7.3.2 离散型随机变量的方差-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的方差，通过课前自主落实方差定义、性质及基础训练，课堂以梯度进阶式教学衔接知识脉络，从概念理解到性质应用再到实际问题解决，构建完整学习支架。 其亮点在于“梯度进阶”与“思维建模”结合，通过射击技术比较、公司月薪分析等实例，培养数学思维（运算能力、推理意识）和数学语言（模型应用），帮助学生形成结构化解题方法，教师可借助分层训练提升教学效率，学生能深化知识理解与应用能力。

7.3.2 离散型随机变量的方差 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 理解并会计算离散型随机变量的方差；能利用方差的意义分析解决实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.方差：设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn （x1-E（X））2p1+（x2-E（X））2p2+…+（xn-E（X））2pn 标准差 2.方差与标准差的意义 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度.方差或标准差越小，随机变量的取值越________；方差或标准差越大，随机变量的取值越________. 集中 分散 3.方差的性质 设a，b为常数，X为离散型随机变量，则 （1）D（X+b）=_______. （2）D（aX+b）=_________. （3）若X服从两点分布，则D（X）=________. （4）D（X）=E（X2）-[E（X）]2. D（X） a2D（X） p（1-p） 1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定. （　　） （2）若a是常数，则D（a）=0. （　　） （3）离散型随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度. （　　） （4）若a，b为常数，则=a. （　　） 基础落实训练 × √ √ × 2.已知随机变量ξ的分布列如下表，且E（ξ）=1.1，则D（ξ）= （　　） ξ 0 1 x P p A.0.36 B.0.52 C.0.49 D.0.68 √ 解析：先由随机变量分布列的性质解得p=.由E（ξ）=0×+1× +x=1.1，得x=2，所以D（ξ）=（0-1.1）2×+（1-1.1）2× +（2-1.1）2×=0.49. 3.已知X的分布列如下： X 0 1 2 P 设Y=2X+3，则D（Y）=________.  课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型（一）　离散型随机变量的方差 [例1]　（1）设随机变量X的分布列为 √ X 1 2 3 4 P 则D（X）等于 （　　） A. B. C. D. 解析：（1）由题意知， E（X）=1×+2×+3×+4×=， 故D（X）=×+×+ ×+×=. （2）某运动员投篮命中率p=0.8，则该运动员在一次投篮中命中次数X的方差为________.  0.16 解析：依题意知，X服从两点分布，X的分布列为 X 1 0 P 0.8 0.2 故E（X）=0.8，D（X）=（1-0.8）2×0.8+（0-0.8）2×0.2=0.16. 　　|思|维|建|模| 求离散型随机变量X的方差的步骤 （1）理解X的意义，写出X可能取的全部值； （2）求X取各个值的概率，写出分布列； （3）根据分布列，由均值的定义求出E（X）； （4）根据公式计算方差. 针对训练 1.有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机抽取3张卡片，设3张卡片上的数字之和为X，则D（X）等于 （　　） A.3.36 B. C.7.8 D.3.6 √ 解析：由题知X=6，9，12.P（X=6）==，P（X=9）==， P（X=12）==. ∴X的分布列为 X 6 9 12 P ∴E（X）=6×+9×+12×=7.8，D（X）=（6-7.8）2×+ （9-7.8）2×+（12-7.8）2×=3.36. 2.袋中有大小相同的三个球，编号分别为1，2，3，从袋中每次取出一个球，若取到球的编号为奇数，则取球停止，用X表示所有被取到 的球的编号之和，则X的方差为______.  解析：X的分布列为 X 1 3 5 P 则E（X）=1×+3×+5×=，D（X）=. 题型（二）　离散型随机变量方差的性质 [例2]　已知X的分布列如下： X -1 0 1 P a （1）求X2的分布列； 解：由分布列的性质知++a=1，故a=.从而X2的分布列为 X2 0 1 P （2）计算X的方差； 解：法一　由（1）知a=，所以E（X）=（-1）×+0×+1×=-.故D（X）=×+×+×=. 法二　由（1）知a=，所以E（X）=（-1）×+0×+1×=-.E（X2）=0×+1×=，所以D（X）=E（X2）-（E（X））2=. （3）若Y=4X+3，求Y的均值和方差. 解：因为随机变量Y=4X+3， 所以E（Y）=4E（X）+3=2，D（Y）=42D（X）=11. 　　|思|维|建|模| 求随机变量Y=aX+b方差的方法 　　求随机变量Y=aX+b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D（aX+b）=a2D（X）求解. 针对训练 3.已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P p 若E（X）=. （1）求D（X）的值； 解：由分布列的性质，得++p=1，解得p=. ∵E（X）=0×+1×+x=， ∴x=2. （1）D（X）=×+×+×==. . （2）若Y=3X-2，求的值. 解：∵Y=3X-2， ∴D（Y）=D（3X-2）=9D（X）=5， ∴=. 题型（三）　离散型随机变量方差的实际应用 [例3]　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. （1）求ξ，η的分布列； 解：由题意得0.5+3a+a+0.1=1， 解得a=0.1.因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2， 所以乙射中7环的概率为1-（0.3+0.3+0.2）=0.2. 所以ξ的分布列为 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η的分布列为 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）比较甲、乙的射击技术. 解：由（1）得E（ξ）=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2，E（η）=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7.所以D（ξ）=（10-9.2）2×0.5 +（9-9.2）2×0.3+（8-9.2）2×0.1+（7-9.2）2×0.1=0.96， D（η）=（10-8.7）2×0.3+（9-8.7）2×0.3+（8-8.7）2×0.2+ （7-8.7）2×0.2=1.21. 由于E（ξ）>E（η），D（ξ）<D（η），说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好. 　　|思|维|建|模| 　　均值仅体现了随机变量取值的平均水平，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的方差，方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值比较集中.因此，在利用均值和方差的意义去分析解决问题时，两者都要分析. 针对训练 4.有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息如表所示. 甲公司 职位 A B C D 月薪/千元 5 6 7 8 获得相应职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1   乙公司 职位 A B C D 月薪/千元 4 6 8 10 获得相应职位概率 0.4 0.3 0.2 0.1 （1）若一人去应聘甲公司的C职位，另一人去应聘乙公司的C职位，记这两人被录用的人数和为η，求η的分布列. 解：根据题意可知，随机变量η的可能取值有0，1，2， 则P（η=0）=0.8×0.8=0.64，P（η=1）=2×0.2×0.8=0.32， P（η=2）=0.2×0.2=0.04，所以随机变量η的分布列为 η 0 1 2 P 0.64 0.32 0.04 （2）若小方和小芳分别被甲、乙两家公司录用，求小方月薪高于小芳月薪的概率. 解：小方月薪高于小芳月薪的概率P=0.4×0.4+0.3×0.4+0.2×（0.4+0.3）+0.1×（0.4+0.3）=0.49. （3）根据甲、乙两家公司的聘用信息，如果你是求职者，你会选择哪一家公司?请说明理由. 解：入职甲公司，月薪的均值为E（X）=0.4×5+0.3×6+0.2×7+0.1×8 =6，方差D（X）=0.4×（5-6）2+0.3×（6-6）2+0.2×（7-6）2+0.1× （8-6）2=1.入职乙公司，月薪的均值为E（Y）=0.4×4+0.3×6+0.2×8 +0.1×10=6，方差D（Y）=0.4×（4-6）2+0.3×（6-6）2+0.2×（8-6）2 +0.1×（10-6）2=4，乙公司月薪高于甲公司的概率为P=0.3×0.4+0.2×（0.4+0.3+0.2）+0.1=0.4，即E（X）=E（Y），D（X）<D（Y），0.4<0.49，即两家公司月薪的均值相同，但甲公司月薪的波动性小，乙公司的月薪波动性更大，且甲公司月薪高于乙公司月薪的概率更大，故选甲公司. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 1.已知随机变量X，Y满足Y=aX+b，且a，b为正数.若D（X）=2， D（Y）=8，则 （　　） A.b=2 B.a=4 C.a=2 D.b=4 √ 解析：因为D（X）=2，D（Y）=8，所以8=2a2.又a为正数，所以a=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 2.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值相等，方差分别为D（X甲）=11，D（X乙）=3.4.由此可以估计 （　　） A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 √ 解析：∵E（X甲）=E（X乙），且D（X甲）>D（X乙），∴乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 3.若某随机事件的概率分布列满足P（X=i）=a×（i=1，2，3，4），则D（X）=（　　） A.3 B.10 C.9 D.1 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：法一　由题意得+++=1，解得a=1，所以E（X）=1× +2×+3×+4×=3，所以D（X）=（1-3）2×+（2-3）2×+（3-3）2×+（4-3）2×=1.故选D. 法二　由题意得+++=1，解得a=1，所以E（X）=1×+2× +3×+4×=3，所以E（X2）=1×+4×+9×+16×=10， 所以D（X）=E（X2）-（E（X））2=10-9=1.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 4.[多选]若随机变量X服从两点分布，其中P（X=0）=，E（X），D（X）分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（　　） A.P（X=1）=E（X） B.E（3X+2）=4 C.D（3X+2）=2 D.D（X）= √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：∵随机变量X服从两点分布，P（X=0）=，∴P（X=1）= 1-P（X=0）=1-=，E（X）=0×+1×=，故A中结论正确； E（3X+2）=3E（X）+2=3×+2=4，故B中结论正确；D（X）=×+×=，则D（3X+2）=32D（X）=2， 故C中结论正确，D中结论不正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 5.已知下表为离散型随机变量X的分布列，则P（X≥D（X））等于 （　　） √ X 0 1 2 3 P A. B. C. D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：由题意得E（X）=0×+1×+2×+3×=2， D（X）=（0-2）2×+（1-2）2×+（2-2）2×+（3-2）2×=1， 故P（X≥D（X））=P（X≥1）=1-P（X=0）=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 6.设10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5=105.随机变量ξ1取值x1，x2，x3，x4，x5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值的概率也为0.2.若记D（ξ1），D（ξ2）分别为ξ1，ξ2的方差，则（　　） A.D（ξ1）>D（ξ2） B.D（ξ1）=D（ξ2） C.D（ξ1）<D（ξ2） D.D（ξ1）与D（ξ2）的大小关系与x1，x2，x3，x4的取值有关 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：由题意可知E（ξ1）=（x1+x2+x3+x4+x5），E（ξ2）==（x1+x2+x3+x4+x5）， 期望相等，都设为m，所以D（ξ1）=[（x1-m）2+…+（x5-m）2]， D（ξ2）=， 因为10≤x1<x2<x3<x4≤104，x5=105，所以D（ξ1）>D（ξ2）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 7.（5分）若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为______. 0.5 解析：在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D（ξ）= p（1-p），所以p（1-p）=0.25，解得p=0.5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 8.（5分）已知随机变量ξ的分布列如表，且满足E（ξ）=1，则 a=_________；又η=3ξ-1，则D（η）=_________.  ξ 0 1 2 P a b 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：根据ξ的分布列得+a+b=1，① 因为E（ξ）=1，所以0×+1×a+2×b=1，② 由①②联立得a=，b=， 所以D（ξ）=×（0-1）2+×（1-1）2+×（2-1）2=. 因为η=3ξ-1，所以D（η）=32D（ξ）=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 9.（5分）若随机事件A在1次试验中发生的概率为p（0<p<1），用随机变量X表示A在1次试验中发生的次数，则方差D（X）的最大值为________，此时p= ________.  解析：随机变量X的所有可能的取值是0，1，并且P（X=1）=p，P（X=0）=1-p. 从而E（X）=0×（1-p）+1×p=p，D（X）=（0-p）2·（1-p）+（1-p）2·p=p-p2= -+.因为0<p<1，所以当p=时，D（X）取得最大值，最大值是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 10.（10分）数字1，2，3，4，5任意排成一列，如果数字k恰好在第k个位置上，则称有一个巧合.把存在此种情况的数字的个数称为巧合数ξ. （1）求巧合数ξ的分布列；（7分） 解：ξ可能取值为0，1，2，3，5，P（ξ=0）===， P（ξ=1）===，P（ξ=2）===， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 P（ξ=3）===，P（ξ=5）=. 则巧合数ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 5 P 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 （2）求巧合数ξ的期望与方差.（3分） 解：E（ξ）=0×+1×+2×+3×+5×=1， D（ξ）=1×+0+1×+4×+16×=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 11.（10分）有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下： XA 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 XB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中XA，XB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度（哪一个的稳定性较好）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解：E（XA）=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125， E（XB）=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125， D（XA）=0.1×（110-125）2+0.2×（120-125）2+0.4×（125-125）2+0.1 ×（130-125）2+0.2×（135-125）2=50， D（XB）=0.1×（100-125）2+0.2×（115-125）2+0.4×（125-125）2 +0.1×（130-125）2+0.2×（145-125）2=165.由此可见E（XA）=E（XB），D（XA）<D（XB），故两种材料的抗拉强度的平均值相等，其稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性好. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 12.（15分）为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和PK赛，每人只能参加其中的一项.据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万，其中获奖学生情况统计如下： 奖项 组别 单人赛 PK 赛获奖 一等奖 二等奖 三等奖 中学组 40 40 120 100 小学组 32 58 210 100 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 （1）从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率；（5分） 解：设事件A表示“抽到的学生获得一等奖”，事件B表示“抽到的学生来自中学组”，则抽到的1个学生获得一等奖，学生来自中学组的概率为P（B|A）=，由题表知，P（AB）=，P（A）=，则P（B|A）=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 （2）从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人，以X表示这2人中PK赛获奖的人数，求X的分布列和数学期望；（6分） 解：由题意知，X可能取值为0，1，2， 则P（X=0）==， P（X=1）==， P（X=2）==， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以E（X）=0×+1×+2×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 （3）从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自中学组的人数为ξ，来自小学组的人数为η，试判断D（ξ）与D（η）的大小关系.（结论不要求证明）（4分） 解：由题设知ξ+η=3，所以D（ξ）=D（3-η）=（-1）2·D（η）=D（η）. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn D（X）=____________________________________________________ = （xi-E（X））2pi能够刻画X相对于均值的离散程度（或波动大小），这称为离散型随机变量X的方差.并称为随机变量X的 _______，记为σ（X）. $