小张答对的题目数X的分布列为 X 1 2 3 4 P 设小王答对的题目数为Y，可知随机变量Y服从二项分布Y~B（4，p），Y的取值分别为0，1，2，3，4， 有P（Y=0）=（1-p）4，P（Y=1）=（1-p）3p=4p（1-p）3， P（Y=2）=（1-p）2p2=6p2（1-p）2， P（Y=3）=（1-p）p3=4p3（1-p），P（Y=4）=p4. 故小王答对的题目数Y的分布列为 Y 0 1 2 3 4 P （1-p）4 4p（1-p）3 6p2（1-p）2 4p3（1-p） p4 （2）若预测小张答对题目数多于小王答对题目数，求p的取值范围. 解：由（1）可知E（X）=1×+2×+3×+4×=，而Y~B， 所以E（Y）=4p，若预测小张答对的题目数多于小王答对的题目数， 则E（X）>E（Y），即>4p，可得0<p<.故p的取值范围是. 题型（二）概率与统计相结合 02 [例2]　某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间（单位：h），将样本数据分成[3，4），[4，5），[5，6），[6，7），[7，8]五个组，并整理得到如图所示的频率分布直方图. （1）已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数； 解：由甲班频率分布直方图知，甲班每天学习时间达到5小时及以上的频率为（0.500+0.250+0.050）×1=0.8.故该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数约为0.8×600=480. （2）已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记抽到的甲班学生人数为X，求X的分布列和均值； 解：甲班每天学习时间不足4小时的人数约为40×0.050×1=2，乙班每天学习时间不足4小时的人数约为40×0.100×1=4， 所以两个班每天学习时间不足4小时的学生共6人.从中随机抽取3人， 则抽到的甲班学生人数X的可能取值为0，1，2，且X服从超几何分布， 则P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 法一　E（X）=0×+1×+2×=1. 法二　E（X）==1. （3）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，，试比较与的大小.（只需写出结论） 解：从甲、乙两个班级学生每天的学习时间的频率分布直方图上来看，甲班的数据比较集中，乙班的数据相比甲班较为分散，故<. 　　|思|维|建|模| 　　求与统计有关的分布列问题，常借助题设条件运用古典概型的计算公式、二项分布的计算公式、超几何分布的计算公式及均值的公式求解，或借助题设条件运用频率分布直方图和分布列求解. 针对训练 3.某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了200名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值； 解：在频率分布直方图中，所有矩形的面积之和为1， 则（0.002+0.004+0.014+0.02+0.035+a）×10=1，解得a=0.025. （2）用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用X表示抽到的评分在90分以上的人数，求X的分布列及均值E（X）. 解：因为评分在90分以上的市民所占的频率为0.025×10=0.25， 由题意可知，X~B，所以P（X=0）==， P（X=1）=××=， P（X=2）=××=，P（X=3）=××=， P（X=4）==，所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以E（X）=4×=1. 题型（三）　概率与数列 相结合 03 [例3]　甲、乙两人进行乒乓球比赛，规则如下：①每局胜者得1分，负者得0分；②若比赛进行到有一人比对方多2分或两人得分之和达到6分时停止比赛.设甲在每局中获胜的概率均为p，第二局比赛结束时比赛停止的概率为，且各局胜负相互独立. （1）求p； 解：由p2+（1-p）2=得p=或p=. ∵p>，∴p=. （2）记X表示比赛停止时已比赛的局数，求X的分布列及数学期望； 解：X的可能取值为2，4，6，由（1）知，当X=2时，P（X=2）=，P（X=4）=+=，P（X=6）=1-P（X=2）- P（X=4）=， ∴X的分布列如表所示： X 2 4 6 P 故E（X）=2×+4×+6×=. （3）若不限定局数（即删去两人得分之和达到6分时停止比赛这一条件），设an为比赛进行n局后仍未停止比赛的概率，求数列{an}的通项公式. 解：由题可得a1=1，a3=a2=2××=，当n为奇数（n≥3）时， 第（n-1）局没有停，甲、乙得分均为分，则an=an-1； 当n为偶数时，an+2=2××an=an， ∴当n为偶数时，数列{an}是以为首项，为公比的等比数列，∴an=a2×=，当n为奇数时，n-1为偶数， ∴an=an-1=（n≥3），当n=1时，a1=1也满足. ∴通项公式an= 　　|思|维|建|模| 　　概率与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递推关系.解决此类问题的基本步骤为 精准 定性 即明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率概型的依据，也是建立递推关系的准则 准确 建模 即通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问题 解决 模型 也就是递推数列的求解，多通过构造的方法转化为等差数列、等比数列的问题求解.求解过程应灵活运用数列的性质，准确应用相关公式 针对训练 4.甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率是p（0<p<1），乙获胜的概率是1-p，每局比赛相互独立. （1）当p=0.6时，比赛采用3局2胜制，求甲最终获胜的概率； 解：3局2胜制甲最终获胜结果可以是2∶0，2∶1，每局比赛甲获胜的概率p=0.6，根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式得， 甲最终获胜的概率是0.62+2×0.62×0.4=0.648. （2）若比赛采用5局3胜制比3局2胜制对甲更有利（即甲最终获胜概率更大），确定p的取值范围； 解：3局2胜制甲最终获胜结果可以是2∶0，2∶1，每局比赛甲获胜的概率为p，根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式得，甲最终获胜的概率是p1=p2+2p2（1-p）=p2（3-2p）；5局3胜制甲最终获胜结果可以是3∶0，3∶1，3∶2，则甲最终获胜的概率是p2=p3+3p3（1-p）+6p3（1-p）2=p3（6p2-15p+10）.由题知p2>p1，即p2-p1>0，则p2-p1= p3（6p2-15p+10）-p2（3-2p）=3p2（p-1）2（2p-1）>0.又p∈（0，1）， 则p的取值范围是. （3）若甲、乙共进行10局比赛，随机变量X表示甲获胜的局数.令an= P（X=n-1）（n=1，2，…，11），若a7是数列an的唯一的最大项，确定p的取值范围. 解：由题，X~B（10，p），故an=P（X=n-1）=pn-1（1-p）11-n（n=1，2，…，11）.a7是数列{an}的唯一的最大项，则必有a6<a7>a8， 即p5（1-p）5<p6（1-p）4>p7（1-p）3，解得p∈， 此时，==≥1⇔n≤11p， 则11p∈（6，7）.所以当n≤6时，an<an+1； 当n>6时，an>an+1， 即a1<a2<…<a6<a7>a8>…>a11， 故a7是数列{an}唯一的最大项. 综上，p的取值范围是. 课时跟踪检测 04 1 3 4 2 1.（10分）某校科技节进行答题竞赛，满分100分，现得到全校学生成绩的频率分布直方图如图所示： 1 3 4 2 （1）求m的值；（2分） 解：根据题意得（m+2m+0.015+0.02×2+0.03）×10=1，解得m=0.005. （2）以每一组数据的中间值为代表，估计本次成绩的平均值；（3分） 解：以每一组数据的中间值为代表，估计本次考试的平均成绩为 =45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.1=72.5. （3）若采用分层按比例抽样的方法从成绩在[40，70）的同学中抽取8名同学的成绩进行失分分析，如果从抽到的8名同学中不放回抽取3份试卷，记得到分数在[50，60）内的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望.（5分） 1 3 4 2 解：根据频率分布直方图可知，全校同学中成绩在[40，50），[50，60），[60，70）各段的同学人数比例为1∶3∶4，所以样本中三段分数的同学为1人，3人，4人， 所以随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3， 则P（ξ=0）==，P（ξ=1）==， P（ξ=2）==，P（ξ=3）==， 1 3 4 2 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P E（ξ）=0×+1×+2×+3×=. 1 2 3 4 2.（15分）某平台为了研究用户日均观看短视频的时长，随机抽取了200名用户进行调查，得到数据如下表： 日均时长 /分钟 [0， 10） [10， 20） [20， 30） [30， 40） [40， 50] 频数 30 50 80 30 10 1 2 3 4 解：将数据按时长升序排列，第70百分位数位置为200×70%=140， 前两组累计频数为30+50=80<140，前3组累计频数为30+50+80=160>140， 故第70百分位数落在区间[20，30）， 则第70百分位数约为20+×10=27.5. （1）估计这200名用户日均观看时长的第70百分位数；（4分） 1 2 3 4 （2）若平台规定“日均观看时长不少于30分钟的用户为潜在高粘性用户”，现从样本中有放回地抽取k次，每次抽取1人，记抽到潜在高粘性用户的人数为Y. ①当k=3时，求Y的分布列和数学期望；（7分） ②若平台希望至少抽到1名潜在高粘性用户的概率不低于90%，至少需抽取多少次?（参考数据：ln 5≈1.609，ln 2≈0.693）（4分） 解：①潜在高粘性用户的频率为=， 易得Y~B，Y的可能取值有0，1，2，3， 1 2 3 4 则P（Y=0）==，P（Y=1）=××=， P（Y=2）=××=，P（Y=3）==， 所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 P 1 2 3 4 E（Y）=3×=. ②设至少需抽取n次，则1-≥0.9， 即≤0.1， 即n≥=≈≈10.3， 故至少需抽取11次. 1 3 4 2 3.（15分）现有一种趣味答题比赛，其比赛规则如下：①每位参赛者最多参加5轮比赛；②每一轮比赛中，参赛选手从10道题中随机抽取4道回答，每答对一道题积2分，答错或放弃均积0分；③每一轮比赛中，获得积分至少6分的选手将获得“挑战达人”勋章一枚；④结束所有轮比赛后，参赛选手还可以凭总积分获得相对应的礼品.据主办方透露：这10道题中有7道题是大家都会做的，有3道题是大家都不会做的. （1）求某参赛选手在一轮比赛中所获得积分X的分布列和期望；（7分） 解：由题知，X可取2，4，6，8， 则P（X=2）==，P（X=4）==， 1 3 4 2 P（X=6）==，P（X=8）==， 所以X的分布列为 X 2 4 6 8 P 故E（X）=2×+4×+6×+8×=. 1 3 4 2 （2）若参赛选手每轮获得勋章的概率稳定且每轮是否获得勋章相互独立.问：某参赛选手在5轮参赛中，获得多少枚“挑战达人”勋章的概率最大?（8分） 解：法一　由（1）知参赛选手在一轮比赛中获得“挑战达人”勋章的概率为P=+=，则某参赛选手在5轮挑战比赛中，记获得“挑战达人”勋章的枚数为Y，则Y~B，故P（Y=k）=··（k=0，1，…，5），所以假设当Y=k时，概率最大， 1 3 4 2 则 解得3≤k≤4，而P（Y=3）=P（Y=4）=.故某参赛选手在5轮挑战比赛中，获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的概率最大. 法二　由（1）知参赛选手在一轮比赛中获得“挑战达人”勋章的概率为P=+=，则某参赛选手在5轮挑战比赛中，记获得“挑战达人” 1 3 4 2 勋章的枚数为Y，则Y~B，故P（Y=k）=··（k=0，1，…，5），所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 4 5 P 从分布列中可以看出，概率最大为P（Y=3）=P（Y=4）=， 所以参赛选手在5轮挑战比赛中，获得3枚或4枚“挑战达人”勋章的 概率最大. 1 3 4 2 4.（15分）为提高学生的身体素质，除了进行体育锻炼之外，学校每天中午免费为学生提供水果和牛奶两种营养餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为.而前一天选择水果第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率为；前一天选择牛奶第二天选择水果的概率为，选择牛奶的概率也是，如此往复.记某同学第n天选择水果的概率为pn. （1）记某班的2名同学在发放营养餐开始第二天选择水果的人数为X，求X的分布列和期望；（5分） 1 3 4 2 解：依题意，第二天选择水果的概率为p=×+×=，第二天选择牛奶的概率为p'=×+×=，第二天选择水果的人数X的可能值为0，1，2，P（X=0）==，P（X=1）=××=， P（X=2）==，所以X的分布列为 X 0 1 2 P 故E（X）=0×+1×+2×=. 1 3 4 2 （2）证明数列是等比数列，并求数列{pn}的通项公式；（5分） 解：依题意，pn+1=pn+（1-pn）=pn+，由pn+1-=， 而p1-=-，所以数列是以-为首项，为公比的等比数列， pn-=-×，数列{pn}的通项公式为pn=-×. 1 3 4 2 （3）为了培养学生的服务意识，30天后学校组织学生参加志愿服务活动，其中有15位学生负责为全体同学分发营养餐，应该如何安排分发水果和牛奶的人数.（5分） 解：由（2）知，pn=-×，当n=30时，×非常小，趋近于0，p30≈，pn≈（n>30），即30天后学校每天选择水果的人数约为总人数的，所以15位学生负责为全体同学分发营养餐，分发水果的人数为×15=10，分发牛奶的人数为15-10=5. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $